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1、例析物理竞赛中纯电阻电路的简化和等效变换 计算一个电路的电阻， 通常从欧姆定律出发， 分析电路的串并联关系。 实际 电路中，电阻的联接千变万化， 我们需要运用各种方法， 通过等效变换将复杂电 路转换成简单直观的串并联电路。 本节主要介绍几种常用的计算复杂电路等效电 阻的方法。 1、等势节点的断接法 在一个复杂电路中，如果能找到一些完全对称的点（以两端连线为对称轴），那么可以 将接在等电势节点间的导线或电阻或不含电源的支路断开（即去掉），也可以用导线或电阻 或不含电源的支路将等电势节点连接起来，且不影响电路的等效性。 这种方法的关键在于找到等势点，然后分析元件间的串并联关系。 常用于由 等值电阻
2、组成的结构对称的电路。 【例题 1】在图 8-4 甲所示的电路中，R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = R ，试求 A、B 两端的等 效电阻 RAB 。 模型分析 ：这是一个基本的等势缩点的事例，用到的是物理常识是：导线是等势体，用 导线相连的点可以缩为一点。将图8-4 甲图中的 A、D 缩为一点 A 后，成为图8-4 乙图。 答案： RAB = 8 3 R 。 【例题 2】在图 8-5 甲所示的电路中，R1 = 1 ，R2 = 4 ，R3 = 3 ，R4 = 12 ，R5 = 10 ，试求 A、 B 两端的等效电阻RAB。 模型分析 ：这就是所谓的桥式电路，这里先介绍简单的情形：
3、将A、 B 两端接入电源， 并假设 R5不存在， C、D 两点的电势相等。 因此，将 C、D 缩为一点C 后，电路等效为图8-5 乙 对于图8-5 的乙图，求RAB是非常容易的。事实上，只要满足 2 1 R R = 4 3 R R 的关系，该桥式 电路平衡。 答案： RAB = 4 15 。 【例题 3】在如图所示的有限网络中，每一小段导体的电阻均为R ，试求 A、B 两点之 间的等效电阻RAB 。 【例题 4】 用导线连接成如图所示的框架，ABCD 是正四面体， 每段导线的电阻都是1。 求 AB 间的总电阻。 2、电流分布法 设有电流 I 从 A 点流入、 B 点流出， 应用电流分流的思想和
4、网络中两点间不同路径等电 压的思想，（即基耳霍夫定理） ，建立以网络中各支路的电流为未知量的方程组，解出各支路 电流与总电流I 的关系， 然后经任一路径计算A、B 两点间的电压 AB U ，再由I U R AB AB 即可求出等效电阻。 【例题 1】7 根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试 求出 A、B 两点之间的等效电阻AB R 。 【例题 2】10 根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，试求出A、B 两点之间的等 效电阻AB R 。 【例题 3】8 根电阻均为r 的电阻丝接成如图所示的网络，C、D 之间是两根电阻丝并联 而成，试求出A、B 两点之间的等效电阻AB R 。 A B
5、 D C A B C D A B 电流叠加原理： 直流电路中， 任何一条支路的电流都可以看成是由电路中各个电源分别 作用时， 在此支路中产生的电流的代数和。所谓电路中只有一个电源单独作用，就是假设将 其余电源均除去，但是它们的内阻仍应计及。 【例题 4】 “田”字形电阻网络如图，每小段电阻为R，求 A、B 间等效电阻。 3、Y变换法 在某些复杂的电路中往往会遇到电阻的Y 型或， 如图所示， 有时把 Y 型联接代换成等效 的型联接， 或把型联接代换成等效的Y 型联 接，可使电路变为串、并联，从而简化计算，等 效 代 换 要 求Y型 联 接 三 个 端 纽 的 电 压 312312 UUU、 及流
6、过的电流321 III、 与型联接的三个端纽相同。 将 Y 型网络变换到型电路中的变换式： 3 133221 12 R RRRRRR R 2 133221 31 R RRRRRR R 1 133221 23 R RRRRRR R 将型电路变换到Y 型电路的变换式： 312312 3112 1 RRR RR R 312312 2312 2 RRR RR R 312312 2331 3 RRR RR R 以上两套公式的记忆方法： Y：分母为三个电阻的和，分子为三个待求电阻相邻两电阻之积。 B A 1 2 3 3 I 3 R O 2 R 1 R 2 I 1 I 3 I 3 2 I 2 1 I 1 2
7、3 R 31R 12 R Y ：分子为电阻两两相乘再相加，分母为待求电阻对面的电阻。 当 Y 形联接的三个电阻相等时，与之等效的形联接的三个电阻相等，且等于原来的 三倍；同样，当 联接的三个电阻相等时，与之等效的Y 形联接的三个电阻相等，且等于 原来的 1/3。 【例题 1】对不平衡的桥式电路，求等效电阻RAB 。 提示：法一： “Y”变换； 法二：基尔霍夫定律 【例题 2】试求如图所示电路中的电流I。 （分别应 用两种变换方式计算） 【课堂练习】分别求下图中AB、CD 间等效电阻。( 答案： 0.5R; R PQ=4 ) 4、无限网络 若 ，aaaax （a 0） 在求 x 值时，注意到x
