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1、1.5不等式与线性规划命题角度1不等式的性质与解不等式高考真题体验对方向1.(2016全国8)若ab1,0c1,则()A.acbcB.abcbacC.alogbcblogacD.logac2,所以A错;因为32=1823=12,所以B错;因为log312=-log32-1=log212,所以D错;因为3log212=-3b0,cdbdB.acbcD.adbc答案D解析cd-d0,01-c1-c0.又ab0,a-db-c,ad0,AB=x|0x3=(0,3.故选D.2.已知ab1bB.-a2bD.a3b3答案A解析ab1b,故A正确;-a-b,故B不正确;函数y=2a是增函数,故2a2b,故C不
2、正确;函数y=x3是增函数,故a3b3,所以D不正确.故选A.3.若a,b,c为实数,且ab0,则下列命题正确的是()A.ac2bc2B.1aabD.a2abb2答案D解析若c=0,A不成立,因为1a-1b=b-aab0,选项B错;由ba-ab=b2-a2ab=(b+a)(b-a)ab0,选项C错,故选D.4.设全集U=R,集合A=xx+13-x0,B=x142x8,则(UA)B为()A.(-1,3)B.-2,-1C.-2,3)D.-2,-1)3答案D解析由题意得A=xx+13-x0=x|-1x3,B=x|2-22x8=x|-2x3,UA=x|x-1或x3,(UA)B=x|-2x-13.故选D
3、.5.已知c3ac3b|a|B.acbcC.a-bc0D.ln ab0答案D解析因为c3ac3b0,当c1b0,即ba0,|b|a|,acbc,a-bc0成立,此时0ab1,ln ab0,故选D.6.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-40恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,2)B.(-,2C.(-2,2D.(-2,2)答案C解析当a-2=0,即a=2时,原不等式变为-40,显然不等式恒成立,此时符合题意.当a-20,即a2时,因为对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)-40恒成立,所以a-20,=-2(a-2)2-4(a-2)(-4)0,解得a2,-2a2.
4、-2a2.综上可得-20,y0,x+2y=5,则(x+1)(2y+1)xy的最小值为.答案43解析(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+6xy=2xy+6xy22xy6xy=43.当且仅当xy=3xy,即xy=3时等号成立.2.(2017江苏10)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.答案30解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+600x6=4x+900x42900=240,当且仅当x=900x,即x=30时等号成立.典题演练提能刷高分1.已知首项与公比相等的等比数
5、列an中,满足aman2=a42(m,nN*),则2m+1n的最小值为()A.1B.32C.2D.92答案A解析由题意可得a1=q,aman2=a42,a1qm-1(a1qn-1)2=(a1q3)2,即qmq2n=q8,所以m+2n=8.2m+1n=(m+2n)2m+1n18=2+mn+4nm+218(4+24)18=1.故选A.2.函数f(x)=x2+4|x|的最小值为()A.3B.4C.6D.8答案B解析f(x)=x2+4|x|=|x|+4|x|24=4,故选B.3.已知三点A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线,则1+2aa+2+bb(a0,b0)的最小值为()A.11B.1
6、0C.6D.4答案A解析由A(1,-2),B(a,-1),C(-b,0)共线得-21+b=-1+2a-1,2a+b=1,1+2aa+2+bb=4a+ba+4a+3bb=7+ba+4ab7+2ba4ab=11,当且仅当ba=4ab,2a+b=1a=14,b=12时取等号,故选A.4.已知函数f(x)=log3(x+2),x1,ex-1,x1.若m0,n0,且m+n=ff(2),则1m+2n的最小值为.答案3+22解析函数f(x)=log3(x+2),x1,ex-1,x1,m+n=ff(2)=f(eln 2-1)=f(2-1)=log33=1,则1m+2n=(m+n)1m+2n=3+nm+2mn3
7、+2nm2mn=3+22,当且仅当n=2m时,取得最小值3+22.5.要制作一个容积为4 m3,高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米200元,侧面造价是每平方米100元,则该容器的最低总造价是元.答案1 600解析设长方体的底面的长为x m,则宽为4x m,总造价为y元,则y=4200+2100x+4x800+400x4x=1 600,当且仅当x=4x,即x=2时,等号成立,故答案为1 600元.6.已知正实数a,b满足2ab,且ab=12,则4a2+b2+12a-b的最小值为.答案23解析由题意得2a-b0,4a2+b2+12a-b=4a2+b2-4ab+32a-b=
