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1、第二节函数的定义域与值域（最值） 考纲解读会求 些简单函数的定义域和值域 命题趋势探究考查重点是求解函数的定义域和值域 知识点精讲 一、函数的定义域 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切tanyx的定义域是,x xR 且, 2 xkxkZ ； （6）已知fx的定义域求解fg x的定义域，或已知fg x的定义域求fx的 定义域，遵循两点：定义域是指自变量的取值范围；在同一对应法则 下，括号内式子 的范围相同； （7）对于实际问题中函
2、数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的 定义域 . 二、函数的值域 求解函数值域主要有以下十种方法： （1）观察法；（2）配方法；（3）图像法；（4）基本不等式法， （ 5）换元法；（6）分离常数 法； （7）判别式法；（8）单调性法， （9）有界性法；（10）导数法 . 需要指出的是，定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 题型归纳及思路提示 题型 13 函数定义域的求解 思路提示 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子 fx 有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例 2.10 函
3、数 2 ln1 34 x y xx 的定义域为（） A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1 分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解 解析 2 10 , 340 x xx 得11x，故选 C 变式 1 函数ln 1yxx的定义域为（） A.(0， 1) B0， 1）C.(0，1 D0 ，1 变式 2 求函数 2 21 log1 x fx x 的定义域 . 三、抽象函数定义域 已知fx的定义域求fg x的定义域，或已知fg x的定义域求fx的定义域， 或已知fg x的定义域求fh x的定义域 . 解题时注意： （1）定义域是指自变量的取值范围；（2）在同一
4、对应法则 的作用下括号内式 子的范围相同 . 例 2.11 （1）已知函数fx的定义域为（ 0，1）求 2 fx的定义域 （2）已知函数 2 fx的定义域为（ 2，4）求fx的定义域 （3）已知函数 2 fx的定义域为（ 1，2）求21fx的定义域 . 分 析已 知 函 数fx的 定 义 域 为D ， 求 函 数fg x的 定 又 域D， 只 需 Dx gxD;已知函数fg x的定义域D,求函数了fx的定义域，只需 ,Dt tg xtD，即求g x的值域 . 解析（1）fx的定义域为（ 0，1） ，即 00 时可利用单调性法. （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域
5、.因为常出现反解 出 y 的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法. (10) 导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而求出函 数的值域 . 一观察法 例 2.14 求函数 1xy 的值域 . 分析由观察法直接得到函数的值域. 解析因为0x，所以函数的值域为),1 . 变式 1 函数)( 1 2 2 Rxy x x 的值域是. 变式 2 函数)( 1| | Rx x x y的值域是. 二配方法 例 2.15求函数 x xy 2 45的值域 . 分析对于根式中的二次函数，利用配方法求解. 解析由045 2 x x ，得5 ,1x. 2 2 (44)9290,3yxxx
6、. 变式 1 求函数 )1(1 1 )( xx xf的值域 . 变式 2 求xxxf53)(的值域 . 变式 3 设函数)0()( 2 acbxaxf x 的定义域为D， 若所有点),(),(,(Dtstfs 构成一个正方形区域，则a 的值为（） . A -2 B -4 C -8 D 不能确定 三图像法（数形结合） 例 2.16 求函数 22 2222yxxxx的值域 . 分析由函数表达式易联想到两点间距离公式，可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析如图 2-4 所示， 1 ) 1( 1 ) 1( 2 2 2 2 xx y，所示动点P（ x,1）到两定点 A（-1,0）和 B（1,0）的距
