2019年高考数学一轮复习：双曲线.pdf

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1、2019 年高考数学一轮复习：双曲线 双曲线 1双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 _等于常数2a(2a_|F1F2|)的点的轨迹叫 做双曲线这两个定点叫做双曲线的_，两焦 点间的距离叫做双曲线的_ (2)另一种定义方式(见人教 A 版教材选修21 P59 例 5)： 平面内动点M 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离之比等于常数e(e1)的轨迹叫做双曲线 定 点 F 叫做双曲线的一个焦点，定直线l 叫做双曲线的 一条准线，常数e 叫做双曲线的 _ (3) 实 轴 和 虚 轴 相 等 的 双 曲 线 叫 做 _“离心率e2”是“双曲线为等轴 双曲线”的 _

2、条件，且等轴双曲线两条渐近线互 相_一般可设其方程为x2y2 ( 0) 2双曲线的标准方程及几何性质 焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上 (1)图形 (2)标准 方程 y 2 a 2 x 2 b 21(a 0， b0) (3)范围xa 或 x aya 或 y a (4)中心原点 O(0，0) (5)顶点A1(a，0)，A2(a，0) (6)对称轴x 轴， y 轴 (7)焦点 F1(0， c)， F2(0， c) (8)焦距2c 2a 2b2 (9)离心率 (10)渐近线 方程 y a bx 自查自纠 1(1)绝对值焦点焦距(2)离心率 (3)等轴双曲线充要垂直 2 (2) x 2 a 2 y 2

3、 b 21(a0， b0)(5)A1(0， a)， A2(0， a) (7)F1(c，0)， F2(c，0)(9)e c a(e1) (10)y b ax (2015 福建 )若双曲线E： x 2 9 y 2 161 的左、右 焦点分别为F1、F2，点 P 在双曲线E 上，且 |PF1|3， 则|PF2|等于 ( ) A11 B9 C5 D 3 解： 根据双曲线的定义，得|PF2| |PF1| 23 6，所以 |PF2|3|6，所以 |PF2|9 或|PF2| 3(舍 去)，故选 B. 与椭圆 x 2 4 y21 共焦点且过点P(2， 1)的双曲 线方程是 () A. x 2 4 y 2 1

4、B. x 2 2 y 21 C.x 2 3 y 2 3 1 Dx2 y 2 2 1 解： 椭圆 x 2 4 y21 的焦点坐标是( 3，0) 设双曲线方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0， b0)， 因为双曲线过点P(2，1)， 所以 4 a 2 1 b 21，又 a2b23， 解得a 22，b21，所以所求双曲线方程是x 2 2 y 21.故选 B. 若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 (a0，b0)的焦点到其渐 近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为 () A.5 B5 C.2 D2 解： 由题意得b2a，又 a2b2c2，所以 5a2 c 2.所以 e2c 2 a

5、25，所以 e5.故选 A. (2016 江苏 )在平面直角坐标系xOy 中，双曲 线 x 2 7 y 2 3 1 的焦距是 _ 解： 易知 a2 7，b23，则c2a2b273 10，即 c10，则焦距 2c 2 10.故填 2 10. (2016 全国卷 )已知 F1， F2是双曲线 E： x 2 a 2 y 2 b 21 的左、 右焦点， 点 M 在 E 上，MF1与 x 轴垂直， sin MF2F1 1 3，则 E 的离心率为 _ 解： 易知离心率e |F1F2| |MF2|MF1|，由正弦定理得 e |F1F2| |MF2|MF1| sinF1MF2 sinMF1F2sinMF2F1

6、 22 3 1 1 3 2.故填2. 类型一双曲线的定义及标准方程 (1)过双曲线 C：x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的右 顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A. 若以 C 的右焦点F 为圆心、半径为4 的圆经过A，O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线C 的方程为 () A. x 2 4 y 2 121 B.x 2 7 y 2 9 1 C.x 2 8 y 2 8 1 D. x 2 12 y 2 4 1 解： 因为渐近线y b ax 与直线 xa 交于点 A(a， b)，c4 且（4a） 2b24，解得 a2，b212， 因此双曲线的标准方程为 x 2 4 y 2