8、(2a-b)2+32a-b=(2a-b)+32a-b23,当且仅当2a-b=32a-b时等号成立.命题角度3简单的线性规划问题高考真题体验对方向1.(2019北京5)若x,y满足|x|1-y,且y-1,则3x+y的最大值为()A.-7B.1C.5D.7答案C解析由题意得-1y1,y-1x1-y,作出可行域如图阴影部分所示.设z=3x+y,y=z-3x,当直线l0:y=z-3x经过点(2,-1)时,z取最大值5.故选C.2.(2019天津2)设变量x,y满足约束条件x+y-20,x-y+20,x-1,y-1,则目标函数z=-4x+y的最大值为()A.2B.3C.5D.6答案C解析画出可行域如图,
9、平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,由x=-1,x-y+2=0,得A(-1,1).zmax=-4(-1)+1=5.故选C.3.(2018全国13)若x,y满足约束条件x-2y-20,x-y+10,y0,则z=3x+2y的最大值为.答案6解析作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).由z=3x+2y,得y=-32x+12z,作直线y=-32x并向上平移,显然l过点B(2,0)时,z取最大值,zmax=32+0=6.4.(2018全国14)若x,y满足约束条件x+2y-50,x-2y+30,x-50.则z=x+y的最大值为.答案9解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,
10、当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.5.(2017全国14)设x,y满足约束条件x+2y1,2x+y-1,x-y0,则z=3x-2y的最小值为.答案-5解析不等式组x+2y1,2x+y-1,x-y0表示的平面区域如图所示.由z=3x-2y,得y=32x-z2.求z的最小值,即求直线y=32x-z2的纵截距的最大值.数形结合知当直线y=32x-z2过图中点A时,纵截距最大.由2x+y=-1,x+2y=1,解得A点坐标为(-1,1),此时z取得最小值为3(-1)-21=-5.6.(2019北京10)若x,y满足x2,y-1,4x-3y+10,则y-x的最小值为,最大值为.答案-31解析作出可行
11、域如图阴影部分所示.设z=y-x,则y=x+z.当直线l0:y=x+z经过点A(2,-1)时,z取最小值-3,经过点B(2,3)时,z取最大值1.典题演练提能刷高分1.(2019四川成都七中高三模拟)设x,y满足约束条件x-y+10,x+y-10,x+2y+10,则z=2y-x的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案A解析画出约束条件所表示的可行域,如图(阴影部分)所示.目标函数z=2y-x可化为直线y=12x+z2,结合图象可得当直线y=12x+z2过点A时,此时在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值,又由x-y+1=0,x+2y+1=0,解得A(-1,0),所以目标函数的最小值为zm
12、in=20-(-1)=1.故选A.2.(2019吉林长春实验中学高三模拟)已知实数x,y满足x+y1,x2+y21,则2x+y的取值范围是()A.1,2B.1,+)C.(0,5)D.1,5答案D解析设2x+y=b,则只需求直线2x+y=b在y轴上的截距范围.画出可行域如图中弓形部分所示,当直线与圆相切时,截距最大,且为5,当直线过点(0,1)时截距最小,且为1,所以2x+y的取值范围是1,5.故选D.3.若实数x,y满足2x-y+10,x+y0,x0,则z=|x-y|的最大值是()A.0B.1C.23D.13答案B解析作可行域如图,则|x-y|=y-x,所以直线z=y-x过点A(0,1)时,z
13、取最大值1,故选B.4.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且实数x,y满足y0,yx,x+y-30,则z=ab的最大值为.答案92解析a=(1,2),b=(x,y),z=ab=x+2y.所以y=-12x+12z,作出不等式组y0,yx,x+y-30所表示的平面区域.由y=x,x+y-3=0得x=y=32,结合图形可知,当直线经过点A32,32时纵截距最大,此时(x+2y)max=32+232=92.5.若实数x,y满足不等式组y0,2x-y+30,x+y-10,则z=2y-|x|的最小值是.答案-32解析画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.当x0时,z=2y-|x|=2y-x,可得
14、y=x2+z2,平移直线y=x2+z2,结合图形可得当直线经过可行域内的点B(1,0)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=-1.当x0时,z=2y-|x|=2y+x,可得y=-x2+z2,平移直线y=-x2+z2,结合图形可得当直线经过可行域内的点A-32,0时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=-32.综上可得zmin=-32.命题角度4非线性规划问题高考真题体验对方向1.(2016山东4)若变量x,y满足x+y2,2x-3y9,x0,则x2+y2的最大值是()A.4B.9C.10D.12答案C解析如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0
