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1、课时作业 A 组基础对点练 1已知动点 C 到点 F(1,0)的距离比到直线 x2 的距离小 1，动点 C 的轨迹为 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)若直线 l：ykxm(km0)， p 21， p2， 动点C 的轨迹 E 的方程为 y 24x. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由 ykxm， y 24x， 得 k 2x2(2km4)xm20， x1x2 42km k 2 ，x1 x2m 2 k 2. OA OB 5， x1x2y1y2(1k 2)x 1x2km(x1x2)m 2m 24km k 2 5， m 24km5k20， mk 或 m5k. km0， 直线l 的
2、方程为 yk(x5)， 直线l 必经过定点 (5,0) 2(2018 昆明市检测 )已知点 A，B 的坐标分别为 (2，0)，( 2，0)，直线 AM， BM 相交于点 M，且它们的斜率之积是 1 2，点 M 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)过点 F(1,0)作直线 l 交曲线 E 于 P，Q 两点，交 y 轴于 R 点，若RP 1PF ，RQ 2QF ，证明： 12为定值 解析： (1)设点 M(x，y)，由已知得 y x2 y x2 1 2(x 2)， 化简得曲线 E 的方程： x 2 2 y 21(x 2) (2)证明：设点 P，Q，R 的坐标分别为 P(x1，y1
3、)，Q(x2，y2)，R(0，y0) 由RP 1PF ，得(x1，y1y0)1(1x1，y1)， 所以 x1 1 11 ，y1 y0 11 ， 因为点 P 在曲线 E 上，所以 1 2( 1 11 ) 2(y0 11 ) 21， 化简得 2 14122y 2 00， 同理，由 RQ 2QF ，可得 x2 2 12 ，y2 y0 12， 代入曲线 E 的方程化简得 2 24222y 2 00， 由可知 1，2是方程 x 24x22y2 00 的两个实数根 ( 0)， 所以 124，即 12为定值 3在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，B( 3，0)，直线 MA，MB 交于 点 M，它们的斜率
4、之积为常数m(m0)，且 MAB 的面积最大值为3，设动点 M 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)过曲线 E外一点 Q 作 E的两条切线 l1， l2， 若它们的斜率之积为 1， 那么QA QB 是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由 解析： (1)设 M(x，y)，则由已知得 y x3 y x3m，即 y 2m(x23)， 即 x 2 3 y 2 3m1(x 3)(*) 当 m0 时，方程 (*) 表示双曲线，此时MAB 面积不存在最大值 (不符合 )； 当 m1 时，方程 (*) 表示圆，此时MAB 的面积最大值为3(不符合 )； 当 mb0)的焦点为 F1，
5、F2，离心率为 1 2，点 P 为其上一 动点，且三角形 PF1F2的面积最大值为3，O 为坐标原点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若点 M，N 为 C 上的两个动点，求常数m，使OM ON m 时，点 O 到直线 MN 的距离为定值，求这个定值 解析： (1)依题意知 c 2a2b2， bc3， c a 1 2， 解得 a2， b3， 所以椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2y1y2m， 当直线 MN 的斜率存在时，设其方程为ykxn，则点 O 到直线 MN 的距离 d |n| k 21 n 2 k 21， 联立，得
6、 3x 24y212， ykxn， 消去 y， 得(4k 23)x28knx4n2120， 由 0得 4k 2n230，则 x1x2 8kn 4k 23，x1x2 4n 212 4k 23 ， 所以 x1x2(kx1n)(kx2n)(k 21)x 1x2kn(x1x2)n 2m， 整理得 7n 2 k 2112 m 4k 23 k 21 . 因为 d n 2 k 21为常数，则 m0，d 12 7 2 21 7 ， 此时 7n 2 k 2112 满足 0. 当 MN x轴时，由 m0 得 kOM 1， 联立， 得 3x 24y212， y x， 消去 y， 得 x 212 7 ， 点 O到直线
7、 MN 的距离 d|x| 2 21 7 亦成立 综上，当 m0 时，点 O 到直线 MN 的距离为定值，这个定值是 2 21 7 . B 组能力提升练 1如图，已知直线 l：ykx1(k0)关于直线 yx1 对称的直线为 l1，直线 l， l1与椭圆 E： x 2 4 y21 分别交于点 A，M 和 A，N，记直线 l1的斜率为 k1. (1)求 k k1的值； (2)当 k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标； 若不恒过定点，请说明理由 解析： (1)设直线 l 上任意一点 P(x，y)关于直线 yx1 对称的点为 P0(x0，y0)， 直线 l 与直线 l1的交
8、点为 (0,1)， l：ykx1，l1：yk1x1，k y1 x ，k1 y01 x0 ， 由 yy0 2 xx0 2 1， 得 yy0xx02， 由 yy0 xx01，得 yy 0x0x， 由得 yx01， y0x1， kk1 yy0 yy01 xx0 x1 x01 xx02 1 xx0 1. (2)由 ykx1， x 2 4 y 21， 得(4k 21)x28kx0， 设 M(xM，yM)，N(xN，yN)， xM 8k 4k 21， yM 14k 2 4k 21. 同理可得 xN 8k1 4k 2 11 8k 4k 2，yN 14k 2 1 4k 2 11 k 24 4k 2. kMN
9、yMyN xMxN 14k 2 4k 21 k 24 4k 2 8k 4k 21 8k 4k 2 88k 4 8k 3k 23 k 21 3k ， 直线 MN：yyMkMN(xxM)， 即 y 14k 2 4k 21 k 21 3k (x 8k 4k 21)， 即 y k 21 3k x 8 k 21 3 4k 21 14k 2 4k 21 k 21 3k x 5 3. 当k 变化时，直线 MN 过定点 (0， 5 3) 2.(2018 合肥市质检 )如图，在平面直角坐标系中，点F(1,0)， 过直线 l：x2 右侧的动点 P 作 PAl 于点 A，APF 的平 分线交 x轴于点 B，|PA|
