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1、 北京市朝阳区 2019 学年度高三年级第一学期统一考试 数学答案（文史类）2019.11 一、选择题 ： （满分 40 分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B C D A B A B A 二、填空题： （满分 30 分） 题号9 10 11 12 13 14 答案4 47 525 ，-bca 1 15 , 22 (1, 216 （注：两空的填空，第一空3 分，第二空2 分） 三、解答题： （满分 80 分） 15. （本小题满分13 分） 解：（）设 n a的公差为d， 因为 248 ,a aa 成等比数列，所以 2 428 ()aaa. 即 2 111 (3 )() (7 )ad
2、adad，即 2 1 da d . 又 1 1a，且0d，解得1d . 所以有 1 (1) n aandn. 8 分 （）由（）知： 1 1111 (1)1 n nn b aan nnn . 则 11111 =1+.+ 2231 n S nn . 即 1 =1 11 n n S nn . 13 分 16. （本小题满分13 分） 解： （）因为函数sin3cosfxaxx的图象经过点,0 3 （）， 所以 33 0. 322 fa（）解得1a . 所以sin3 cos2sin 3 fxxxx（）. 所以fx最小正周期为. 7 分 （）因为 3 22 x，所以 7 . 636 x 所以当 32
3、x，即 5 6 x时， fx取得最大值，最大值是2； 当 7 36 x，即 3 2 x时， fx取得最小值，最小值是1. 所以fx的取值范围是 1,2.13 分 17. （本小题满分13 分） 解： （）在BDC中，因为 2 7 cos 7 BDC，所以 21 sin 7 BDC 由正弦定理= sinsin DCBC DBCBDC 得， sin21 sin= 14 DCBDC DBC BC 5 分 （）在BDC中，由 222 2cosBCDCDBDC DBBDC得， 22 7 412 7 DBDB 所以 247 30 7 DBDB 解得7DB或 3 7 7 DB（舍） 由已知得DBC是锐角，又
4、 21 sin= 14 DBC，所以 5 7 cos= 14 DBC. 所以cos=cos 120ABDDBC（）. =cos120cossin120sinDBCDBC 1 5 7321 = 214214 7 = 在ABD中，因为 222 =2cosADABBDAB BDABD 7 = 1 67247()2 7 14 ， 所以 3 3AD 13 分 P E D C B A 18. （本小题满分14 分） 证明： （）因为PA底面ABCD，/PA DE 所以DE底面ABCD 所以DEBC 又因为底面ABCD为矩形， 所以BCCD 又因为CDDED， 所以BC平面CDE所以BCCE 4 分 （）若
5、直线 m 平面PAB，则直线/m平面CDE证明如下， 因为/PA DE，且PA平面PAB，DE平面PAB， 所以/DE平面PAB 在矩形ABCD中，/CDBA，且BA平面PAB，CD平面PAB， 所以/CD平面PAB 又因为CDDED，所以平面/PAB平面CDE 又因为直线m平面PAB，所以直线/m平面CDE 9 分 （）易知，三棱锥EPCD的体积等于三棱锥PCDE的体积 . 由（）可知，BC平面CDE 又因为/ADBC， 所以AD平面CDE 易证/PA平面CDE，所以点P到平面CDE的距离等于AD的长 因为22ABPADE，3AD，所以 11 2 11 22 CDE SCD DE 所以三棱锥
6、EPCD的体积 11 1 31 33 CDE VSAD 14 分 19. （本小题满分13 分） 解： （）因为 1 ( ) e x ax f x，所以 1 ( ) e x axa fx. 依题意， (0)2f,解得1a. 所以 1 ( ) e x x fx ， 2 ( ) e x x fx . 当2x时，( )0fx，函数( )f x为增函数； 当2x时，( )0fx，函数( )f x为减函数； 所以函数( )fx的最小值是 2 1 (2) e f. 6 分 （）因为 1 ( ) e x ax f x，所以 1 ( ) e x axa fx. （1）若0a，则 1 ( )0 e x fx.此
7、时( )f x在 0,1上单调递减，满足条件. （2）若0a，令( )0fx得 11 1 a x aa . ( ) 若 1 10 a ，即01a，则( )0fx在0,1上恒成立 . 此时( )fx在0,1上单调递减，满足条件. ()若 1 011 a ，即1a时，由( )0fx得 1 01x a ； 由( )0fx得 1 11x a . 此时( )f x在 1 (0,1) a 上为增函数，在 1 11 a （， ）上为减，不满足条件. ( ) 若 1 11 a 即0a. 则( )0fx在0,1上恒成立 . 此时( )f x在0,1上单调递减，满足条件. 综上，1a. 13 分 20. （本小题
8、满分14 分） 解： （）若2a，则 1 ( )2lnf xxx x ，(0,)x 2 (21)(1) ( ) xx fx x 由( )0fx得，01x；由( )0fx得，1x. 所以函数( )f x的单调增区间为(0,1)；单调减区间为(1,). 3 分 （）依题意，在区间 1 ,e e 上 min ( )1f x. 2 22 (1)1(1)(1) ( ) axaxaxx fx xx ,1a. 令( )0fx得，1x或 1 x a . 若ea，则由( )0fx得，1ex；由( )0fx得， 1 1 e x. 所以 min ( )(1)11f xfa，满足条件； 若1ea，则由( )0fx得，
9、 11 e x a 或1ex；由( )0fx得， 1 1x a . min 1 ( )min( ),(1) e f xff， 依题意 1 ( )1 e (1)1 f f ，即 2 e e1 2 a a ，所以2ea. 若1a，则( )0fx. 所以( )f x在区间 1 ,e e 上单调递增， min 1 ( )( )1 e f xf，不满足条件； 综上， 2a . 9 分 （III）(0,)x, 2 ( )(1) ln(1)1g xaxaxxax. 所以( )2(1)lng xaxax.设( )2(1)lnm xaxax， 12(1) ( )2 aaxa m xa xx . 令( )0m x
10、得 1 2 a x a . 当 1 0 2 a x a 时，( )0m x；当 1 2 a x a 时，( )0m x. 所以( )g x在 1 (0,) 2 a a 上单调递减，在 1 (,) 2 a a 上单调递增 . 所以( )g x的最小值为 11 ()(1)(1ln) 22 aa ga aa . 因为 1 e a，所以 1111e e 22222 a aa . 所以( )g x的最小值 11 ()(1)(1 ln)0 22 aa ga aa . 从而，g( )x在区间(0,)上单调递增 . 又 5210352 111 g()(62ln)1 eee a a aaa ， 设 3 ( )e
11、(2ln6)h aaa. 则 32 ( )eh a a .令( )0h a得 3 2 e a.由( )0h a，得 3 2 0 e a； 由( )0h a，得 3 2 e a.所以( )h a在 3 2 0 e （ ， ）上单调递减，在 3 2 + e （，）上单调递增 . 所以 min 3 2 ( )()22ln 20 e h ah. 所以( )0h a恒成立 .所以 3 e2ln6aa， 3 2ln6 1 e a a . 所以 527272272 111111111 g()1=110 eeeeeeeee a aaa . 又(1)20ga ，所以当 1 e a时，函数( )g x恰有 1 个零点 . 14 分