15、,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.2.(2015全国15)若x,y满足约束条件x-10,x-y0,x+y-40,则yx的最大值为.答案3解析画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使yx最大,则y-0x-0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yxmax=3-01-0=3.典题演练提能刷高分1.(2019四川绵阳三诊)已知变量x,y满足x0,|y|1,x+y-20,则x2+y2的最大值为()A.10B.5C.4D.2答案A解析
16、作出变量x,y满足x0,|y|1,x+y-20所对应的可行域(如图阴影部分),由x+y-2=0,y=-1,解得A(3,-1).而z=x2+y2表示可行域内的点到原点距离的平方,由数形结合可得最大距离为OA=32+(-1)2=10,即z=x2+y2的最大值为10.故选A.2.已知实数x,y满足x-y+10,x+y-10,3x-y-30,则使不等式kx-y+k1恒成立的实数k的取值集合是()A.-,12B.-,14C.(-,1D.(-,2答案A解析作出不等式组对应的平面区域如图,由图象知x0,由不等式kx-y+k1恒成立,得k(x+1)1+y,即ky+1x+1,设z=y+1x+1,则z的几何意义是
17、区域内的点到定点D(-1,-1)的斜率,由图象知AD的斜率最小,由x+y-1=0,3x-y-3=0,得x=1,y=0,即A(1,0),此时z的最小值为z=0+11+1=12,即k12,即实数k的取值范围是-,12.故选A.3.(2019安徽江淮十校高三联考)若实数x,y满足x-y+10,x+y-20,x0,且2x+y-7c(x-3)恒成立,则c的取值范围是()A.-,53B.(-,2C.53,+D.2,+)答案D解析作出不等式组x-y+10,x+y-20,x0,对应的可行域为如图所示的ABC,且A12,32,B(0,2),C(0,1),则对于可行域内每一点P(x,y),都有0x12,x-30,
18、2x+y-7c(x-3),即为c2x+y-7x-3恒成立,转化为z=2x+y-7x-3的最大值.z=2(x-3)+(y-1)x-3=2+y-1x-3.又y-1x-3即为点P(x,y)和点M(3,1)连线的斜率,由图可知kMBy-1x-3kMC,即z53,2,zmax=2.c2.故选D.4.已知点A(4,0),B(0,4),点P(x,y)的坐标x,y满足x0,y0,3x+4y-120,则APBP的最小值为()A.-19625B.0C.254D.-8答案A解析画出可行域如图所示,APBP=(x-4,y)(x,y-4)=x2-4x+y2-4y=(x-2)2+(y-2)2-8,表示点C(2,2)到可行
19、域的距离的平方减去8的最小值,C(2,2)到可行域的最小距离即为到直线3x+4y-12=0的距离,则APBP的最小值为|32+42-12|32+422-8=-19625.故选A.5.已知实数x,y满足约束条件3x-y-10,x+y-20,3x-6y-40,则z=x+y-1x+1的最大值为.答案47解析作出不等式表示的平面区域(如图所示的阴影部分).其中C34,54,z=x+y-1x+1=1+y-2x+1,即m=y-2x+1表示可行域上的动点与定点P(-1,2)连线的斜率,最大值为kPC=-37.x+y-1x+1的最大值为1-37=47,故答案为47.命题角度5含参数的线性规划问题高考真题体验对
20、方向1.(2015山东6)已知x,y满足约束条件x-y0,x+y2,y0.若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案B解析由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a1,即a-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;当0-a1,即-1a0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4,a=3(舍去);当-1-a0时,即0a0,x,y满足约束条件x1,x+y3,ya(x-3).若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2答案B解
21、析由题意作出x1,x+y3所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=12,所以a=12.典题演练提能刷高分1.已知实数x,y满足约束条件2x-y+20,x-2y-20,x+y-20,若z=x-ay(a0)的最大值为4,则a=()A.2B.32C.3D.4答案C解析作出可行域如图所示,由2x-y+2=0,x-2y-2=0,解得A(-2,-2).由图得B(2,0),化目标函数z=x-ay(a0)为y=1ax-1az,当直线y=1ax-1az过A或B时,直线在y轴上的截距最小,
