《高三数学教案：直线与圆锥曲线的位置.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学教案：直线与圆锥曲线的位置.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2013-4-20 1 第四节：直线与圆锥曲线的位置关系 一、基本知识概要： 1.直线与圆锥曲线的位置关系：相交、相切、相离。 从代数的角度看是直线方程和圆锥曲线的方程组成的方程组，无解时必相离；有两 组解必相交；一组解时，若化为x 或 y 的方程二次项系数非零，判别式=0 时必相切， 若二次项系数为零，有一组解仍是相交。 2.弦：直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径。 3. 当直线的斜率存在时，弦长公式： 21 2 1xxkl=w 或当k存在且不为零时 21 2 1 1yy k
2、l， （其中（ 11, y x ） ， （ 22, y x ）是交点坐标） 。 抛物线pxy2 2 的焦点弦长公式|AB|= 2 21 sin 2 p pxx， 其中 为过焦点的直 线的倾斜角。 4.重点难点 :直线与圆锥曲线相交、相切条件下某些关系的确立及其一些字母范围的确定。 5. 思维方式 : 方程思想、数形结合的思想、设而不求与整体代入的技巧。 6.特别注意 :直线与圆锥曲线当只有一个交点时要除去两种情况，些直线才是曲线的切线。 一是直线与抛物线的对称轴平行；二是直线与双曲线的渐近线平行。 二、例题： 【例 1】直线 y=x+3 与曲线1 4 | 9 2 xxy （） A。没有交点 B
3、。只有一个交点 C。有两个交点 D。有三个交点 解 ：当 x0 时，双曲线1 49 22 xy 的渐近线为：xy 2 3 ，而直线y=x+3 的斜率 为 1，10 因此直线与椭圆左半部分有一交点，共计3 个交点，选D 思维点拔 注意先确定曲线再判断。 2013-4-20 2 【例 2】已知直线)22tan(:xyl交椭圆99 22 yx于 A、B 两点，若为l的倾 斜角，且AB 的长不小于短轴的长，求的取值范围。 解：将l的方程与椭圆方程联立，消去 y ，得 09tan72tan236)tan91( 2222 xx 2 2 2 2 12 2 tan91 6tan6 )tan91( tan1ta
4、n1xxAB 由 3 3 tan 3 3 , 3 1 tan,2 2 得AB， 的取值范围是 , 6 5 6 ,0 思维点拔 对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l的方程由tan给 出，所以可以认定 2 ，否则涉及弦长计算时，还要讨论 2 时的情况。 【例 3】已知抛物线xy 2 与直线)1( xky相交于 A、 B两点 （1）求证：OBOA （2）当OAB的面积等于10时，求k的值。 （1）证 明 ： 图 见 教 材P127 页 ， 由 方 程 组 )1( 2 xky xy 消 去 x 后 ， 整 理 得 0 2 kyky。设),(),( 2211 yxByxA，由韦达定理得1
5、 21y yBA,在 抛物线xy 2 上， 21 2 2 2 12 2 21 2 1 ,xxyyxyxy OBOA yyxx yy x y x y kk OBOA ,1 1 2121 21 2 2 1 1 （2）解：设直线与x 轴交于 N，又显然,0k令），（，即则01N1,0xy 2013-4-20 3 2121 2 1 2 1 2 1 yyONyONyONSSS OBNOANOAB 4) 1 ( 2 1 4)(1 2 1 2 21 2 21 k yyyyS OAB 6 1 ,4 1 2 1 10,10 2 k k S OAB 解得 思维点拔 本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式
6、，函数与方程的思想， 以及分析问题、解决问题的能力。 【例 4】在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称，求 k 的取值范围。 解设B、C 关于直线y=kx+3 对称，直线BC方程为 x=-ky+m 代入 y 2=4x 得： y 2+4ky-4m=0， 设 B（x1，y1） 、C（x2，y2） ，BC中点 M （x0，y0） ，则 y0=（y1+y2）/2=-2k 。x0=2k 2+m ， 点 M （ x0，y0）在直线上。-2k （2k 2+m ）+3， m=- k kk322 3 又 BC与抛物线交于 不同两点， =16k 2 +16m0把 m代入化简得0 32 3 k
7、 kk 即0 )3)(1( 2 k kkk ， 解得 -10 即 m 2 -k 2-90 设 M （x1，y1） 、N（x2， y2） 2 1 9 2 2 21 k kmxx ， k k m 2 9 2 把代入可解得：33kk或 直线l倾斜角 3 2 , 22 , 3 思维点拔 倾斜角的范围，实际上是求斜率的范围。 三、课堂小结： 1、 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，对消元后的一元二次方程，必须讨论二次项 的系数和判别式，有时借助于图形的几何性质更为方便。 2、 涉及弦的中点问题，除利用韦达定理外，也可以运用点差法，但必须是有交点为前提， 否则不宜用此法。 3、求圆锥曲线的弦长，可利用弦长公式 21 2 1xxkl= 21 2 21 2 4)()1(xxxxk或当k存在且不为零时 21 2 1 1yy k l， （其中（ 11, y x） ， （ 22, y x）是交点坐标。 2013-4-20 5 再结合韦达定理解决，焦点弦长也可利用焦半径公式处理，可以使运算简化。 四、作业布置：教材 P127闯关训练。