7、离之和，作点B（ 1,0）关于直线y=1 的对称点 , (1 ,2)B，连接 B1A 交 y=1 于点 P1 （0,1）,此时 AB1的长即为PA 与 PB 的长之和的最小值，点P1 （0,1）到 A,B 两点的距离之和为2 2，故函数的值域为2 2,+ . 评注本题中也可看着动点P（x,0）与两定点A1(-1,1),B1(1,1)的距离之和，同理利用数形结 合思想， |PA1 |+|PB1| | 2 2A B，则 |PA1 |+|PB1|的最小值为2 2. 变式 1 求函数 y=|x+1|+|x-2| 的值域 . 变式 2 函数 sin1 ( )(02 ) 32cos2sin x f xx
8、xx 的值域是（）. B O P(x,1) A B A B A 图 2-4 P A 2 ,0 2 B 1,0C 2,0D 3,0 变式 3 函数 2 12 ( ) 23 fx x x 的值域是（）. A 621 621 , 55 B 621 321 , 55 C 621 ,2 5 D 621 2, 5 四基本不等式法 例 2.17 已知 x2,求函数 2 45 ( ) 24 xx f x x 的值域 . 解析令24(0,)tx,则 4 2 t x， 2 2 44 45 4122 44 tt tt y ttt 1 21 4 t t （当且仅当 1 4 t t ，即t=2,x=3 时取等号） .故
9、函数fx的值域为1,). 变式 1 求函数 1 1 yx x 的值域 . 五、换元法（代数换元与三角换元） 【例 2.18】求函数2, 1, 3243)(xxf xx 的值域 . 解 析令2, 1,2xt x ， 则4, 2 1 t， 得4, 2 1 ,33 2 ttty. 因 为 函 数 33 2 tty的对称轴 6 1 t，所以函数在区间 4, 2 1 上单调递增，所以值域为47, 4 13 . 故函数)(xf的值域为47, 4 13 . 变式 1： 求函数xxy2的值域 . 变式 2： 求函数 2 2xxy的值域 . 六、分离常数法 【例 2.19】求 2 12 x x e e y的值域
10、 . 分析本例中的函数是关于 x e的齐次分式，故可以考虑使用分离常数法加以求解. 解析由题意得 2 3 2 2 342 1 12 xx x x x ee e e e y，因为0 x e，所以 2 3 2 3 0 x e . 2 2 3 2 2 1 ,0 2 3 2 3 xx ee ，故值域为)2, 2 1 (. 变式 1： 求函数 1 53 x x y的值域 . 变式 2： 求函数 6 65 2 2 xx xx y的值域 . 七、判别式法 【例 2.20】求函数 2 2 1 1 xx y xx 的值域 . 解析因为0 4 3 ) 2 1 (1 22 xxx恒成立，所以函数的定义域为R. 原式
11、可化为1)1( 22 xxxxy.整理得01)1() 1( 2 yxyxy.若1y，即 02x，即0x；若1y，因为Rx，即有0，所以0) 1(4) 1( 22 yy，解 得3 3 1 y且1y.综上所述，函数的值域为 3 , 3 1 . 变式 1： 已知函数 1 )( 2 x bax xf的值域为4, 1，求ba,的值 . 变式 2： 已知函数 1 8 log)( 2 2 3 x nxmx xf的定义域为R，值域为2,0，求nm,的值 . 八、单调性法 【例 2.21】求函数11xxy的值域 . 解析由函数的定义域为), 1，且函数 11xxy 在区间), 1上单调递增 .当 1x时， 2y
12、，所以函数的值域为),2. 变式 1： 求函数 11xxy 的值域 . 变式 2：函数 xxxf3245)( 的值域是 _. 变式 3： 求函数2252 22 xxxxy的值域 . 变式 4： 求函数 2252 22 xxxxy的值域 . 九、有界性法 【例 2.22】求函数)( 2 2 2 2 Rx x x y的值域 . 解析解法一（有界性法）：由题意可得yxyxyyx x x y2)2(22 2 2 222 2 2 ， 即有 2 2 2 y y x，由Rx，可知0 2 x，故0 2 2 2 y y x，可得20y，因此所求函 数的值域为)2,0. 解法二 （分离常数法） ： 2 4 2 2
