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1、FIR 数字滤波器的设计 一 、实验目的 （1）掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计FIR 滤波器的原理及方法，熟悉相应 的 MA TLAB 编程。 （2）熟悉线性相位FIR 滤波器的幅频特性和相频特性。 （3）了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。 二、实验内容 （1）N=45， ，计算并画出矩形窗、汉明窗、布莱克曼的归一化额副频谱，并比较各自的主要 特点。 程序如下： N=45; b1=boxcar(N); b2=hamming(N); b3=blackman(N); h1,w1=freqz(b1,1); h2,w2=freqz(b2,1); h3,w3=freqz(b3,1); p
2、lot(w1/pi,20*log10(abs(h1),r,w2/pi,20*log10(abs(h2),b,w3/pi,20*log10(abs(h3),g); axis(0,1,-100,50);grid; xlabel(归一化频率 );ylabel(幅度 /dB); 图形如下： 各自特点： 矩形窗：过渡带较窄，主瓣也比较窄，约为汉明窗的一半，旁瓣也幅度较大。 汉明窗：比起矩形窗和布莱克曼窗过渡带，主瓣，旁瓣幅度都居两者之间。 布莱克曼窗：主瓣较宽，旁瓣幅度小，但过渡带宽。 （2）N=15，带通滤波器的两个通带边界分别是w1=0.3,w2=0.5.用汗宁窗设计此线性相 位带通滤波器，观察他的
3、实际3dB 和 20dB 带宽。 N=45，重复这一设计，观察幅频和相频特 性的变化，注意长度N 变化的影响。 程序如下： N1=15;N2=45; wc1=0.3;wc2=0.5; Wc=wc1,wc2; b1=fir1(N1,Wc,hanning(N1+1); b2=fir1(N2,Wc,hanning(N2+1); h1,w1=freqz(b1,1); h2,w2=freqz(b2,1); figure(1);title(hanning); subplot(2,2,1);plot(w1/pi,20*log(abs(h1); grid;xlabel(N1=15 ：归一化频率 );ylabe
4、l( 幅度 /dB); subplot(2,2,2);plot(w2/pi,20*log(abs(h2); grid;xlabel(N2=45 ：归一化频率 );ylabel( 幅度 /dB); subplot(2,2,3);plot(w1/pi,angle(h1); grid;xlabel(N1=15 ：归一化频率 );ylabel( 相位 ); subplot(2,2,4);plot(w2/pi,angle(h2); grid;xlabel(N2=45 ：归一化频率 );ylabel( 相位 ); 图形如下： 比较图形可知： N 增大时，主瓣变窄，因为主瓣宽为8/N，与 N 成反比。 旁瓣
5、幅度不变，过渡带宽变窄。相位变化更频繁。 N=15 时， 3dB 带宽 0.2，20dB 带宽约为0.3 N=45 时， 3dB 带宽 0.2，20dB 带宽略大于0.2 （3）分别改用矩形窗和布莱克曼窗，设计（2）中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波 器幅频特性的影响，比较三种窗的特点。 程序如下： N1=15;N2=45;wc1=0.3;wc2=0.5; Wc=wc1,wc2; b1=fir1(N1,Wc,boxcar(N1+1); b2=fir1(N2,Wc,boxcar(N2+1); h1,w1=freqz(b1,1);h2,w2=freqz(b2,1); figure(2); su
6、bplot(2,1,1);plot(w1/pi,20*log(abs(h1); grid;xabel(N1=15 ：归一化频率); ylabel(幅度 /dB);title(Boxcar); subplot(2,1,2);plot(w2/pi,20*log(abs(h2); grid;xlabel(N2=45 ：归一化频率 ); ylabel(幅度 /dB); b1=fir1(N1,Wc,blackman(N1+1); b2=fir1(N2,Wc,blackman(N2+1); h1,w1=freqz(b1,1); h2,w2=freqz(b2,1); figure(3); subplot(2
