2018年高考数学总复习解三角形.pdf

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1、1 第四节解三角形 考纲解读 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题 . 命题趋势探究 1. 本节为高考的必考和重点考查内容，在选择题、填空题和解答题中都有出现， 并越来越成为三角函数部分的核心考点. 2. 题型有三：一是解三角形出现边角互化求角、求边；二是三角形形状判定；三 是最值问题 . 题型和分值较稳定，且有逐渐上升趋势，属中等难度. 知识点精讲 在 ABC 中，角 ,A B C所对边依次为, , .a b c 1. 角的关系 180 ,sinsin()ABCABC coscos(),t

2、antan(),ABCABC sincos,cossin. 2222 ABCABC 2. 正弦定理 2 (2 sinsinsin abc RR ABC 为ABC的外接圆的直径） . 正弦定理的应用： 已知两角及一边求解三角形. 已知两边及其中一边的对角，求另一对角： 若 ab,已知角求角 . 1, sin1, 2 1, BB 无解 ； 两解（一锐角、一钝角） 若 ab, 已知角求角，一解（锐角）. 3. 余弦定理 222 2coscababC（已知两边 a,b 及夹角求第三边c） 222 cos 2 abc C ab （已知三边求角） . 余弦定理的应用： 已知两边及夹角求解第三边； 已知三边

3、求角； 已知两边及一边对角不熟第三边. 4. 三角形面积公式 1111 sinsinsin. 2222 ABC SahabCbcAacB 2 题型归纳及思路提示 题型 67 正弦定理的应用 思路提示 （1）已知两角及一边求解三角形； （2）已知两边一对角； . sin1 sin sin1 A A A 大角求小角一解（锐） 两解（一锐角、一钝角） 小角求大角一解1（直角） 无解 （3）两边一对角，求第三边. 一、利用正弦定理解三角形 例 4.39 已知 ABC 中， 53 cos,sin,1 135 ABa 求cosC及边长 c 分析已知两角及一边用正弦定理. 解析因为 ,A B C为ABC的内

4、角，所以有 coscos()cos()CABABcoscossinsin.ABAB 因为 (0,),A 且 5 cos0, 13 A 所以 (0,), 2 A 12 sin 13 A . 由此知 sinsin0,AB 据正弦定理得 ab所以,AB因此 (0,), 2 B 且 3 sin, 5 B 得 4 cos, 5 B 故 5412316 cos. 13513565 C 因此 63 sin. 65 C 由正弦定理得, sinsin ca CA 得 63 1 sin21 65 . 12 sin20 13 aC c A 评注本题已知两角及一边，用正弦定理：在 ABC 中， sinsin.ABab

5、AB 变式 1在 ABC中，角,A B C所对边依次为 , , ,2,2,a b c ab sincos2,BB 则角的大小为. 例 4.40 在 ABC中，角,A B C所对边依次为 , , ,30 ,6,a b cBc记 ( ).bf a 若函数 ( )( )(g af ak k是常数）只有一个零点， 则实数k的取值范围是（ ） . .03A kk或6k. 36 Bkk. 6 Ckk.6Dk k或3k 分析三角形问题首先根据题意画出三角形，的最小值为 边的垂线段， 再根据零点的意义及函数求解. 3 解析由 ( )( )0,g af ak 且 ( ).bf a ，得 ( ),kf ab如图

6、434 所示，由 30 ,6,Bc知边和的最小值为 sin3,cB 唯一的 ()aBC 符合 ( )f ak 即若3,k则( )3,f ab此时存在函数( )g a有唯一零点，若 36k 时，则 ( )(3,6),f ab 此时以点为圆心， b 边为半径的圆与边及延长线有两个交 点 12 ,C C ， 如 图4 34 所 示 ， 则 存 在 两 个 a值 1122 (,),aBC aBC 使 得 ()()g afak 有两个零点 . 若 6k 时，则 ( )6,f ab 则以点为圆心， b 边为 半径的圆与边及延长线（除点外）只 有一个交点3 C， 使得 3 aBC ，故函数 ( )g a 有

7、 唯一零点 . 综上，实数 k 的取值范围为 3k 或 6.k 故选 . 评注三角形问题一般先根据题意作出图 形，抓住已知量， 充分想到三角形的边角关系及正弦定理，并尽可能转化和构造 直角三角形 . 变式 1 （1）在 ABC中，已知角,A B C所对的边分别为, , ,a b c 且3 2,2,ba 如果三角形有解，则角A的取值范围是 ; (2) 在 ABC中，已知角,A B C所对的边分别为, , ,a b c 且 1,2,ba 如果三角形 有解，则角 B的取值范围是 ; （3）在 ABC 中，已知角,A B C所对的边分别为, , ,a b c且2 3,3,ac如果三 角形有解，则角 C

