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1、第 1 页 共 21 页 高中数学必修二 第一节 :直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1直线的倾斜角 (1)定义：当直线l 与 x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所 成的角叫做直线l 的倾斜角 (2)规定：当直线l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是0，) 2斜率公式 (1)定义式：直线l 的倾斜角为 2 ，则斜率k tan_ . (2)坐标式： P1(x1，y1)， P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1 x2，则 l 的斜率 k y2y1 x2x1. 3直线方程的五种形式 名称方程适用范围 点斜式yy0k(x
2、x0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式ykxb 不含垂直于x 轴的直线 两点式 y y1 y2y1 xx1 x2x1 不含直线x x1(x1x2) 和直线 y y1(y1y2) 截距式 x a y b1 不含垂直于坐标轴和过原点的直 线 一般式AxByC 0， A 2B20 平面内所有直线都适用 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率() (2)过点 M(a， b)，N(b，a)(ab)的直线的倾斜角是45 .() (3)直线的倾斜角越大，斜率k 就越大 () (4)经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程yy0 k(x x0)表示
3、() (5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(x x1)(y2y1)表示 ( ) 答案： (1)(2)(3)(4)(5) 第 2 页 共 21 页 2若直线x2 的倾斜角为 ，则 为() A 0B. 4 C. 2 D不存在 答案： C 3过点 M( 2，m)， N(m,4)的直线的斜率等于1，则 m 的值为 () A 1 B4 C 1或 3 D1 或 4 解析： 选 A由 k 4m m2 1，得 m1. 4(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3， 3)，C(0,2)，则 BC 边上中 线所在的直线方程为_ 解析
4、： 由已知，得BC 的中点坐标为 3 2， 1 2 ，且直线BC 边上的中线过点A，则 BC 边上中线的斜率k 1 13，故 BC 边上的中线所在直线方程为 y 1 2 1 13 x3 2 ，即 x13y 50. 答案： x13y 50 5直线 3x4yk0 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k_. 解析： 令 x0，得 yk 4；令 y0，得 x k 3，则有 k 4 k 32，所以 k 24. 答案： 24 考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点 自主练透 考什么 怎么考 直线的倾斜角与斜率是解析几何的基础知识，高考中极少单独考查. 1直线 xsin y 20 的倾斜角的取值范围是() A
5、 0，)B. 0， 4 3 4 ， C. 0， 4 D. 0， 4 2， 解析： 选 B因为直线xsin y20 的斜率 k sin ，又 1sin 1，所以 1k1.设直线 xsin y20 的倾斜角为 ，所以 1 tan 1，而 0，) ，故倾斜 角的取值范围是0， 4 3 4 ，. 第 3 页 共 21 页 2若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a 的值为 _ 解析： 因为 kAC 53 641，k AB a3 54 a3.由于 A，B，C 三点共线，所以a31， 即 a4. 答案： 4 3已知线段PQ 两端点的坐标分别为P(1,1)和 Q(2,2)，若直线 l：x
6、mym0 与线 段 PQ 有交点，则实数m 的取值范围是_ 解析： 如图所示，直线l：x mym0 过定点A(0， 1)，当 m0 时， kQA 3 2，kPA 2， kl 1 m. 结合图象知，若直线l 与 PQ 有交点， 应满足 1 m2 或 1 m 3 2. 解得 00，b0)过点 (1,1)，则该直线在x 轴， y 轴上的截距之和的最 小值为 () A 1B2 C 4 D8 解析： 选 C直线 ax byab(a0，b0)过点 (1,1)， abab，即 1 a 1 b1， ab(ab) 1 a 1 b 2 b a a b22 b a a b4， 当且仅当ab2 时上式等号成立 直线在
