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1、6.2概率、统计解答题高考命题规律1.每年必考考题,多以实际问题为背景,阅读量较大.2.解答题,12分,中档难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表:2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1随机事件的频率与概率、样本数字特征1818命题角度2统计图表与样本数字特征的综合应用18191918命题角度3独立性检验191817命题角度4回归分析及其应用191819命题角度1随机事件的频率与概率、样本数字特征高考真题体验对方向1.(2019北京17)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.
2、为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B
3、的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.解(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为401001 000=400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则P(C)=125=0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.假设样本仅使用B的学生中,本月支付金
4、额大于2 000 元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.2.(2017全国18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高
5、气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.解(1)这种酸奶一天的需求量不超过3
6、00瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为2+16+3690=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6450-4450=900;若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(450-300)-4450=300;若最高气温低于20,则Y=6200+2(450-200)-4450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为36+25+7+490=0.8,因此Y大于零的概率
7、的估计值为0.8.典题演练提能刷高分1.某产品按行业质量标准分成五个等级A,B,C,D,E,现从一批产品中随机抽取20件,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下:等级ABCDE频数ab0.45c0.1(1)若所抽取的20件产品中,等级为A的恰有2件,等级为B的恰有4件,求c的值;(2)在(1)的条件下,将等级为A的2件产品记为A1,A2,等级为B的4件产品记为B1,B2,B3,B4,现从A1,A2,B1,B2,B3,B4这6件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件产品的等级不相同的概率.解(1)由题意可得:a=220=0.1,b=420=0.2,c=
8、1-(0.1+0.2+0.45+0.1)=0.15.(2)由题意可得,所有可能的结果为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4),共15种情况,任取两件产品中等级不同的共有8种情况,所以任取两件产品等级不同的概率为P=815.2.(2019山东淄博一模)某商店销售某海鲜,统计了春节前后50天该海鲜的需求量x(x10,20,单位:千克),其频率分布直方图如图所示,该海鲜每天进货1次,商店每销售1千克可
9、获利50元;若供大于求,剩余的削价处理,每处理1千克亏损10元;若供不应求,可从其他商店调拨,销售1千克可获利30元.假设商店每天该海鲜的进货量为14千克,商店的日利润为y元.(1)求商店日利润y关于需求量x的函数表达式;(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替.求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数;估计日利润在区间580,760内的概率.解(1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为y=5014+30(x-14),14x20,50x-10(14-x),10x14,化简得y=30x+280,14x20,60x-140,10x14.(2)由频率分布直方图得:海鲜需求量在区间10,12
10、)的频率是20.08=0.16;海鲜需求量在区间12,14)的频率是20.12=0.24;海鲜需求量在区间14,16)的频率是20.15=0.30;海鲜需求量在区间16,18)的频率是20.10=0.20;海鲜需求量在区间18,20的频率是200.05=0.10;这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为:(1160-1410)0.16+(1360-1410)0.24+(1530+2014)0.30+(1730+2014)0.20+(1930+2014)0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).由于x=14时,3014+280=6014-140=700.显然y=30
11、x+280,14x20,60x-140,10x14在区间10,20上单调递增,y=580=60x-140,得x=12;y=760=30x+280,得x=16;日利润y在区间580,760内的概率即求海鲜需求量x在区间12,16的频率:0.24+0.30=0.54.3.某学校高一、高二、高三三个年级共有300名教师,为调查他们的备课时间情况,通过分层抽样获得了20名教师一周的备课时间,数据如下表(单位:小时).高一年级77.588.59高二年级78910111213高三年级66.578.51113.51718.5(1)试估计该校高三年级的教师人数;(2)从高一年级和高二年级抽出的教师中,各随机选
12、取一人,高一年级选出的人记为甲,高二年级选出的人记为乙,求该周甲的备课时间不比乙的备课时间长的概率;(3)再从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取一名教师,他们该周的备课时间分别是8,9,10(单位:小时),这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为x1,表格中的数据平均数记为x0,试判断x0与x1的大小,并说明理由.解(1)抽出的20位教师中,来自高三年级的有8名,根据分层抽样方法,高三年级的教师共有300820=120(人).(2)2935.(3)x高一=7+7.5+8+8.5+95=8,x高二=7+8+9+10+11+12+137=10,x高三=6+6.5+7+8.5+11+13.