8、的取值范围是 . 二、利用正弦定理进行边角转化 例 4.41 在 ABC中，若 A=2B ，则 a b 的取值范围为（）. A.(1,2) .(1, 3)BC.(2,2)D.(2,3) 分析题中有边与角的关系及角的范围，可考虑用正弦定理转化为角的关系，再 由角的范围来定边的范围. 解析由正弦定理知 sinsin 2 2cosB, sinsinB aAB bB 且( )(0,),AB即03B得 0 3 B ，因此 1 cos(,1), 2 B 所以 (1,2). a b 故选 A. 评注在 ABC中， 利用正弦定理2 sinsinsin abc R ABC ， 进行边与角的转化， 在条件中有边也

9、有角时， 一般考虑统一成边或角的形式，再由两角和与差的公式 来求解 . 4 变式 1 （1）若在锐角 ABC中，若 A=2B ，则 a b 的取值范围为 ; （2）若在直角 ABC 中，若 A=2B ，则 a b 的取值集合为 ; （3）若在钝角 ABC 中，若 A=2B ，则 a b 的取值集合为 . 变式 2 在 ABC中， 60 ,3BAC，则 AB+2BC 的最大值为 . 变式 3（2012 课标全国理 17）已知 , , ,a b c 分别为 ABC三个内角,A B C的对边， cos3 sin0aCacbc， （1）求 A； （2）若 2a ， ABC的面积为 3，求 ,b c.

10、变式 4 （2012 江西理 17） 在 ABC 中， 角 ,A B C的对边分别为, , ,a b c 已知 4 A ， sin()sin(), 44 bCcBa （1）求证： ; 2 BC （2）若 2a ，求 ABC的面积 . 题型 68 余弦定理的应用 思路提示 (1) 已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边. (2) 已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值， 若余弦值 0,ABC 0,ABC. 0,ABC 则为锐角三角形 则为直角三角形 则为钝角三角形 一、利用余弦定理解三角形 例 4.42 在 ABC 中， 2 1,3, 3 bcC ，则 a= . _.B 分析

11、 已知两边一对角，求第三边用余弦定理，求另一对角用正弦定理. 解析由余弦定理得， 222 2coscababC，得 21 312() 2 aa ，即 2 20aa，且0a，故1.a 由正弦定理得， sinsin bc BC ，即 13 sin3 2 B ，得 1 sin 2 B ，又 bcBC ，则30B 5 变式 1 在 ABC中，3,26,2,abBA， (1) 求cos A的值； （2）求c 的值. 变式 2 （2012北京理 11） 在 ABC 中， 若 1 2,7,cos 4, abcB ， 则 _ .b 变式 3（2012 福建理 13）已知 ABC的三边长成公比为 2的等比数列，

12、则其最 大角的余弦值为 . 例 4.43 （2012 陕西理9）在 ABC中，角,A B C所对边的长分别为, , ,a b c 若 2 22 2abc ，则cosC的最小值为（）. 3 . 2 A 2 . 2 B 1 . 2 C 1 . 2 D 解析因为 2 222222 2 2 1 cos 2222 abcccc C ababc ab 当且仅当a b时取“=” ， 所以 cosC 的最小值为 1 . 2 故选 C. 变式 1 在 ABC中，角,A B C所对边分别为, , ,a b c 若1.30acB，求b的取 值范围 . 变式 2 在 ABC 中，角 ,A B C所对边分别为, , ,

13、a b c 若4.60 ,bB，求ABC S 的 最大值 . 二、利用余弦定理进行边角转化 例 4.44 在 ABC中， 角,A B C所对边分别为, , ,a b c 若 222 ()tan3,acbBac 则 角 B的值为（）. . 6 A. 3 B. 6 C或 5 6 . 3 D或 2 3 解析 （边化角）已知等式可变化为 222 3 tan, 22 acb B ac 则 sin3 cos, cos2 B B B 得 3 sin,(0,), 2 BB所以 3 B 或 2 3 . 故选 D. 变式1在 ABC 中，角,A B C所对边分别为, , ,a b c且 2 sin(2)sin(2

