变力做功的计算分析.pdf

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1、变力做功的计算 公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。 一、微元法 对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很 多小段，每一小段内可认为F 是恒力，用求出每一小段内力F 所做的功，然 后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具 有普遍的适用性。 但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变 力的做功问题。 例 1. 用水平拉力， 拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图 1 所示，已知物 块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为。求此过程中摩擦力所做的功。 图 1 思路点拨：由题可知，

2、物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向 时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元 段，如图 2 所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求 出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。 图 2 正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可 认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为， ，摩擦力在一周内所做的功 。 误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s0，得到 W 0，这是 错误的。必须注意本题中的F 是变力。 小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力 的特点变

3、通使用功的公式。如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用 计算该力的功，但式子中的s 不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。 发散演习 如图 3 所示，某个力 F10N作用于半径R 1m的转盘的边缘上， 力 F 的大小保持不变， 但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。则转动半圆，这个力F 做功多少？ 图 3 答案： 31.4J 。 二、图象法 在直角坐标系中， 用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的 位移 s。如果作用在物体上的力是恒力，则其Fs 图象如图4 所示。经过一段时间物体发 生的位移为s0，则图线与坐标轴所围成的面积（阴影面积）在数值上等于力对

4、物体做的功W Fs，s 轴上方的面积表示力对物体做正功（如图4（a）所示）， s 轴下方的面积表示力对 物体做负功（如图4（b）所示）。 图 4 如果 Fs 图象是一条曲线（如图5 所示），表示力的大小随位移不断变化，在曲线下 方作阶梯形折线， 则折线下方每个小矩形面积分别表示相应恒力做的功。当阶梯折线越分越 密时，这些小矩形的总面积越趋近于曲线下方的总面积，可见曲线与坐标轴所围成的面积在 数值上等于变力所做的功。由于Fs 图象可以计算功，因此Fs 图象又称为示功图。 图 5 例 2. 子弹以速度射入墙壁，入射深度为h。 若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比， 欲使子弹的入射深度为2h，求子弹的

5、速度应增大到多少？ 思路点拨：阻力随深度的变化图象如图6 所示，由图象求出子弹克服阻力做的功，再 由动能进行求解。 图 6 正确解答：解法一：设射入深度为h 时，子弹克服阻力做功W1；射入深度为2h 时，子 弹克服阻力做功W2。由图 6 可知 根据动能定理，子弹减少的动能用于克服阻力做功，有 联立求解得。 解法二：设阻力与深度间的比例系数为k，Ffks。由于 Ff随位移是线性变化的，所以 Ff的平均值为 。 根据动能定理，有 联立求解得。 小结点评：若力随位移按一次方函数关系变化时，求功时可用平均作用力来代替这个 变力， 用恒力功的公式求功，也可用 Fs 图象求功； 若力随位移的变化不是一次函

6、数关系， 则可用图象求功，而不能用平均值求功。 发散练习 1. 如图 7 所示，有一劲度系数k500N/m的轻弹簧，左端固定在墙壁上，右端紧靠一 质量 m 2kg 的物块，物块与水平面间的动摩擦因数，弹簧处于自然状态。现缓慢 推动物块使弹簧从B到 A处压缩 10cm，然后由静止释放物块，求（1）弹簧恢复原长时，物 块的动能为多大？（2）在弹簧恢复原长的过程中，物块的最大动能为多大？ 图 7 答案：（ 1）1.7J ；（ 2） 1.764J 。 提示：（ 1）从 A到 B的过程，对物体应用动能定理得，其中 。W弹可利用示功图求出，画出弹簧弹力随位移变化的图象（如图8 所示） F1 kx1，弹力做

7、功的值等于OAB的面积，即，所以 。 图 8 （2）放开物体后，物体做的是加速度越来越小的加速运动，当弹簧的弹力等于摩擦力 时，物体有最大的动能。设此时弹簧的压缩量为。由得 。物体的位移。在 这一过程中弹力的功在数值上等于图8 中梯形 OADC 的面积，即， 所以物块的最大动能为 。 2. 用质量为5kg 的均匀铁索从10m深的井中吊起一质量为20kg 的物体，在这个过程 中至少要做多少功？（g 取 10m/s 2） 答案： 2250J 提示：作用在物体和铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，但在拉起铁索的过程 中，铁索长度逐渐缩短，因此拉力也逐渐减小，即拉力是一个随距离变化的变力。从物体在

8、井底开始算起， 拉力随深度h 的变化关系是（0h10） ， 作出 F h图线如图9 所示，利用示功图求解拉力的功（可用图中梯形面积表示），得出 。 图 9 3. 一辆汽车质量为110 5kg，从静止开始运动，其阻力为车重的 0.05 倍。其牵引力 的大小与车前进的距离是线性关系，且，是车所受阻力， 当该车前进100m 时，牵引力做了多少功？ 答案： 110 7J。 提示：阻力。则牵引力为 。作出 Fs 图象如图10 所示，图中梯形OABD 的面积表示牵引力的功， 所以。 图 10 三、利用W Pt 求变力做功 这是一种等效代换的观点，用W Pt 计算功时，必须满足变力的功率是一定的。 例 3.