10、2|BF|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)过点 F 的直线 q 交曲线 C 于 M，N，试问： x 轴正半轴上是否存在点E，直线 EM，EN 分别交直线 l 于 R，S两点，使 RFS为直角？若存在，求出点E 的坐 标，若不存在，请说明理由 解析： (1)设 P(x，y)，由平面几何知识得 |PF| |P A| 2 2 ， 即 x1 2y2 |x2| 2 2 ， 化简得 x 22y22， 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 22y22(x 2) (2)假设满足条件的点E(n,0)(n0)存在，设直线 q 的方程为 xmy1， M(x1，y1)，N(x2，y2)，R(2，y
11、3)，S(2，y4) 联立，得 x 22y22， xmy1， 消去 x， 得(m 22)y22my10， y1y2 2m m 22，y1y2 1 m 22， x1x2(my11)(my21)m 2y 1y2m(y1y2)1 m 2 m 22 2m 2 m 221 22m 2 m 22 ， x1x2m(y1y2)2 2m 2 m 222 4 m 22， 由条件知 y1 x1n y3 2n，y 3 2n y1 x1n ， 同理 y4 2n y2 x2n ，kRF y3 21y 3， kSFy4. 因为 RFS为直角，所以 y3y41， 所以(2n) 2y 1y2x1x2n(x1x2)n2， (2n
12、) 2 1 m 22 22m 2 m 22 4n m 22n 2， 所以(n 22)(m21)0，n 2， 故满足条件的点 E 存在，其坐标为 ( 2，0) 3已知椭圆 C：9x 2y2m2(m0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点(m 3 ，m)，延长线段 OM 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四 边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由 解析： (1)证明：设直线 l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，
13、y2)，M(xM， yM) 将 ykxb 代入 9x 2y2m2 得(k 29)x22kbxb2m20， 故 xM x1x2 2 kb k 29，yMkxMb 9b k 29. 于是直线 OM 的斜率 kOM yM xM 9 k， 即 kOM k9. 所以直线 OM 的斜率与 l 的斜率的积是定值 (2)四边形 OAPB 能为平行四边形 因为直线 l 过点(m 3， m)， 所以 l不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k0， k3. 由(1)得 OM 的方程为 y 9 kx. 设点 P 的横坐标为 xP， 由 y 9 kx， 9x 2y2m2 得 x 2 P k 2m2 9k 281，
14、即 xP km 3k 29. 将点(m 3 ，m)的坐标代入 l 的方程得 b m 3k 3 ， 因此 xM km k3 3 k 29 . 四边形 OAPB为平行四边形，当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP2xM. 于是 km 3k 292 k k3 m 3 k 29 ， 解得 k147，k247.因为 ki0，ki3，i1,2， 所以当 l 的斜率为 47或 47时，四边形 OAPB 为平行四边形 4(2018 长沙市模拟 )已知 P(3， 1 2)在椭圆 C： x 2 a 2y 2 b 21(ab0)上，F 为右焦点， PF 垂直于 x 轴A，B，C，D 为椭圆上四个动点，
15、且AC，BD 交于原点 O. (1)求椭圆 C 的方程； (2)判断动直线 l： mn 2 x(mn)y 31 2 m 31 2 n(m， nR)与椭圆 C 的位置 关系； (3)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)满足 y1y2 OA OB 1 5，判断 kABkBC 的值是否为定值，若是， 请求出此定值，并求出四边形ABCD 面积的最大值，否则请说明理由 解析： (1) P(3， 1 2)在椭圆 C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)上， 3 a 2 1 4b 21. 又 F 为右焦点， PF 垂直于 x 轴，a 2b2 3. 由，解得 a2，b1，椭圆C 的方程为 x 2 4
16、y 21. (2)将动直线 l 的方程 mn 2 x(mn)y 31 2 m 31 2 n(m，n R)， 化为(x 2y 31 2 )m( x 2y 31 2 )n0. m，n R， x 2y 31 2 ， x 2y 31 2 ， 解得 x3， y 1 2， 动直线l 恒过点 P， P 在椭圆 C 上，动直线 l 与椭圆 C 的位置关系是相切或相交 (3) y1y2 OA OB 1 5， 4y1y2x1x2.当直线 AB 的斜率不存在或斜率为 0 时， 不满足 4y1y2 x1x2. 当直线 AB的斜率存在时，设直线AB 的方程为 ykxm， 联立，得 ykxm， x 2 4 y 21， 得
17、(14k 2)x28kmx4(m21)0， (8km) 24(4k21) 4(m 21)16(4k2m21)0(*) x1x2 8km 14k 2， x1x2 4 m 21 14k 2 . 4y1y2x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k 2x 1x2km(x1x2)m 2， (4k 21)x 1x24km(x1x2)4m 20， (4k 21)4 m 21 14k 2 4km 8km 14k 24m 20， 整理得 4k 21， k 1 2. A，B，C，D 的位置可轮换，直线 AB，BC 的斜率是 1 2或 1 2， kABkBC1 2( 1 2)0，为定值 不妨设 kAB 1 2，则 x1x22m， x1x22 m 21 . 设原点到直线 AB 的距离为 d，则 SAOB 1 2 |AB| d 1 2 1k 2 |x2 x1| |m| 1k 2 |m| 2 x1x2 24x1x2 |m| 2 4m 24 2 m21 m 2 2m 2 m 22m2 2 1. 当 m 21 时(满足(*)，S AOB1， S四边形 ABCD4S AOB4， 即四边形 ABCD 面积的最大值为 4.