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1、第六节 圆锥曲线的应用 一、基本知识概要： 解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关 键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。本节主要通过圆锥曲 线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数 学思想。 二、例题： 例1、设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧 星离地球相距m万千米和m 3 4 万千米时， 经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角 分别为 32 和，求该慧星与地球的最近距离。 解： 建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,( cF处，椭圆的方程为1 2
2、2 2 2 b y a x （图见教材P132 页例 1） 。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 3 时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只 能满足) 3 ( 3 / xFAxFA或。作mFAFBOxAB 3 2 2 1 B，则于 故由椭圆第二定义可知得 ) 3 2 ( 3 4 )( 2 2 mc c a a c m c c a a c m 两式相减得, 2 3 )4( 2 1 .2, 3 2 3 1 cccmcam a c m代入第一式得 . 3 2 . 3 2 mccamc 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明： （1） 在天体运行中， 彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆
3、，而恒星正是它的一个焦点， 该椭圆的两个焦点，一个是近地点， 另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是ca， 另一个是 . c a （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现 了数形结合的思想。另外， 数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于 挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 思考讨论 :椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？ 例 2：A，B， C 是我方三个炮兵阵地，A 在 B 正东 6Km，C 在 B 正北偏西 30， 相距 4Km， P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B， C 两地
4、比 A 距 P 地远，因 此 4s后， B， C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1sKm /，A 若炮击P 地，求 炮击的方位角。 （图见优化设计教师用书P249 例 2） 解 ： 如 图 ， 以 直 线BA为x轴 ， 线 段BA的 中 垂 线 为y轴 建 立 坐 标 系 ， 则 )32,5(),0,3(),0 , 3(CAB，因为PCPB，所以点P在线段 BC 的垂直平分线上。 因为3 BC k， BC 中点 )3,4(D， 所以直线 PD 的方程为)4( 3 1 3xy（ 1） 又,4PAPB故 P 在以A，B 为焦点的双曲线右支上。设),(yxP，则双曲线方程为 )0(1 54
5、22 x yx （2） 。联立（ 1） （2） ，得35,8 yx， 所以).35 ,8(P因此3 38 35 PA k，故炮击的方位角北偏东30。 说明： 本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。 例 3：根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3m，宽 1.6m。现要设计横断面为抛物线 型的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持 中线 0.4m 的距离行驶。已知拱口AB 宽恰好是拱高OC 的 4 倍，若拱宽为am，求能使卡车 安全通过的a 的最小整数值。 （图见教材P133 页例 3） 解： 如图，以拱口AB 所在直线为x 轴，
6、以拱高OC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，由题 意可得抛物线的方程为) 4 (2 2 a ypx， )0, 2 ( a A点在抛物线上， 2 ), 4 0(2) 2 ( 2a p a p a 得 抛物线方程为) 4 ( 2a yax。取,24.06.1x代入抛物线方程，得 a a y a ya 4 16 ), 4 (2 2 2 。由题意，令3 4 16 ,3 2 a a y得 。，应取 又161514aZ,.1326.01612,0 2 aaaaa 答：满足本题条件卡车使安全通过的a 的最小正整数为14m. 说明： 本题的解题过程可归纳务两歩：一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱 口中点 2m 处 y 的值；二是由3y通过解不等式， 结合问题的实际意义和要求得到a 的值， 值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的。 三、小结： 四、作业：教材P133 闯关训练。