9、 汽车的质量为m ，输出功率恒为P，沿平直公路前进距离s 的过程中，其速度由 v1增至最大速度。假定汽车在运动过程中所受阻力恒定，则汽车通过距离s 所用的时间 为_。 思路点拨：汽车以恒定的功率P加速时，由PFv 可知，牵引力逐渐减小，汽车做加 速度逐渐减小的加速运动，当FFf时，加速度减小到零，速度达到最大，然后以最大的速 度做匀速直线运动。 正确解答：当FFf时，汽车的速度达到最大v2， 由可得 对汽车，根据动能定理，有 两式联立得 。 误点警示：有同学可能这样解：平均速度，时间。这 样解是错误的，因为汽车的运动不是匀加速运动，不能用求平均速度。 小结点评：汽车以恒定的功率起动时，牵引力是

10、变力，牵引力的功不能用W Fs 计算， 但可以用W Pt 计算； 若用求牵引力的功也是错误的，因为牵引 力随位移的变化不是线性关系，不能用求平均牵引力。 发散演习 质量为 m的汽车在平直的公路上从速度v0开始加速行驶，经过一段时间t 后，前进了 距离 s，此时恰好达到其最大速度，设此过程中汽车发动机始终以额定功率P工作，汽 车所受的阻力为恒力Ff，则这段时间里，发动机所做的功为（） A. B. C. D. 答案： A、B 提示：发动机所做的功即为发动机牵引力做的功，由功率定义可知W Pt， 选项 B正确。 汽车以恒定功率起动，当FFf时，达到最大速度，应有，所以 t ，选项 A正确。选项C、D

11、均将汽车的运动看作匀变速运动，其中选项C 是先求出a，再求出合外力ma的功，选项D是先算出平均速度，然后用表 示发动机做的功，显然都是错误的，因为机车的运动是变加速运动而不是匀变速运动。 四、利用功能关系求变力功 求变力所做的功，往往根据动能定理、机械能守恒定律和功能关系等规律，用能量的 变化量等效代换变力所做的功。这种方法的优点是不考虑变力做功过程中力的大小及方向的 细节，只考虑变力做功的效果?能量变化，解题过程简捷，是求变力功的首选方法。 例 4. 如图 11 所示，质量m 2kg 的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O 处。将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条无形变）然后将小球由A

12、处静止释放，小球到 达 O点正下方 h0.5m 处的 B点时的速度为v2m/s。求小球从A运动到 B的过程中橡皮条 的弹力对小球所做的功。取g10m/s 2。 图 11 思路点拨：取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A运动到 B的过 程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。 正确解答：取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为 零。设在B时橡皮条的弹性势能为Ep2，由机械能守恒定律得 则 橡皮条的弹性势能增加6J，则小球的机械能必减少6J，故橡皮条的弹力对小球做功 6J。 小结点评：弹簧或橡皮条的弹力是变力，求此类弹力做功可用机械能守恒定律结合弹 力做

13、功与弹性势能变化的关系。 发散演习 1. 将一质量为m的物体以初速度v0竖直向上抛出，落回抛出点时的速度为v，已知空 气阻力与速率成正比， 则从抛出到落回抛出点的整个过程中，空气阻力做的功为_。 答案：。 提示：对整个过程应用动能定理。 2. 如图 12 所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的 高度为 5m ，速度为6m/s。若物体的质量为1kg。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为多 少？ 图 12 答案：根据动能定理可得 。 五、利用动能定理求变力功 6质量为 m的小球被系在轻绳的一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运 动，运动过程中小球受到空气阻力的作用。设某一时刻

14、小球通过轨道的最低点， 此时绳子的张力为7mg ，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高 点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（） A 4 1 mgR B 2 1 mgRC 3 1 mgR D mgR 5某消防队员从一平台跳下， 下落 2m后双脚触地， 接着他用双腿弯曲的方法 缓冲，使自身重心又下降了0.5m。在着地过程中，地面对他双腿的平均作用力 是他自身重力的（） A2 倍； B5 倍； C8 倍； D10 倍 4如图所示，质量为m 的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动， 拉力为某个值F 时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到时，物体以另一线速度仍做匀速 圆

15、周运动，半径为2R，则物体克服外力所做的功是( ) A0 BCD 2如图所示， AB 为 1/4 圆弧轨道， BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC 的长度也是R， 一质量为m 的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为，当它由轨道顶端A 从静止开始下落， 恰好运动到C 处停止，那么物体在AB 段克服摩擦力所做的功为（） A B C D 1、质量为 m 的小球从离泥塘高H 处由静止落下， 不计空气阻力， 落在泥塘上又深入泥塘如 图所示，求小球在泥塘中运动时所受平均阻力多大? 后停止，训练1一粒钢球从1 高处 自静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭后停止运动，若钢球的质量为， 空气阻力忽略不计， 则钢球克服泥潭的阻力做功_J