7、 121.故选 A. (2)已知 F1，F2为双曲线 C：x 2y21 的左、右 焦点，点P 在 C 上， F1PF260，则 |PF1|PF2| 等于 () A2 B4 C6 D8 解： 由双曲线的方程得a1，c2， 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2. 在PF1F2中，由余弦定理得 |F1F2| 2 |PF 1| 2|PF 2| 22|PF 1| |PF2|cos 60， 即(22)2|PF1| 2 |PF 2| 2|PF 1|PF2| (|PF1|PF2|)2|PF1|PF2| 22|PF1|PF2|.解得 |PF1|PF2| 4.故选 B. (3)已知圆 C1：(x3) 2y21 和

8、圆 C 2：(x3) 2 y 29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切， 则动圆圆 心 M 的轨迹方程为 _ 解： 如图所示，设动圆M 与圆 C1及圆 C2分别外 切于点 A 和点 B. 根据两圆外切的条件， 有|MC2|MC1|BC2|AC1|2， 所以点 M 到两定点C1、C2的距离的差是常数且 小于 |C1C2|6. 又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线 的左支， 其中 a1，c3，则 b28. 故点 M 的轨迹方程为x2y 2 8 1(x1) 故填 x2 y 2 8 1(x1) 【点拨】 (1)求双曲线的标准方程一般用待定系数 法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了

9、避免讨论 焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2By2 1(A B 0)，这样可以简化运算 (1)(2015 广东 )已知双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21 的离心率e5 4，且其右焦点为 F2(5，0)，则双曲线 C 的标准方程为() A. x 2 4 y 2 3 1 B.x 2 9 y 2 16 1 C. x 2 16 y 2 9 1 D. x 2 3 y 2 4 1 解： 因为 e c a 5 4，F 2(5， 0)，所以 c5，a4， 则 b2 c2a29，所以双曲线C 的标准方程为 x 2 16 y 2 9 1.故选 C. (2)已知 F1，F2为双曲线 C：x2y22 的左

10、、右 焦点，点P 在 C 上， |PF1|2|PF2|，则 cos F1PF2 _ 解： 由双曲线的定义有|PF1|PF2| |PF2|2a 22， 所以 |PF1|2|PF2|4 2， 则 cosF1PF2 （4 2） 2（ 2 2）242 242 2 2 3 4.故 填 3 4. (3)(2016河南模拟 )已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0， b0)的左焦点为F1，左、右顶点分别为 A1，A2，P 为 双曲线上任意一点，则分别以线段PF1，A1A2为直径 的两个圆的位置关系为() A相交B相切 C相离D以上情况都有可能 解：令双曲线的右焦点为F2，设以线段 PF1， A

11、1A2 为直径的两个圆的半径分别为r1， r2，两个圆的圆心 分别为 O1， O2.若 P 在双曲线左支上， 则|O2O1| 1 2|PF 2| 1 2(|PF 1|2a) 1 2|PF 1|a r1 r2，即圆心距为半径 之和，两圆外切若 P 在双曲线右支上， 同理求得 |O2O1| r1r2，故此时，两圆内切综上，两圆相切故选 B. 类型二双曲线的离心率 (1)(2015 全国卷 )已知 A，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在 E 上， ABM 为等腰三角形， 且顶角为120，则 E 的离心率为 () A.5 B2 C.3 D.2 解：不妨取点 M 在第一象限，如图所示，设双曲 线方程

12、为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0， b0)，则 |BM|AB| 2a， MBx 180 120 60，所以M 点的坐标为 (2a， 3a)因为 M 点在双曲线上，所以 4a 2 a 2 3a 2 b 21， ab，所以 c2a，e c a 2.故选 D. (2)已知点 F 是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左焦 点，点 E 是该双曲线的右顶点，过F 作垂直于 x 轴的 直线与双曲线交于A，B 两点，若 ABE 是锐角三角 形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是() A(1， ) B(1，2) C(2，12) D(1，12) 解： 若ABE 是锐角三角形，只需A