7、,1,1);pot(w1/pi,20*log(abs(h1); grid;xlabel(N1=15 ：归一化频率); ylabel(幅度 /dB);title(Blackman); subplot(2,1,2);plot(w2/pi,20*log(abs(h2); grid;xlabel(N2=45 ：归一化频率); ylabel(幅度 /dB); 图形如下： 比较三种窗，各自特点如下： 汗宁窗：主瓣较宽，过渡带宽带，旁瓣幅度居中 矩形窗：主瓣最窄，过渡带最窄，旁瓣也幅度最大 布莱克曼窗：主瓣宽，过渡带最宽，旁瓣也幅度最小 （4）用凯塞窗设计一专用线性相位滤波器，N=40，|Hd（ j e）|
8、如实验四图，当=4、6、 10 时，分别设计、比较他们的幅频特性的影响，比较三种窗的特点。 程序如下： 图形如下： N=40;bt1=4;bt2=6;bt3=10;n=0:1:39;af=(N-1)/2; wn1=kaiser(N,bt1);wn2=kaiser(N,bt2);wn3=kaiser(N,bt3); hd=(sin(0.4*pi*(n-af)-sin(0.2*pi*(n-af)+sin(0.8*pi*(n-af)-sin(0.6*pi*(n-af)./(pi*(n-af); b1=wn1.*hd;b2=wn2.*hd;b3=wn3.*hd; h1,w1=freqz(b1);h2,
9、w2=freqz(b2);h3,w3=freqz(b3); figure(1); subplot(2,1,1); plot(w1/pi,20*log10(abs(h1); axis(0,1,-80,10);grid; xlabel(归一化频率 ); ylabel(幅度 /dB);title( =4); subplot(2,1,2); plot(w1/pi,angle(h1);grid; xlabel(归一化频率 ); ylabel(相位 ); figure(2); subplot(2,1,1); plot(w2/pi,20*log10(abs(h2); axis(0,1,-80,10);gri
10、d; xlabel(归一化频率 ); ylabel(幅度 /dB);title( =6); subplot(2,1,2); plot(w2/pi,angle(h2);grid; xlabel(归一化频率 ); ylabel(相位 ); figure(3); subplot(2,1,1); plot(w3/pi,20*log10(abs(h3); axis(0,1,-80,10);grid; xlabel(归一化频率 ); ylabel(幅度 /dB);title( =10); subplot(2,1,2); plot(w3/pi,angle(h3);grid; xlabel(归一化频率 );
11、ylabel(相位 ); 比较三幅图形得： 随着 的增大，主瓣宽度变小，过渡带也逐步变宽，但旁瓣幅度也逐渐变小。 （5）用频率采样法设计（4）中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H（k）=0.5.比较 两种方法的结果。 程序如下： N=40; alfa=(40-1)/2; k=0:N-1; w=(2*pi/N)*k; hrs=zeros(1,2),0.5,ones(1,5),0.5,0,0.5,ones(1,5),0.5,zeros(1,5),0.5,ones(1,5),0.5,0,0.5,ones(1,5),0.5 ,zeros(1,3); k1=0:floor(N-1)/2);k2=fl
12、oor(N-1)/2)+1:N-1; angH=-alfa*(2*pi)/N*k1,alfa*(2*pi/N*(N-k2); H=hrs.*exp(j*angH); b=real(ifft(H); h,w=freqz(b,1); figure (2); subplot(2,1,1);plot(w/pi,20*log10(abs(h); axis(0,1,-80,10);grid; xlabel(归一化频率 );ylabel(幅度 /dB); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(h);grid; xlabel(归一化频率 );ylabel(相位 ); 图形如下： 用这种
13、方法设计，相对于(4)中主瓣变宽，过渡带也变宽，旁瓣幅度变大， （6）用雷米兹交替算法，设计一个线性相位高通FIR 数字滤波器，并比较（4） 、 （5） 、 （ 6） 三种方法的结果。 程序如下： N=40; M=N-1; f=0 0.15 0.2 0.4 0.45 0.55 0.6 0.8 0.85 1; a=0 0 1 1 0 0 1 1 0 0; b=remez(M,f,a); h,w=freqz(b,1); figure (5); subplot(2,1,1);plot(w/pi,20*log10(abs(h); axis(0,1,-80,10);grid; xlabel(频率 /Hz