14、)sin.aAbcBcbC （1）求 A的值； （2）求sin +sinBC的最大值 . 6 变式2 在锐角三角形中，角 ,A B C所对边分别为, , ,a b c 若 +=6cos ba C ab ，则 tantan +=_. tantan CC AB 变式 3 在 ABC中，角,A B C所对边分别为, , ,a b c 且 22 -=2 ,sincos=3cossina cbACAC ，求.b 题型 69 判断三角形的形状 思路提示 （1）求最大角的余弦，判断 ABC是锐角、直角还是钝角三角形 . （2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等 边还是直角三角形

15、 . 例 4.45 在 ABC中，若sin=2cossinCAB，则此三角形必为（ ）. A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 分析角化边或 sin=sin(+ )CA B . 解析解法一：角化边 . 222 2222+ =2 222 cbcab cbca RbcR ba，则三 角形为等腰三角形，故选A. 解法二：因为 sin=sin(+ )CA B ， 所以sin coscossin2cossinABABABsincoscossin0ABAB ， sin()0,(),(0,)ABABkkZA B0kAB，则三角形为等腰三 角形，故选 A. 变式 1 设 ABC

16、的内角为 ,A B C所对边分别为, , ,a b c 若 coscossin,bCcBaA 则 ABC 的形状为（）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 变式 2（2012 上海理 16）在 ABC中，若 222 sinsinsinABC，则ABC的形 状为（）. A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 变式 3 已知 ABC中， 2 cos 22 Abc c ，则ABC的形状为（）. A.直角三角形 B. 等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D. 等腰直角三角形 变式 4（1）已知函数 22 ( )cos2 3sincossin.f xxxx

17、x 求 ( )f x 的最小正周期和值域； （2）在 ABC 中，角 ,A B C所对边分别为, , ,a b c 若 ()2 2 A f 且 2 abc，试判断 7 ABC的形状 . 题型 70 正、余弦定理与的综合 思路提示 先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式， 再利用三角函数转化求解. 例 4.46 在 ABC中，角,A B C所对边分别为, , ,a b c 且1.AB ACBA BC （1）求证： ;AB （2）求边长c的值； （3）若6ABAC，求 ABC 的面积 . 分析（3）中ABAC为 ABCD 对角线 AD长，由平行四边形对角线性质可求出 AC

18、=BC ，设 AB中点为 M ， 1 2 ABC SAB CM 解析 （1）利用数量积定义， coscos1bcAacB cossin cossin bBB aAA tantanAB.AB （ 2） 如 图 4-35所 示 ， 取等 腰三 角形 AB 边 上 的 中 线 （即 高线 CM ，则 co s 2 c AMbA . cos1 2 c AB ACcbAc ， 故2.c或 2 c AM 是AC在AB方向上的投影， 由向量数量积的几何意义可知 2 1 1. 2 AB ACAB AMc 故2.c (3) 如图 4-35 所示， ABCD 中， 6,ABACAD在ABD中， 222 ,2 co

19、s(),BDab ADcaaA在ABC中， 222 2cos .BCbcbcA 22 222 62cos 2cos caacA abcbcA 由 +得 22222 622622,2,acaaca即2abc，在等边 ABC中， 1133 sin22 2222 ABC SabC或 2 33 . 42 ABC Sa 评注+得平行四边形公式：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平 方和，即在 ABCD 中， 2222 22ADBCABAC. 变式 1 （2012湖南理 7） 在 ABC 中，2,3,1ABACAB BC， 则 BC=（） 8 . 3A. 7B .2 2C . 23D 变式 2 在 A

20、BC 中，角 ,A B C所对边分别为, , ,a b c,(13)2 . 6 Acb (1) 求 C；（2）若13CB CA，求 , , .a b c 变式 3 在 ABC中，角,A B C所对边分别为, , ,a b c 且 2 5 cos,3. 25 A AB AC （1）求 ABC 的面积；（2） 6bc ，求a的值. 变式 4 在 ABC中，角,A B C所对边分别为, , ,a b c 且 cos3 coscos .bCaBcB （1）求cos B的值； （2）若2,BA BC且 2 2b ，求a和c的值. 题型 71 解三角形的实际应用 思路提示 根据题意画出图形， 将题设已知、