13、5+17+18.58=11,三组总平均值x0=40+70+8820=9.9,新加入的三个数8,9,10的平均数为9,比x0小,故拉低了平均值,x1x0.4.某游乐园为吸引游客推出了一项有奖转盘活动.如图所示,假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,每个游客凭门票只可以参与一次活动,一次活动需转动转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,工作人员便会记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y,奖励规则如下:若xy3,奖励玩具一个;若xy8,奖励水杯一个;其余情况则奖励饮料一瓶.(1)求在一次活动中获得玩具的概率;(2)请比较一次活动中获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.解(1)用数对(
14、x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,则基本事件空间与点集S=(x,y)|xN,yN,1x4,1y4一一对应.因为S中元素个数是44=16,所以基本事件总数为n=16.记“xy3”为事件A.则事件A包含的基本事件共有5个,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),故P(A)=516,即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy8”为事件B,“3xy516,所以获得水杯的概率大于获得饮料的概率.5.某公司为了准确把握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x分布在50,100内,且销售量x的分布频率为:f(x)=n10-0.5,10
15、nx10(n+1),n为偶数,n20-a,10nx10(n+1),n为奇数.(1)求a的值.(2)若销售量大于等于80,则称该日畅销,其余为滞销,根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天,再从这5天中随机抽取2天,求这2天中恰有1天是畅销日的概率(将频率视为概率).解(1)由题意知10n50,10(n+1)100,解得5n9,n可取5,6,7,8,9,代入f(x)=n10-0.5,10nx10(n+1),n为偶数,n20-a,10nx10(n+1),n为奇数,得610-0.5+810-0.5+520-a+720-a+920-a=1,解得a=0.15.(2)滞销日与畅销日的频率之比为
16、(0.1+0.1+0.2)(0.3+0.3)=23,则抽取的5天中,滞销日有2天,记为a,b,畅销日有3天,记为C,D,E,再从这5天中抽出2天,基本事件有ab,aC,aD,aE,bC,bD,bE,CD,CE,DE,共10个,2天中恰有1天为畅销日的事件有aC,aD,aE,bC,bD,bE,共6个,则所求概率为610=35.6.全国大学生机器人大赛是由共青团中央,全国学联,深圳市人民政府联合主办的赛事,是中国最具影响力的机器人项目,是全球独创的机器人竞技平台.全国大学生机器人大赛比拼的是参赛选手们的能力、坚持和态度,展现的是个人实力以及整个团队的力量.2015赛季共吸引全国240余支机器人战队
17、踊跃报名,这些参赛战队来自全国六大赛区,150余所高等院校,其中不乏北京大学,清华大学,上海交大,中国科大,西安交大等众多国内顶尖高校,经过严格筛选,最终由111支机器人战队参与到2015年全国大学生机器人大赛的激烈角逐之中.某大学共有“机器人”兴趣团队1 000个,大一、大二、大三、大四分别有100,200,300,400个,为挑选优秀团队,现用分层抽样的方法,从以上团队中抽取20个团队.(1)应从大三抽取多少个团队?(2)将20个团队分为甲、乙两组,每组10个团队,进行理论和实践操作考试(共150分),甲、乙两组的分数如下:甲:125,141,140,137,122,114,119,139
18、,121,142乙:127,116,144,127,144,116,140,140,116,140从甲、乙两组中选一组强化训练,备战机器人大赛.从统计学数据看,若选择甲组,理由是什么?若选择乙组,理由是什么?从乙组中不低于140分的团队中任取两个团队,求至少有一个团队为144分的概率.解(1)由题意知,大三团队个数占总团队数的3001 000=310,则用分层抽样的方法,应从大三中抽取20310=6个团队.(2)甲组数据的平均数x甲=130,乙组数据的平均数x乙=131,甲组数据的方差s甲2=104.2,乙组数据的方差s乙2=128.8,选甲组理由:甲、乙两组平均数相差不大,且s甲2s乙2,甲
19、组成绩波动小.选乙组理由:x甲19时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700.所以y与x的函数解析式为y=3 800,x19,500x-5 700,x19,(xN).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800,20台的费用为4 300,10台的费用为4 800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 80070+4 30020+4 80010)=4 000.若每台机器在购机同时都购
20、买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000,10台的费用为4 500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 00090+4 50010)=4 050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.典题演练提能刷高分1.哈师大附中高三学年统计学生的最近20次数学周测成绩(满分150分),现有甲、乙两位同学的20次成绩如下列茎叶图所示:(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数,并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整;(2)根据茎叶图比较甲、乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);(
