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1、江苏省南京市2019 届高三“市二模”模拟考试数学试卷 注意事项： 1.试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟； 2. 统一用黑色水笔作答，答题前，请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置 上，试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答卷纸。 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分。请把答案填写在相应位置上。 1.已知函数xxfcos)(，则)(xf的导函数)( xf= 。 2.命题“02, 2 xRx”的否定是命题。 （填“真”或“假”之一） 3.若椭圆)90(1 9 22 m m yx 的焦距为32，则m。 4.抛物线xy2 2 上
2、一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是。 5.下面四个条件中，使ba成立的充分而不必要的条件是。 （填写序号） 1ba1ba 22 ba 33 ba 6.如图所示的 “双塔” 形立体建筑， 已知ABDP和CBDQ是两个高 相等的正三棱锥， 四点DCBA,在同一平面内， 要使塔尖QP,之间的 距离为 50m, 则底边AB的长为m。 7.若nm,为两条不同的直线，,为两个不同的平面，则以下命题正确 的是.（填写序号） 若/m，n，则nm/； 若/m，/，则/m； 若m，nm/，/，则n； 若nm，m，n，则 8.如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与 点
3、F重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设CD与OM 交于点 P，则点P的轨迹是 . 第 6 题图 （填写“椭圆” 、 “双曲线”、 “抛物线”和“圆”中的一种情况） 9.曲线xy与 x y 8 在它们交点处的两条切线与轴所围成的三 角形的面积为。 10. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的表面积为12，则这个正 三棱柱的体积为。 11. 如图所示，在圆锥PO中，已知2PO，O的直径 2AB，点C在弧AB上，且60COB，则二面角 CPAB的余弦值是。 12. 已知点F是双曲线)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F
4、且垂直于x轴的直线与双曲线交于BA,两点，若ABE是锐角三 角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是。 13. 已知函数xxxaxxfln)()( 2 在, 1上单调递增，则实数a的取值范围是。 14. 已知点P是抛物线yx4 2 上一个动点， 过点P作圆1)4( 22 yx的两条切线， 切点分别为 NM ,，则线段MN长度的最小值是。 二、 解答题：本大题共六小题，共计90 分。请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 15. （本小题满分14 分） 设 命 题p： 方 程1 76 22 a y a x 表 示 双 曲 线 ， 命 题q： 圆9)1( 22 yx与 圆
5、16)1()( 22 yax相交。若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围。 16. （本小题满分14 分） 已知函数 x ecbxaxxf 22 )()(在1x处取得极值，且在点)2(, 2(f处的切线方程为 第 8 题图 第 11 题图 0276yx。 （1）求cba,的值； （2）求函数)(xf的单调区间，并指出)(xf在1x处的极值是极大值还是极小值。 17. （本小题满分14 分） 已 知 圆C经 过 两 点)6 ,2(),3, 1(QP， 且 圆 心 在 直 线042yx上 ， 直 线l的 方 程 为 0352)1(kyxk。 （1）求圆C的方程； （2）证明：直线l与圆C恒相交；
6、 （3）求直线l被圆C截得的最短弦长。 18. （本小题满分16 分） 如图， 平面ABDE平面ABC，ABC是等腰直角三角形，4BCAC，四边形ABDE是 直角梯形，2 2 1 ,/AEBDBABDAEBD, NMO,分别为EMABCE,的中点。 （1）求证：/OD平面ABC； （2）求证：ON平面ABDE； （3）求直线CD与平面ODM所成角的正弦值。 19. （本小题满分16 分） 如图，BA,是椭圆)0(1: 2 2 2 2 ba b y a x C的左右顶点，M是椭圆上异于BA,的任意一点， 第 18 题图 若椭圆C的离心率为 2 1 ，且右准线 l的方程为4x 。 （1）求椭圆C的
7、方程； （2）设直线 AM 交l于点P，以MP为直径的圆交直线 MB于点Q，试证明：直线PQ与x 轴的交点R为定点，并求出R点的坐标。 20. （本小题满分16 分） 已知函数xaxgbxxxfln)(,)( 23 ， （1）若)(xf在 1 , 2 1 x上的最大值为 8 3 ，求实数b的值； （2）若对任意ex, 1，都有xaxxg)2()( 2 恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（ 1）的条件下，设 1, 1, )( xxg xxf xF，对任意给定的正实数a，曲线)(xFy上 是否存在两点QP,，使得POQ是以（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且 此三角形斜边中点在y轴上？请
