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1、2019 年上海高考数学试卷 一、填空题（每小题4 分，满分56 分） 1函数 1 ( ) 2 f x x 的反函数为 1( ) fx. 2. 若全集UR，集合1|0Ax xx x，则 U C A. 3.设 m 是常数，若点F(0,5)是双曲线 22 1 9 yx m 的一个焦点，则m= . 4.不等式 1 3 x x 的解为. 5.在极坐标系中，直线(2cossin)2与直线cos1的夹角大小为. （结果用反三角函数值表示） 6.在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点C，若75,6 0C ABCB A，则 A、C 两 点 之间的距离为千米 . 7.若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆
2、锥的体积为. 8.函数sincos 26 yxx的最大值为. 9.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分 布律如下表： x1 2 3 ()Px？！？ 请小牛同学计算的数学期望 .尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能 断定这两个“？”处的数值相同.据此 ，小牛给出了正确答案E= . 10.行列式( , , , 1,1,2) ab a b c d cd 所有可能的值中，最大的是. 11.在正三角行ABC 中， D 是 BC 上的点 .若 AB=3，BD=1，则AB AD. 12.随机抽取的9 位同学中，至少有2 位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月 的天数相同，结果精确到0.
3、001）. 13. 设( )g x是定义在R上，以1 为周期的函数，若函数( )( )f xxg x在区间3,4上的 值域为 2,5，则( )f x在区间 10,10上的值域为. 14.已知点 O(0,0) 、Q0(0,1)和点 R0(3,1)，记 Q0R0的中点为 P1，取 Q0P1和 P1R0中的一条，记 其端点为Q1、 R1，使之满足 11 | 2| 20OQOR，记 Q1R1的中点为 P2，取 Q1P2和 P2R1中的一条，记其端点为 Q2、R2，使之满足 22 | 2| 20OQOR.依次下去，得到 12 , n P PP，则0 lim | n n Q P. 二、选择题（每小题5 分
4、，满分20 分） 15. 若,a bR，且0ab，则下列不等式中，恒成立的是（） （A） 22 2abab. （B）2abab. （C） 112 ab ab . （D）2 ba ab . 来 源 学。科。网 16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)上单调递减的函数是（） （A） 1 ln | y x . （B） 3 yx. （C） | | 2 x y. （D）cosyx. 17. 设 12345 ,A AA A A是平面上给定的5 个不同点，则使 12345 MAMAMAMAMA 0成立的点M的个数为（） （A）0. （B） 1. （C）5. （ D） 10. 18.设 n a是各项为
5、正数的无穷数列， i A是边长为 1 , ii a a的矩形的面积（ 1,2,i） ，则 n A为等比数列的充要条件是（） （A） n a是等比数列 . （ B） 1321 , n a aa 或 242 , n aaa是等比数列 . （C） 1321 , n a aa 和 242 , n aaa均是等比数列. 来源:Z.xx.k.Com （D） 1321 , n a aa 和 242 , n aaa均是等比数列，且公比相同. 三、解答题（本大题满分74 分） 19 （本大题满分12 分） 已知复数 1 z满足 1 (2)(1)1zii（i为虚数单位） ，复数 2 z的虚部为2，且 12 zz是
6、 实数，求 2 z 20.（本大题满分12 分，第 1 小题满分4 分，第二小题满分8 分） 已知函数( )23 xx f xab，其中常数,a b满足0a b O 1 D 1 C 1 B1 A1 C D B A （1）若0a b，判断函数( )f x的单调性； （2）若0a b，求(1)( )f xf x时的x的取值范围 21. （本大题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第二小题满分8 分） 已知 1111 ABCDABC D是底面边长为1 的正四棱柱， 1 O为 11 AC与 11 B D的交点 . （1）设 1 AB与底面 1111 A B C D所成角的大小为，二面角 111 AB
7、 DA的大小为.求证：tan2 tan； （ 2）若点C 到平面AB1D1的距离为 4 3 ，求正四棱柱 1111 ABCDABC D的高 . 22.（本大题满分18 分，第 1 小题满分4 分，第二小题满分6 分，第 3小题满分8 分） 来源 学_ 科 _网 已知数列 n a和 n b的通项公式分别为36 n an，27 n bn（*)nN.将集合 ,*,* nn x xanNx xb nN中 的 元 素 从 小 到 大 依 次 排 列 ， 构 成 数 列 123 , n cccc （1）写出 1234 ,c cc c； （2）求证：在数列 n c中，但不在数列 n b中的项恰为 242 ,