21、3)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩,设事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”,求事件A发生的概率.解(1)甲的成绩的中位数是119,乙的成绩的中位数是128,(2)从茎叶图可以看出,乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高,乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中.(3)甲同学的不低于140分的成绩有2个,设为a,b,乙同学的不低于140分的成绩有3个,设为c,d,e,现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10种,其中2个成绩分属
22、不同同学的情况有:(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)共6种,因此事件A发生的概率P(A)=610=35.2.某水产品经销商销售某种鲜鱼,售价为每公斤20元,成本为每公斤15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去,未售出的全部降价处理完,平均每公斤损失3元.根据以往的销售情况,按0,100),100,200),200,300),300,400),400,500进行分组,得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图计算该种鲜鱼日需求量的平均数x(同一组中的数据用该组区间中点值代表);(2)该经销商某天购进了300公斤这种鲜鱼,假设当天的需求量
23、为x公斤(0x500),利润为Y元.求Y关于x的函数关系式,并结合频率分布直方图估计利润Y不小于700元的概率.解(1)x=500.001 0100+1500.002 0100+2500.003 0100+3500.002 5100+4500.001 5100=265.(2)当日需求量不低于300公斤时,利润Y=(20-15)300=1 500元;当日需求量不足300公斤时,利润Y=(20-15)x-(300-x)3=8x-900元;故Y=8x-900,0x8,所以该尾中国红鲤能被选为种鱼.(2)根据分层抽样的原则,抽取中华彩鲤样本数为32尾,所有样本数据平均值为405.1+324.87540
24、+32=5(cm).(3)记体长最长的2尾中华彩鲤为A1,A2,其他6尾中华彩鲤为B1,B2,B3,B4,B5,B6;随机两两组合,所有可能的结果为A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A1B5,A1B6,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A2B5,A2B6,B1B2,B1B3,B1B4,B1B5,B1B6,B2B3,B2B4,B2B5,B2B6,B3B4,B3B5,B3B6,B4B5,B4B6,B5B6,共28种.符合题意的仅A1A2一种.所以,体长最长的2尾组合到一起的概率为128.5.小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方
25、案:底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励,超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式;(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格:日均派送单数5254565860频数(天)2030202010回答下列问题:根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位:元),试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪X的平均数及方差;结合中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适,并说明你的理由.(参考数据:0.62=0.36,1.4
26、2=1.96,2.62=6.76,3.42=11.56,3.62=12.96,4.62=21.16,15.62=243.36,20.42=416.16,44.42=1 971.36)解(1)甲方案中派送员日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式为:y=100+n,nN,乙方案中派送员日薪y(单位:元)与送单数n的函数关系式为:y=140(n55,nN),12n-520(n55,nN).(2)由表格可知,甲方案中,日薪为152元的有20天,日薪为154元的有30天,日薪为156元的有20天,日薪为158元的有20天,日薪为160元的有10天,则x甲=1100(15220+15430+15620
27、+15820+16010)=155.4,s甲2=110020(152-155.4)2+30(154-155.4)2+20(156-155.4)2+20(158-155.4)2+10(160-155.4)2=6.44.乙方案中,日薪为140元的有50天,日薪为152元的有20天,日薪为176元的有20天,日薪为200元的有10天,则x乙=1100(14050+15220+17620+20010)=155.6,s乙2=110050(140-155.6)2+20(152-155.6)2+20(176-155.6)2+10(200-155.6)2=404.64.答案一:由以上的计算可知,虽然x甲x乙,
28、但两者相差不大,且s甲2远小于s乙2,即甲方案日薪收入波动相对较小,所以小明应选择甲方案.答案二:由以上的计算结果可以看出,x甲3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.2.(2017全国19改编)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如下:旧养殖法新养殖法(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;(2)填写下面列联表,并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为箱产量与养殖方法有关;箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.附:,K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62.因此,事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量6.635,故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图表明:新养殖法的箱产量平