13、EF0，则 e 2e21，则 10 ， 所 以e mm 24 m 6，解得 m4 或 m0，故可得 m 的取值范围为(0，1)(4，)故填 (0，1)(4， ) (2)已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的左、右焦点 分别为F1，F2，点P 在双曲线的右支上，且|PF1| 4|PF2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为 () A. 5 4 B. 6 5 C. 5 3 D.8 5 解： 因为 P 在双曲线的右支上，所以由双曲线的 定义可得 |PF1|PF2|2a. 因为 |PF1|4|PF2|， 所以 4|PF2|PF2|2a， 即|PF2| 2 3a， 根据点P 在双曲线

14、的右支上，可得|PF2| 2 3ac a，所以 5 3a c，即 e 5 3，即双曲线的离心率 e的最 大值为 5 3，故选 C. 类型三双曲线的渐近线 (1)已知双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 21()a0，b0 的 离心率为 5 2 ，则 C 的渐近线方程为() Ay 1 4x B. y 1 3x C. y 1 2x D. y x 解： 根据双曲线的性质可知e c a 5 2 ，c2a2 b 2，联立可得 b2 a 2 4 ，即 b a 1 2，故 C 的渐近线方程为 y 1 2x.故选 C. (2)(2015北京 )已知双曲线 x 2 a 2y 21(a0)的一条 渐近线为3xy

15、0，则 a_ 解： 因为双曲线 x 2 a 2 y21(a0)的渐近线方程是y 1 ax，所以 1 a 3，解得 a 3 3 .故填 3 3 . 【点拨】 本例考查双曲线中a，b，c 的关系，以 及双曲线的渐近线等知识渐近线方程可以看作是把 双曲线方程中的“ 1” 用 “ 0” 替换而得到的两条直线方 程 (1)若双曲线C1： x 2 2 y 2 8 1 与 C2： x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为 45，则 b() A2 B4 C6 D8 解：由题意得， b a2? b2a， C 2的焦距 2c4 5 ? ca2b225? b4，故选 B.

16、(2)过双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)的左焦点 F 作圆 O：x 2y2a2 的两条切线，切点为A，B，双曲线左 顶点为 C，若 ACB120，则双曲线的渐近线方程 为() Ay 3xBy 3 3 x Cy 2xDy 2 2 x 解： 如图所示，易知ACO 为等边三角形， 所以 c2a， 所以 b3a， 故双曲线的渐近线方程为y b ax，即 y 3x. 故选 A. 1对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注 意两者的异同点 2在双曲线的定义中，当| MF1|MF2时，动点 M 的轨迹是双曲线的一支，当| MF1|MF2时，轨迹 为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组

17、成的， 故在定义中强调“差的绝对值” 3定义中 |F1F2|2a 这个条件不可忽视，若|F1F2| 2a，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若|F1F2| 2a，则轨迹不存在 4在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分 母”，即标准方程中，x2，y2谁的分母较大，则焦点 就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点 的位置对应“正系数” ，即标准方程中，x2，y2谁的系 数为正 (右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上 5在椭圆中，a， b，c 满足 a 2b2c2，即 a 最 大；在双曲线中， a，b，c 满足 c2a2 b2，即 c 最大 6在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的 一种

18、性质，也是考查的重点内容对渐近线：(1)掌握 方程； (2)掌握其倾斜角、 斜率的求法； (3)会利用渐近 线方程求双曲线方程的待定系数 7已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标 准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方 程 x 2 a 2 y 2 b 20 就是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0， b0)的两条 渐近线方程 8求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲 线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似因 此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2By21 的形式，当A0，B0，AB 时为椭圆，当A B0 时为双曲线 9直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如 当直

19、线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交 于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时， 直线与双曲线仅有一个交点 10与双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)有共同渐近 线的双曲线系方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 ( 0) 1(2016 甘肃模拟 )已知双曲线x 2my21 的虚 轴长是实轴长的2 倍，则实数m 的值是 () A4 B 1 4 C 1 4 D 4 解： 依题意得m0， b0)的一条渐近线方程为y 5 2 x，且与椭圆 x 2 12 y 2 3 1 有公共焦点则C 的方程为 () A. x 2 8 y 2 101 B.x 2 4 y 2 5 1 C.