7、x轴， y轴上的截距之和的最小值为4. 2设 P 为曲线 C：yx 22x3 上的点， 且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围 为 0， 4 ，则点 P 横坐标的取值范围为() 第 8 页 共 21 页 A. 1， 1 2 B.1， 0 C0,1D. 1 2，1 解析 ：选 A由题意知 y2x2，设 P(x0，y0)， 则 k2x02. 因为曲线C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0， 4 ，所以 0k1， 即 02x021，故 1x0 1 2. 3已知直线l1：ax2y2a4，l2： 2xa 2y2a24，当 00， 故直线 l1：kx yk1 与直线 l2：ky x2k 的交
8、点在第二象限 4若方程 (2m 2m3)x(m2m)y 4m10 表示一条直线，则参数 m 满足的条件 是() Am 3 2 Bm0 Cm 0且 m1 Dm1 解析： 选 D由 2m 2m30， m 2m 0， 解得 m1，故 m1 时方程表示一条直线 5已知直线l：axy2a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则a 的值是 () A 1 B 1 C 2 或 1 D 2 或 1 解析： 选 D由题意可知a0.当 x0 时， ya2.当 y0 时， x a2 a .故 a 2 a a2， 解得 a 2 或 a1. 6直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则a， b，c应满足 ()
9、 A ab0， bc0 Bab0，bc0 C ab0， bc0 Dab0，bc0 第 10 页 共 21 页 解析： 选 A由于直线 axbyc 0同时经过第一、第二、第四象限，所以直线斜率 存在，将方程变形为y a bx c b.易知 a b0 且 c b0，故 ab 0，bc0. 7已知直线l 过点 (1,0)，且倾斜角为直线l0：x2y20 的倾斜角的 2 倍，则直线l 的方程为 _ 解析： 由题意可设直线l0，l 的倾斜角分别为 ，2 ， 因为直线l0：x2y20 的斜率为 1 2，则 tan 1 2， 所以直线l 的斜率 k tan 2 2tan 1 tan 2 2 1 2 1 1
10、2 2 4 3， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y 04 3(x1)， 即 4x3y 40. 答案： 4x3y 40 8直线l 经过点A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围 是_ 解析： 由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y2k(x1)，直线 l 在 x轴上 的截距为12 k，令 3 1 2或 k0)将 ABC 分割为面积相等的 两部分，则b的取值范围是() A (0,1) B. 1 2 2 ， 1 2 C. 1 2 2 ， 1 3 D. 1 3， 1 2 解析： 选 B法一： (1)当直线 yaxb 与 AB，BC 相交时，如 图所示易求得：
11、xM b a，y N ab a1.由已知条件得： 1b a ab a1 1， a b 2 12b.点 M 在线段 OA 上， 1b， b 2 12b0， b0， 解得 1 3 2 2 . 又 00，当 点 M 位于射线BN 上除 B 点外时， kOM 1 2或 k0)分别表示同一直线的横截距、纵截距及原点到直线的 距离，则下列关系式成立的是() A. 1 a 2 1 b 2 1 p 2 B. 1 a 2 1 b 2 1 p 2 C. 1 a 2 1 p 2 1 b 2D. 1 a 2p2 1 b 2 解析： 选 A由题意设直线方程为 x a y b1，则 p 2 1 1 a 2 1 b 2 ，
12、 1 a 2 1 b 2 1 p 2，故选 A. 3已知点A(1,0)，B(1,0)， C(0,1)，直线yaxb(a0)将 ABC 分割为面积相等的 两部分，则b的取值范围是() A (0,1) B. 1 2 2 ， 1 2 C. 1 2 2 ， 1 3 D. 1 3， 1 2 解析： 选 B法一： (1)当直线 yax b与 AB， BC 相交时，如 图所示 易求得： xM b a，yN ab a1.由已知条件得： 1b a a b a 1 1， a b 2 12b.点 M 在线段 OA 上， 1b， b 2 12b0， b0， 解得 1 3 2 2 . 又 00，当 点 M 位于射线BN
13、 上除 B 点外时， kOM0，b0)， 则直线 l 的方程为 x a y b1. 因为 l 过点 P(3,2)，所以 3 a 2 b1. 因为 13 a 2 b2 6 ab，整理得 ab24， 所以 SABO 1 2ab12， 当且仅当 3 a 2 b，即 a6， b4 时取等号 此时直线l 的方程是 x 6 y 41，即 2x 3y120. 法二： 依题意知，直线l 的斜率 k 存在且 k0， k0. 故 S1 2|OA|OB| 1 2 12k k (1 2k) 1 2 4k 1 k4 1 2(44)4， 当且仅当4k 1 k， 即 k 1 2时， 取等号 故 S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x2y40.