13、 4)2(2 22 2 xx x y，由Rx，可知22 2 x，故 2 2 4 0 2 x ，因此函数的值域为)2,0. 变式 1： 已知函数)1 ,0( 2 2 x e e y x x ，求函数的值域. 变式 2：已知函数 34)(, 1)( 2 xxxgexf x ，若有)()(bfaf，则b的取值范围 为（） 22,22.A)22,22.(B3 , 1.C)3 , 1.(D 【例 2.23】已知x0，求函数 x x y sin cos2 的值域 . 解 析由xxycos2sin， 得2c o ss i nxxy2)s i n (1 2 xy ， 且 y 1 t a n，故1 1 2 )s
14、in ( 2 y x.得3y或3y.又0sin),0(xx， 0cos2x，则0y.故3y.因此函数的值域为), 3. 评注本题也可以用数形结合思想求解，设xvxucos,sin，则y的几何意义为点 )2,0(与点),(vu所确定直线的斜率，其中),(vu为单位圆在y轴左侧部分 . 变式 1： 已知)2,0x，求函数 x x y cos2 sin1 的值域 . 十、导数法 【例 2.24】求函数 )3 , 3(12)( 3 xxxxf的值域 . 解 析由0312)( 2 xxf， 得2, 2 21 xx.由 表2 1看 出 ，)(xf的 最 大 值 )(,16)2(),3(max)( max
15、xfffxf的最小值16)3(),2(min)( min ffxf， 故 )(xf的值域为16,16. 2-1 33, 222,222,33 ( )00 ( )99 x fx f x 表 极小值极大值 评注对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解，此类解法在第三章导数中 有更为系统的介绍. 变式 1：若函数cxbxxy 23 在区间0 ,(及),2上都是增函数， 而在)2,0(上是减 函数，求此函数在4, 1上的值域 . 最有效训练题5（限时 45 分钟） 1.已知Ra，则下列函数中定义域和值域都可能是R 的是（） axyA 2 .1. 2 axyB1. 2 xaxyC1. 2 ax
16、xyD 2.若函数 34 4 )( 2 mxmx x xf的定义域为R，则实数m的取值范围是（） RA.) 4 3 ,0.(B), 4 3 .(C) 4 3 ,0.D 3.定义域为R 是函数)(xfy的值域为,ba，则函数)(axfy的值域是（） ,2.baaA,0.abB,.baC,baa 4.函数 x y416的值域是（） ),0.A4 ,0.B)4,0.C)4,0.(D 5.设函数)(2)( 2 Rxxxg， )()( )(4)( )( xgxxxg xgxxxg xf， 则)(xf的值域是（） ), 1 (0, 4 9 .A),0.B), 4 9 .C),2(0 , 4 9 .D 6.
17、对 任 意 两 实 数ba,， 定 义 运 算 “ * ” 如 下 ： )( )( * bab baa ba 若 若 ， 函 数 xxxf 2 2 1 log*)23(log)(的值域为（） )0,.(A),0.(B0 ,.(C),0.D 7.函数)2lg(1xxy的定义域是 _. 8.函数,0, 2sin 1cos x x x y的值域为 _. 9.若函数)(xfy的值域为3 , 1，则函数)3(21)(xfxF的值域是 _. 10.已知函数430( 2 xxxf，定义域为,0m，值域为4, 4 25 ，则m的取值范围是 _. 11.求下列函数的定义域. （1）1 |2 1 2 x x y；
18、 （2） 0 2 )45( ) 34lg( x x x y； （3） xxycoslg25 2 ； （4）)34(log 2 5. 0 xxy； （5） x e y 1 1 ； （6） 2 2 9 )2lg( )( x xx xf； （7）已知函数)(xf的定义域是4, 2，求)3( 2 xxf的定义域； （8）已知函数)1(xf的定义域为3,2，求)22( 2 xf的定义域 . 12.求下列函数的值域. （1） ) 30( 142 2 xxxy； （2） x x y 21 21 ； （3） 2 234xxy； （4）xxy212； （5） 2 1xxy； （6） x x y sin2 sin ； （7）)1)(1 1 1 (log 5 .0 x x xy； （8） 1 3 2 2 xx xx y.