22、z有最大值.把A(-2,-2)代入z=x-ay,z=-2+2a=4,得a=3,符合题意;把B(2,0)代入得z=24.a=3,故选C.2.已知实数x,y满足约束条件x+y-10,x-y+10,2x-y-20,若z=mx+y,z的取值范围为集合A,且A13,6,则实数m的取值范围是()A.13,23B.-119,23C.-119,13D.23,6答案A解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,其中A(1,0),B(0,1),C(3,4),不论m0还是m0,z=mx+y的最值一定在顶点处取得,所以13m6,133m+46,解得m13,23,故选A.3.实数x,y满足x0,y0,x+y-c
23、0,且x-y的最大值不小于1,则实数c的取值范围是()A.c-1B.c-1C.c-2D.c-2答案A解析作出可行域,如图所示,令z=x-y,则y=x-z,当直线经过B(0,c)时,z=x-y取到最大值,0-c1,即c-1,故选A.4.(2019广东广州高三模拟)已知关于x,y的不等式组2x-y+10,x+m0,y+20,表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,则m的取值范围是.答案-,43解析作出x,y的不等式组2x-y+10,x+m0,y+20,对应的可行域如图所示.交点C的坐标为(-m,-2),直线x-2y=2的斜率为12,斜截式方程为y=12x-1.要使平面区域内存
24、在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,则点C(-m,-2)必在直线x-2y=2的下方,即-2-12m-1,解得m2,并且A在直线的上方,即A(-m,1-2m),可得1-2m-12m-1,解得m43,故m的取值范围是-,43.命题角度6利用线性规划解决实际问题高考真题体验对方向1.(2015陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元答案D解析设该企业每天
25、生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知3x+2y12,x+2y8,x0,y0,利润函数z=3x+4y.画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B时,目标函数取得最大值.由3x+2y=12,x+2y=8,解得x=2,y=3.故利润函数的最大值为z=32+43=18(万元).故选D.2.(2016全国16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料15
26、0 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.答案216 000解析设生产产品A x件,生产产品B y件,由题意得1.5x+0.5y150,x+0.3y90,5x+3y600,x,yN,即3x+y300,10x+3y900,5x+3y600,x,yN.目标函数z=2 100x+900y,画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分中的整数点所示),作直线y=-73x,当直线过5x+3y=600与10x+3y=900的交点时,z取最大值,由5x+3y=600,10x+3y=900,解得x=60,y=100,所以zmax=2 10060+90010
27、0=216 000.典题演练提能刷高分1.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:连续剧连续剧播放时长/min广告播放时长/min收视人次/万人甲70560乙60525电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于600 min,广告的总播放时长不少于30 min,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍,分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数,要使总收视人次最多,则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为()A.6,3B.5,2C.4,5D.2,7答案A解析依题意得7
28、0x+60y600,5x+5y30,x2y,x0,y0,目标函数为z=60x+25y,画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点(6,3)处取得最大值.故选A.2.某货运员拟运送甲、乙两种货物,每件货物的体积、质量、可获利润如下表所示:体积(升/件)质量(千克/件)利润(元/件)甲20108乙102010在一次运输中,货物总体积不超过110升,总质量不超过100千克,那么在合理的安排下,一次运输获得的最大利润为元.答案62解析设运送甲种货物x件,乙种货物y件,利润为z,则由题意得20x+10y110,10x+20y100,x,yN,即2x+y11,x+2y10,x,yN,且z=8x+10y,作出不等式组对应的平面区域如图所示,由2x+y=11,x+2y=10,得x=4,y=3,即B(4,3),由z=8x+10y得y=-45x+z10,平移直线y=-45x+z10,由图可知当直线y=-45x+z10,经过点B时,直线的截距最大,此时z最大,故zmax=84+103=62,一次运输获得的最大利润为62元.