14、);ylabel( 幅度 /dB); subplot(2,1,2);plot(w/pi,angle(h);grid; xlabel(频率 /Hz);ylabel( 相位 ); 图形如下： 比较三种方法： （4）中旁瓣幅度最小，主瓣较窄 （5）中过渡带最宽，主瓣和（6）中差不多。 （6）中过渡带最窄，旁瓣幅度最大 （7）用雷米兹交替算法，设计一个线性相位高通FIR 滤波器，其指标为：通带边界频率为 fc=800Hz ，阻带边界fr=500Hz ，通带波动 =1dB 阻带最小衰减At=40dB ，采样频率 fs=5000Hz。 程序如下： 1=1-10(- /20)=0.109 ； 2=10(-A
15、t/20)=0.01； fedge=500,800; maval=0,1; dev=1,2; fs=5000; N,fpts,mag,wt=remezord(fedge,maval,dev,fs); b=remez(N,fpts,mag,wt); h,w=freqz(b,1,512); plot(w*2500/pi,20*log10(abs(h); grid; xlabel(频率 /Hz);ylabel( 幅度 /dB); 图形如下： 三、思考题 （1）定性的说明本实验程序程序设计的FIR 滤波器的 3dB 截止频率在什么位置？它等于理 想频率响应 |Hd（ j e）|的截止频率吗？ 答：不等
16、于。 （2）如果没有给定的h（n）的长度N，而是给定了通带边缘截止频率wc 和阻带临界频率 wp，以及相应的衰减，能根据这些条件用窗函数设计线性相位FIR 低通滤波器吗？ 答：可以，用凯塞窗或雷米兹交替算法设计，可以估算出相应的N，画出幅频特性曲线，调 整 N 可得到所需结果。 网上找了半天fir滤波器应用的例子竟然没有，自己写一个共同交流。 设采样频率为fs=1000Hz, 已知原始信号为x=sin （2*pi*80*t）+2*sin(2*pi*140*t),加噪 声后的信号为xn=x+randn(size(t), 下面通过设计数字FIR 滤波器恢复出信号。 设计的频带“通 / 阻”标记 0
17、, 65/500=0, 0.13 用“0”表示阻带 75/500, 85/500=0.15, 0.17 用“1”表示阻带 95/500, 125/500=0.19, 0.25 用“0”表示阻带 135/500, 145/500=0.27, 0.29 用“1”表示阻带 155/500, 1=0.31, 1 用“0”表示阻带 程序如下： close all ; % 采样频率 Fs = 1000 ; % Hz % 根据采样频率确定采样时间点 t = 0:1/Fs:5 ; % 产生信号 x = sin(2*pi*80*t) + 2*sin(2*pi*140*t) ; % 对信号加噪声 xn = x +
18、 3*randn( size(t) ) ; % 滤波器参数 n = 100 ; % 滤波器的阶数 f = 0,0.13,0.15,0.17,0.19,0.25,0.27,0.29,0.31,1 ; % 通、阻带的频点 m = 0,0,1,1,0,0,1,1,0,0 ; % 通、阻带标示 % 构造滤波器 b = firls(n, f, m) ; % 这个函数通过最小方差生成滤波器，具有线性相位。 % b 为生成的滤波器抽头系数 % b = fir2(n,f,m); % 若将 firls换成 fir2，同样可达到目的 % 求出滤波器的频率响应 H,W = freqz(b,1,512,Fs) ; %
19、 求出 b/1 的频率响应，设置长度为512 点，采样率Fs 为 1000 % 画出频谱图 plot(W, abs(H) ) ; grid xlabel(频率（采样频率=1000）) ; ylabel(幅度 ) ; % 进行滤波 xo = filter(b, 1, xn) ; % 画出滤波前后对比图 nn = 500:800 ; tt = nn/Fs ; figure ; subplot(311) ; plot(tt,x(nn) ylabel(原始信号 ), grid ; subplot(312) ; plot(tt,xn(nn) ; ylabel(污染信号 ), grid ; subplot(313) ; plot(tt,xo(nn) ; ylabel(滤波信号 ), grid ; xlabel(时间（秒） );