8、 n a aa； （3）求数列 n c的通项公式 . 23.（本大题满分18 分，第 1 小题满分4 分，第二小题满分6 分，第 3 小题满分 8 分） 已知平面上的线段l及点P，任取l上一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段 l的距离，记作(, )d P l （1）求点(1,1)P到线段:30 (35)lxyx的距离(, )d P l； （2）设l是长为 2 的线段，求点的集合( , )1 DP d P l所表示的图形面积； （ 3） 写 出 到 两 条 线 段 12 ,l l距 离 相 等 的 点 的 集 合 12 ( , )( , )P d P ld P l， 其 中 12 ,lAB
9、 lCD，,A B C D是下列三组点中的一组. 对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是2 分， 6 分， 8 分；若选择了多于一 种情形，则按照序号较小的解答计分 . (1,3),(1,0),( 1,3),( 1,0)ABCD. (1,3),(1,0),( 1,3),( 1, 2)ABCD. (0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD. 2019 年上海高考数学试题（理科）答案 一、填空题 1、 1 2 x ；2、| 01 xx；3、16；4、0x或 1 2 x； 5、 2 5 arccos 5 ； 6、6； 7、 3 3 ； 8、 23 4 ；9、2；10、6；11、 15
10、 2 ；12、0.985； 13、 15,11；14、3。 二、选择题 15、D；16、A；17、B；18、D。 三、解答题 19、解： 1 (2)(1)1zii 1 2zi（4 分） 设 2 2 ,zai aR，则 12 (2)(2 )(22)(4)z ziaiaa i， （12 分） 12 z zR， 2 42zi（12 分） 20、解：当0,0ab时，任意 1212 ,x xR xx，则 121 12 ()()(22 )(33 ) xxxx f xf xab 1212 22 ,0(22 )0 xxxx aa， 1212 33 ,0(33 )0 xxxx bb， 12 ()()0f xf
11、x，函数( )f x在R上是增函数。 当0,0ab时，同理，函数( )f x在R上是减函数。 (1)()223 xx f xf xab 当0,0ab时， 3 () 22 xa b ，则 1.5 log() 2 a x b ； 当0,0ab时， 3 () 22 x a b ，则 1.5 log() 2 a x b 。 21、解：设正四棱柱的高为h。 连 1 AO， 1 AA底面 1111 ABC D于 1 A， 1 AB与底面 1111 A BC D所成的角为 11 AB A，即 A B C D 11 AB A 11 ABAD， 1 O为 11 B D中点， 111 AOB D，又 1111 A
12、OB D， 11 AO A是二面角 111 AB DA的平面角，即 11 AO A 1 11 tan AA h A B ， 1 11 tan22 tan AA h AO 。 建立如图空间直角坐标系，有 11 (0,0, ),(1,0,0),(0,1,0),(1,1, )Ah BDCh 11 (1,0,),(0,1,),(1 ,1,0)ABhADhAC 设平面 11 AB D的一个法向量为( , , )nx y z， 11 11 0 0 nABn AB nADn AD ，取1z得( , ,1)nh h 点C到平面 11 AB D的距离为 22 |04 3| 1 n AChh d n hh ，则2
13、h。 22、 1234 9,1 1,1 2 ,1 3cccc； 任意 * nN，设 21 3(21)66327 nk annbk，则32kn，即 2132nn ab 假设 2 6627 nk anbk *1 3 2 knN（矛盾）， 2 nn ab 在数列 n c中、但不在数列 n b中的项恰为 242 , n aaa。 3221 2(32)763 kk bkka， 31 65 k bk， 2 66 k ak， 3 67 k bk 63656667kkkk 当1k时，依次有 111222334 ,bac bcac bc， z y x A1 B1 C1 D1 A B C D O1 1 -1 -1
14、1 y x O BA * 63(43) 65(42) , 66(41) 67(4 ) n knk knk ckN knk knk 。 23、解：设( ,3)Q x x是线段:30(35)lxyx上一点，则 222 59 |(1)(4)2()(35) 22 PQxxxx，当3x时， min (,)|5dPlPQ。 设线段l的端点分别为,A B，以直线AB为x轴，AB的中点为原点建立直角坐标系， 则( 1,0),(1,0)AB，点集D由如下曲线围成 12 :1(| | 1),:1(| 1)lyxlyx， 2222 12 :(1)1(1),:(1)1(1)CxyxCxyx 其面积为4S。 选择(1 ,3),(1,0),( 1,3),( 1,0)ABCD，(, ) |0x yx 选择(1,3),(1,0),( 1,3),( 1, 2)ABCD。 2 ( , )|0,0( , ) |4 , 20( , )|10,1x yxyx yyxyx yxyx 选择(0,1),(0,0),(0,0),(2,0)ABCD。 (,)|0,0(, ) |,01x yxyx yyxx 2 ( , ) |21,12( , ) |4230,2x yxyxx yxyx D B=C A 12 2.5 y x -2 x y -1 1 3 A B C D O O D C B A 3 1-1 y x