8、说明理由。 南京市白下区2019 届高三“市二模”模拟考试 数学参考答案 一、填空题 ： 第 19 题图 1sin x2假36 4 1 2 56 50 37 8椭圆96 1054 11 6 3 12 1,213 1 2 a e 14 33 3 二、解答题： 15解：若p真，即方程 22 1 67 xy aa 表示双曲线， 则670aa，67a5 分 若q真，即圆 2 2 19xy与圆 22 116xay相交， 则 2 147,3 53 5aa10 分 若“p且q”为真命题，则p假q真， 67 3 53 5 aa a 或 ，即3 56a， 符合条件的实数a 的取值范围是3 56a14 分 16解
9、： （1） 222 21 xx fxaxb eaxbxc e 22 2 x axab xbce ，4 分 由题意， 10 26 215 f f f ，即 1 0 0 20 42 26 4215 aabbce aabbce abc e ， 1,5acb；8 分 （2）由（ 1）知， 22 51 x fxxxe ， 222 3441 xx fxxxexxe，10 分 令0fx，得41x，0fx，得41xx或， 函数 fx 的单调递增区间为 4,1 ，单调递减区间为, 4 和 1, 13 分 由此可知，fx 在1x处的取值是极大值14 分 17解： （1）设圆 C的方程为 22 0xyDxEyF 2
10、 分 由条件，得 1930 436260 ()2()40 22 DEF DEF DE ，解得 4 2 20 D E F ， 圆C的方程为 22 42200xyxy6 分 （2）由12530kxyk，得3250k xxy， 令 30 250 x xy ，得 3 1 x y ，即直线l过定点3, 1 ， 8 分 由 2 2 314321200，知点3, 1 在圆内， 直线l与圆C恒相交10 分 （3）圆心2,1C，半径为5，由题意知， 直线l被圆C截得的最短弦长为 22 2 2 523114 5 14 分 18 （1）证明：如图1，取AC中点F，连接,OF BF O是EC中点，OF是CAE的中位线
11、， /OFEA，且 1 2 OFEA ， 又/DBEA，且 1 2 DBEA ，/OFDB且OFDB， 四边形ODBF是平行四边形，/ODFB OD面,ABC FB面ABC，/OD平面ABC5 分 （2）证明：连接CM，N是EM的中点，/ONCM 平面ABDE平面ABC，平面 ABDE平面ABCAB， BD平面ABDE，BDAB，BDABC平面， CMABC平面，,BDCMBDON 又ABC是等腰直角三角形，ACBC，M是AB的中点， CMAB，ONAB， 由,AB DBABDE ABDBB平面，ON平面ABDE11 分 E O C B A D M N F 图 1 （3）解：建立如图2 所示的
12、空间直角坐标系 由条件，得 0,0,0 ,22,0,0,0,22,4 ,0, 2 2,2MCED，2,2,2O， 2,2,2 ,0, 2 2,2 ,22, 22,2MOMDCD， 设ODM平面的法向量为, ,nx y z ， 由,nMO nMD ， 2220 2 220 xyz yz ，取 3,1, 2n， 设直线CD与平面ODM所成角为，则 6 22 22 230 sincos, 10 2 52 3 n CD， 直线CD与平面ODM所成角的正弦值为 30 10 16 分 19解： （1）由题意： 2 222 1 2 4 c a a c abc ，解得 2 3 a b 椭圆C的方程为 22 1
13、 43 xy 6 分 （2）由（ 1）知，2,0 ,2,0AB，设 00 ,Mxy，,0R t，则 直线AM的方程为 0 0 2 2 y yx x ， 令4x，得 0 0 6 2 y y x ，即点P的坐标为 0 0 6 4, 2 y x ， 9 分 由题意， MQPQ ，1 MQPQ kk， 0 00 0 6 2 1 24 y yx xt ，即 2 0 00 4 226 yt xx ，12 分 又 22 2200 00 3 1,4 434 xy yx， E O C B A D M 图 2 N y x z 43 64 t ， 1 2 t 直线 PQ 与 x轴的交点R为定点 1 ,0 2 16
14、分 20解： （1）由 32 fxxxb ，得 2 3232fxxxxx， 令0fx，得0x或 2 3 列表如下： x 1 2 1 ,0 2 0 2 0, 3 2 3 2 ,1 3 fx 0 0 fx 1 () 2 f极小值极大值 由 13 () 28 fb ， 24 () 327 fb ， 12 ()( ) 23 ff， 即最大值为 133 () 288 fb，0b5分 （2）由 2 2g xxax ，得 2 ln2xx ax x 1,ln1xexx ，且等号不能同时取， ln,ln0xxxx即， 2 2 ln xx a xx 恒成立，即 2 min 2 () ln xx a xx 7 分
15、令 2 2 ,1, ln xx t xxe xx ，求导得， 2 12ln ln xxx tx xx ， 当1,xe 时，10,ln1,2ln0xxxx，从而0tx， t x 在 1,e 上为增函数，min 11txt，1a 10 分 （3）由条件， 32 ,1 ln,1 xxx F x axx ， 假设曲线yF x 上存在两点,P Q 满足题意，则,P Q 只能在y轴两侧， 不妨设,0P t F tt，则 32 ,Qt tt，且1t POQ 是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形， 0OP OQ， 232 0tf ttt* ， 是否存在,P Q 等价于方程*在0t且1t时是否有解12 分 若01t时，方程* 为 23232 0ttttt，化简得 42 10tt， 此方程无解； 若1t时，* 方程为 232 ln0tattt，即 1 1 lntt a ， 设1 ln1h ttt t，则 1 ln1h tt t ， 显然，当1t时，0h t，即 h t 在 1,上为增函数， h t 的值域为1 ,h，即 0,， 当0a时，方程* 总有解 对任意给定的正实数a ，曲线 yF x上总存在两点,P Q ，使得POQ 是以O（O为坐标原点） 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上 16 分