20、x 2 5 y 2 4 1 D.x 2 4 y 2 3 1 解：因为双曲线的一条渐近线方程为y 5 2 x，则 b a 5 2 . 又因为椭圆 x 2 12 y 2 3 1 与双曲线有公共焦点，易 知 c3，则 a2 b2 c2 9. 由 解得 a2，b5，则双曲线C 的方程为 x 2 4 y 2 5 1，故选 B. 4离心率为2 的双曲线E 的一个焦点到一条渐 近线的距离为1，则 E 的标准方程可以是() A3x 2y21 B.x 2 3 y21 Cx 23y21 Dx 2y 2 3 1 解： b1，又 c a2，解得 a 3 3 ，即双曲线的方 程为 x 2 1 3 y 21 或y 2 1

21、 3 x 2 1，所以 3x2 y2 1 或 3y2 x 21，故选 A. 5(2016 西安模拟 )设 F1，F2分别是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使 F1AF2 90，且 |AF1|3|AF2|，则双曲线的离心率为 () A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D.5 解：因为 F1AF290，故|AF1|2|AF2|2 |F1F2|2 4c2，又 |AF1|3|AF2|，且 |AF1|AF2|2a，故 10a 2 4c2，即 e c a 10 2 .故选 B. 6(2016 南昌调研 )已知 F1，F2是双曲线 C：x 2 a 2

22、y 2 b 21(a0，b0)的两个焦点， P 是 C 上一点，若 |PF1| |PF2|6a，且 PF1F2最小内角的大小为30，则 双曲线 C 的渐近线方程是() A.2xy0 B x2y0 Cx2y0 D 2xy 0 解：由题意， 不妨设 |PF1|PF2|，则根据双曲线的 定义得 |PF1|PF2|2a， 又|PF1| |PF2|6a， 解得 |PF1| 4a， |PF2|2a.在 PF1F2中， |F1F2|2c，而 ca， 所以 |PF2|0 ， b0) ， 所 以 4 2 a 2 （3） 2 b 21， b a 1 2， 解得 a2， b1， 故双曲线方程为 x 2 4 y 21

23、.故填x 2 4 y21. 8(2016 河北模拟 )若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0) 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的 1 4 ， 则该双 曲线的离心率为_ 解： 取双曲线的一条渐近线方程为bx ay0， 一个焦点坐标为(c， 0) 根据题意知 |bca0| b 2 a2 1 42c， 所以 c 2b，则 ac2b23b，所以e c a 23 3 . 故填 23 3 . 9如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点 在 x 轴上， F1、F2分别为左、右焦点，双曲线的左支 上有一点P，F1PF2 3 ，且 PF1F2的面积为2 3， 又双曲线的离心率为2，求该双曲线

24、的方程 解： 设双曲线的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)， 所以 F1( c，0)，F2(c，0) 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2| 2 |PF 1| 2|PF 2| 22|PF 1|PF2|cos 3 (|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|， 即 4c24a2|PF1| |PF2|. 又因为 SPF1F2 2 3， 所以 1 2|PF1|PF 2|sin 3 2 3. 所以 |PF1|PF2|8. 所以 4c2 4a28，即 b2 2. 又因为 e c a 2，所以 a2 2 3. 所以所求双曲线方程为 3x 2 2 y 2 2 1. 10已知双曲线C：

25、 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)的离心 率为3，点 (3，0)是双曲线的一个顶点 (1)求双曲线的方程； (2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为 30的直线， 直线与双曲线交于不同的两点A，B，求 |AB|. 解： (1)由题意得 c a 3， a3， 解得 c3，b6，所 以双曲线的方程为 x 2 3 y 2 6 1. (2)双曲线 x 2 3 y 2 6 1 的右焦点为F2(3，0)， 所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30的直 线的方程为y 3 3 (x3) 联立 x 2 3 y 2 6 1， y 3 3 （x3）， 得 5x 26x270. 设 A(x1，y1)，B(x2

26、， y2)， 则 x1x2 6 5，x1x2 27 5 . 所 以 |AB|1 1 3 6 5 2 4 27 5 163 5 .(或直接解出x19 5，x 2 3) (2015 湛江模拟 )已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a 0，b0)的右焦点为F(c，0) (1)若双曲线的一条渐近线方程为yx 且 c2， 求双曲线的方程； (2)以原点 O 为圆心， c 为半径作圆，该圆与双曲 线在第一象限的交点为A，过点 A 作圆的切线，斜率 为3，求双曲线的离心率 解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y b ax，所以 ab， 所以 c2a2b22a24，得 a2b22. 所以双曲线方程为