8、是由无限多个a组成，所以去掉左边第一个a对 x 值毫 无 影 响 ， 即 剩 余 部 分 仍 为x， 这 样 ， 就 可 以 将 原 式 等 效 变 换 为xax， 即 0 2 axx。所以 2 411a x 这就是物理学中解决无限网络问题的基本思路，那就是： 无穷大和有限数的和仍为无穷 大。 一维无限网络 【例题 1】 在图示无限网络中， 每个电阻的阻值均为R ， 试求 A、 B 两点间的电阻RAB 。 V4 1 23 I 3 2 1 1 1 1 6 6 6 解法一 ：在此模型中，我们可以将“并联一个R 再串联一个R”作为电路的一级，总电 路是这样无穷级的叠加。在图8-11 乙图中，虚线部分
9、右边可以看成原有无限网络，当它添 加一级后，仍为无限网络，即 RABR + R = RAB 解这个方程就得出了RAB的值。 答案： RAB = 2 51 R 。 解法二 ：可以，在 A端注入电流I 后，设第一 级的并联电阻分流为I1，则结合基尔霍夫第一定 律和应有的比例关系，可以得出相应的电流值如 图 8-12 所示 对图中的中间回路，应用基尔霍夫第二定律， 有 (I - I1)R + (I - I1) I I1 R - I1R = 0 解得 I 1 = 2 15 I 很显然 UA- IR - I 1R = UB 即 UAB = IR + 2 15 IR = 2 51 IR 最后， RAB =
10、 I UAB = 2 51 R 。 【例题 2】如图所示，由已知电阻r1 、r2 和 r3 组成的无穷长梯形网络，求a、b 间的 等效电阻Rab （ 开端形 ） 【例题 3】如图所示，由已知电阻r1 、r2 和 r3 组成的无穷长梯形网络，求a、b 间的 等效电阻Rab （ 闭端形 ） 双边一维无限网络 【例题 4】如图所示，两头都是无穷长，唯独中间网孔上缺掉一个电阻r2 ，求 e、f 之间 的等效电阻。 （中间缺口形） 【例题 5】如图所示，两头都是无穷长，唯独旁边缺一个电阻r2 ，求 f、g 之间的等效电 阻.（旁边缺口形） 【例题 6】如图所示，求g、f 间的等效电阻。 （完整形） 小结
11、 ：一维无限网络利用网络的重复性。 二维无限网络 【例题7】图为一个网格为正方形的平面无穷网络，网络的每一个节点都有四个电阻与 上下左右四个节点分别相联，每个电阻大小均为R，由此，按左右、上下一直延伸到无穷远 处 A 和 B 为网络中任意两个相邻节点，试求A、 B 间的等效电阻RAB 模型分析 ：如图，设有一电流I 从 A 点流入，从无穷远处流出由于网络无穷大，故网 络对于 A 点是对称的，电流I 将在联接A 点的四个电阻上平均分配这时，电阻R（指 A、 B 两节点间的电阻）上的电流为I/4 ，方向由A 指向 B 同理，再设一电流I 从无穷远处流处，从节点B 流出由于网络无穷大，B 也是网络
12、的对称点，因此在电阻R 上分得的电流也为I/4 ， 方向也是由A 指向 B 将上述两种情况叠加， 其结果将等效为一个从节 点 A 流入网络， 又从节点B 流出网络的稳恒电流I， 在无穷远处既不流入也不流出每个支路上的电流 也是上述两种情况下各支路电流的叠加因此，R 电阻上的电流为I/2 所以 A、B 两节点间的电势差 为： 【例题 8】对图示无限网络，求A、B 两点间的电阻RAB 。 【例题9】有一个无限平面导体网络，它由大小相同的正六边形 网眼组成，如图所示。所有六边形每边的电阻为0 R ，求： （1）结点 a、b 间的电阻。 （2）如果有电流I 由 a 点流入网络， 由 g 点流出网络，
13、那么流过 de 段电阻的电流Ide为多大。 解：（ 1）设有电流I 自 a 点流入，流到四面八方无穷远处，那么必有3/I电流由 a 流向 c， 有6/I电流由 c 流向 b。 再假设有电流I 由四面八方汇集b 点流出，那么必有6/I 电流由 a 流向 c，有3/I电流由 c 流向 b。 将以上两种情况综合，即有电流I 由 a 点流入，自b 点流出，由电流叠加原理可知 263 III I ac （由 a 流向 c） 263 III I cb （由 c 流向 b） 因此， a、b 两点间等效电阻 0 00 R I RIRI I U R cbacA B AB （2）假如有电流I 从 a 点流进网络，
14、流向四面八方，根据对称性，可以设 A IIII 741 B IIIIIII 986532 应该有 III AB 63 因为 b、d 两点关于a 点对称，所以 Abede III 2 1 同理，假如有电流I 从四面八方汇集到g 点流出，应该有 Bde II 最后，根据电流的叠加原理可知 IIIIIIII BABAdedede 6 1 63 6 1 2 1 三维无限网络 【例题 10】假设如图有一个无限大NaCl 晶格，每一个键电 阻为 r ，求相邻两个Na和 Cl 原子间的电阻。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c d e g 【例题 11】在图示的三维无限网络中，每两个节点之间的导体电阻均为R ，试求 A、B 两点间的等效电阻RAB 。 当 A、B 两端接入电源时，根据“对称等势”的思想可知，C、D、E各点的电势是彼 此相等的， 电势相等的点可以缩为一点，它们之间的电阻也可以看成不存在。这里取后一中 思想，将 CD 间的导体、 DE 间的导体取走后，电路可以等效为图8-13 乙所示的二维无限 网络。 【答案】 RAB = 21 2 R