21、 未知显示在图形中， 建立已知、未知关系， 利用三角知识求解 . 例 4.47 如图 4-36 所示，游客从某旅游景区的景点A处下山至 C处有两种路径 . 一种是从 A沿直线步行到 C，另一种是先从 A沿索道乘缆车到B，然后从 B沿直 线步行到 C， 现有甲、 乙两位游客从 A处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为 50m/min， 在甲出发 2min 后，乙从 A乘缆车到 B，在 B处停留 1min 后，再从 B处匀速步行 到 C.假设缆车匀速直线运动的速度为了130m/min， 山路 AC长为 1260m ， 经测量， 123 cos,cos. 135 AC （1）求索道 AB的长； （2）问

22、乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离 最短？ （3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 分析 （1）cos ,cos AC的值可求得sin B的值，然后在ABC中利用正弦定理可得 AB 的长度； （2）利用余弦定理将乙与甲之间的距离表示为出发时间的函数，然 后求得函数的最小值，即得最短距离； （3）利用正弦定理求出BC的长，再根据 题意列不等式求解 . 解析 （1）在 ABC中，因为 123 cos,cos. 135 AC 所以 54 sin,sin. 135 AC 从而 sinsin()sin()sincoscossinBACACACAC 5

23、312463 . 13513565 由正弦定理 sinsin ABAC CB ，得 12604 sin1040( ). 63 sin5 65 AC ABCm B 所以索道 AB的长为 1040m. (2) 假设乙出发 tmin 后，甲、乙两游客距离为d，此时甲行走了（ 100+50t）m ， 9 乙距离 A处 130tm，所以由余弦定理得 222 12 (10050 )(130 )2 130(10050 ) 13 dtttt 2 200(377050).tt由于 1040 0 130 t ，即08t，故当 35 (min) 37 t 时，甲、乙 两游客距离最短 . (3) 由正弦定理 sins

24、in BCAC AB ，得 12605 sin500( ). 63 sin13 65 AC BCAm B 乙从 B出发时，甲已走了50(281)550(),m还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为vm/min，由题意得 500710 33, 50v 解得 1260625 . 4314 v 所以为使两游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在 1250 625 , 4314 （单位： m/min）范围内 . 评注 解三角形应用题问题，关键是能根据实际问题的背景建立三角形的模型， 再正弦定理和余弦定理求解三角形，最后要特别注意结果要符合题意，并带上单 位. 变

25、式 1 为了测量正在海面匀速行驶的某航船的位 置，如图 4-37 所示，在海岸上选取距离1km的两 个观测点 C，D ，在某天 10：00 观察到该航船在 A 处，此时测得30 ,ADC2 分钟后，该船行驶到 B处，此时测得 60,ACBBCD6ADB 则船速 为.(km/min). 最有效训练题 20（限时 45 分钟） 1. 在 ABC 中，角 ,A B C所对边分别为, , ,a b c 若角 ,A B C依次成等差数列，且 1,3,ab则 . ABC S . 2A 3 . 2 B. 3C .2D 2. ABC的三个内角,A B C所对边分别为, , ,a b c 2 sinsincos

26、2 ,aABbAa则 . b a .2 3A.2 2B. 3C. 2D 10 3. 已 知 ABC 的 三 边 长 分 别 为 , , ,a b c 且 面 积 2221 () , 4 ABC Sbca 则 ().A .15A.30B.45C.120D 4 . 若 ABC的内角,A B C所对边分别为, ,a b c满足 22 ()4abc且60C，则 ab的值为（）. 4 . 3 A .84 3B .1C 2 . 3 D 5. . 在 ABC中， 222 sinsinsinsinsinABCBC， 则 A的取值范围是（） . .(0, 6 A.,) 6 B.(0, 3 C.,) 3 D 6.

27、 在锐角 ABC中，已知ABC，则cos B的取值范围为（ ）. 2 .(0,) 2 A 12 .,) 22 B .(0,1)C 2 .(,1) 2 D 7. 在 ABC 中，若120 ,5,AcABC的面积为 5 3 ，则 _.a 8. 在 ABC 中，角,A B C所对边分别为, ,a b c如果3 ,30 ,ca B那么角C 等 于 . 9. 已知 ABC的一个内角为 120， 并且三边长构成公差为4 的等差数列，则 ABC 的面积为 . 10. 在 ABC 中，角 ,A B C所对边分别为, ,a b c，若sinacA，则 ab c 的最大值 为 . 11. 在 ABC中，已知2,2. ABC AB ACS （1）求tan A的值； （2）若sin 2cossinBAC，求 BC的长. 12. 为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，三角形支 架如图 4-38 所示，要求60 ,ACBBC 的长度大于1 米，且 AC比 AB长 0.5 米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC的最短长度，并求出此时BC的 长度.