27、x 2 2 y 2 2 1. (2)设点 A 的坐标为 (x0，y0)， 则直线 AO 的斜率满足 y0 x0( 3) 1， 所以 x03y0， 依题意，圆的方程为x2y2c2， 将代入圆的方程得3y2 0 y 2 0c 2，即 y 0 1 2c， 所以 x0 3 2 c，所以点A 的坐标为 3 2 c，1 2 c ， 代入双曲线方程得 3 4c 2 a 2 1 4c 2 b 21， 即 3b 2c2a2c24a2b2. 又因为 a 2b2c2， 所以将 b 2c2a2代入 式，整理得 3c 48a2 c 24a40， 所以 3 c a 4 8 c a 2 40，得 (3e 22)(e22)0

28、， 因为 e1， 所以 e2， 即双曲线的离心率为2. 1(2015 安徽 )下列双曲线中， 焦点在 y 轴上且渐 近线方程为y 2x 的是 () Ax 2y 2 4 1 B.x 2 4 y 21 C.y 2 4 x2 1 Dy2 x 2 4 1 解： A，B 选项中双曲线的焦点在x 轴上， C，D 选项中双曲线的焦点在y 轴上，又令 y 2 4 x20，得 y 2x，令 y2 x 2 4 0，得 y 1 2x.故选 C. 2(2016 武汉模拟 )已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0， b0)经过点 (2， 3)， 且离心率为2， 则它的焦距为() A2 B4 C6 D8 解

29、： 由离心率为2得 c a2， 即 c2a， 则 b c 2 a2 3a，又过点 (2，3)，则 4 a 2 9 3a 21，解得 a 21， 则 2c4a4.故选 B. 3已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 28x 的 焦点相同， 若以点 F 为圆心，2为半径的圆与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为() A. y 2 3 x2 1 B.x 2 3 y21 C.y 2 2 x 2 2 1 D.x 2 2 y 2 2 1 解： 设双曲线 C 的方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0)， 而抛物线y28x 的焦点为 (2，0)，所以 F(2，0)，所以 4a 2b2.又

30、圆 F： (x2)2y22 与双曲线 C 的渐近 线 y b ax 相切，由双曲线的对称性可知圆心 F 到双 曲线的渐近线的距离为 2b b 2 a2 2， 所以 a2b22， 故双曲线C 的方程为 x 2 2 y 2 2 1.故选 D. 4已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 与直线 y2x 有交点， 则双曲线离心率的取值范围为() A(1，5) B(1，5 C(5， ) D5， ) 解： 因为双曲线的一条渐近线方程为y b ax，则 由题意得 b a2，所以 e c a 1 b a 2 145. 即双曲线离心率的取值范围为(5， )故选 C. 5(2016 浙江 )已知椭圆C1：

31、x 2 m 2y21(m1)与 双曲线 C2：x 2 n 2y 21(n0)的焦点重合， e 1，e2分别为 C1，C2的离心率，则 () Amn 且 e1e21 Bmn 且 e1e21 Dm0，n0，故 mn. 又因为e 2 1e 2 2 m 21 m 2 n 2 1 n 2 n 21 n 22 n 21 n 2 n 42n21 n 42n2 1 1 n 42n21，所以 e1e21.故选 A. 6已知 F1， F2分别是双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0，b0) 的左、右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使 得(OM OF2 ) F2M 0(其中O 为坐标原点 )，且 |MF

32、 1 | 3|MF2 |，则双曲线的离心率为() A.51 B. 31 2 C. 51 2 D.31 解： 因为 F2M OM OF2 ， 所以 (OM OF2 ) F2M (OM OF2 ) (OM OF2 ) 0，即 OM 2OF 2 20，所以 |OF 2 |OM |c， 在MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一 半，可得 MF1 MF 2 . 因为 |MF1 |3|MF2 |， 所以 |MF 1 |3c，|MF2 |c， 所以根据双曲线定义得2a|MF1 | |MF2 | (3 1)c， 所以双曲线的离心率e 2c 2a 3 1.故选 D. 7双曲线 x 2 3 y 2

33、2 1 的焦距为 _ 解： 由双曲线 x 2 3 y 2 2 1，易知c232 5，所 以 c5， 所以双曲线 x 2 3 y 2 2 1 的焦距为2 5.故填 2 5. 8(2015 全国 )已知 F 是双曲线C：x 2y 2 8 1 的右焦点，P 是 C 的左支上一点， A(0， 6 6) ， 当 APF 周长最小时，该三角形的面积为_ 解： 依题意，双曲线C：x 2y 2 8 1 的右焦点为 F(3，0)，实半轴长a1，左焦点为M( 3，0)，因为 P 在 C 的左支上，所以APF 的周长 l |AP| |PF| |AF|PF| |AF| |AM| |PM| |AF| |AM| 2a 1

34、5 15232，当且仅当A，P，M 三点共线且P 在 A， M 中间时取等号， 此时直线 AM 的方程为 x 3 y 66 1，与双曲线的方程联立得P 的坐标为 ( 2，2 6)，此 时， APF 的面积为 1 266 61 26 2 612 6. 故填 12 6. 9中心在原点， 焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲 线有共同的焦点F1，F2，且 |F1F2|2 13，椭圆的长 半轴与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为37. (1)求这两曲线方程； (2)若 P 为这两曲线的一个交点，求cos F1PF2 的值 解： (1)由已知c13，设椭圆长半轴长、短半 轴长分别为a，b(ab0) 双曲线

35、实半轴长、虚半轴长分别为m，n(m0， n0)， 则 am4， 7 13 a 3 13 m ， 解得 a7，m3.所以 b 6，n2. 所以椭圆方程为 x 2 49 y 2 361， 双曲线方程为 x 2 9 y 2 4 1. (2)不妨设 F1，F2分别为左、右焦点， P 是第一象 限的一个交点， 则 |PF1|PF2|14， |PF1|PF2|6， 所以 |PF1|10，|PF2|4.又|F1F2| 2 13， 所 以cos F1PF2 |PF1| 2 |PF 2| 2|F 1F2| 2 2|PF1| |PF2| 10 242（ 2 13）2 2 104 4 5. 10 (2016 广州模

36、拟)已知双曲线C： x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)的实轴长为23，一个焦点的坐标为( 5，0) (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为2 的直线 l 交双曲线C 于 A， B 两点， 且|AB|4，求直线l 的方程 解： (1)由 2a2 3得 a3，又 c5， 所以 b2c2a22， 则双曲线C 的方程为 x 2 3 y 2 2 1. (2)设直线 l 的方程为y 2xm，A(x1，y1)，B(x2， y2) 由 y2xm， x 2 3 y 2 2 1 得 10x212mx3(m2 2)0， 所以 x1x2 6 5m，x1x2 3（m 22） 10 ， 且 24(m2 10

37、)0，得 |m| 10， 则 弦 长 |AB| 1k2 |x1 x2| 1k 2 （x1x2） 24x 1x2 5 6 5m 2 4 3（m 22） 10 30（m 210） 5 4， 解得 m 210 3 . 所以直线l 的方程为y2x 210 3 或 y2x 210 3 . (2016 焦 作 模拟 )已 知 双曲 线 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0，b0)的实轴长为4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知 O 为坐标原点， 直线 y 3 3 x2 与双曲线 的右支交于M，N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D 使OM ON tOD ，求 t 的值及

38、点D 的坐标 解： (1)由实轴长为43得 a2 3，则一条渐近 线方程为y b 2 3x，即 bx2 3y0，因为焦点到渐 近线的距离为3，所以 |bc| b 212 3，又 c2b2a2， 所以 b23.则双曲线的方程为 x 2 12 y 2 3 1. (2)设 M(x1，y1)，N(x2， y2)，D(x0，y0)，由OM ON tOD 可知， x1x2tx0，y1y2ty0， 由 y 3 3 x2， x 2 12 y 2 3 1 得 x2163x840，所以x1 x2163，则 y1y2 3 3 (x1x2)4 12， 所以 x0 y0 x 1x2 y1y2 43 3 ， x 2 0 12 y 2 0 3 1， 解得 x04 3， y03， 所以 t x1 x2 x0 4，D(43， 3) 2019 年高考数学一轮复习第 10 页 共 10 页