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1、1 综合检测 一、选择题 1.“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”. 此推理方法是() A.完全归纳推理 B.归纳推理 C.类比推理 D.演绎推理 答案B 解析由特殊到一般的推理为归纳推理.故选 B. 2.复数 z 满足 (z3)(2 i)5(i 为虚数单位 )，则 z的共轭复数z 为 () A.2i B.2i C.5i D.5i 答案D 解析由 (z 3)(2 i) 5得， z3 5 2i2i， z5i， z 5i. 3.设 f(x)10 xlg x，则 f(1)等于 ( ) A.10 B.10ln 10lg e C. 10 ln 10 ln 10 D.11ln 10 答案
2、B 解析 f(x)10 xln 101 xln 10， f(1) 10ln 10lg e，故选 B. 4.如图，在复平面内，向量 OP 对应的复数是1i， 若将 OP 向左平移 1 个单位长度后得到O0P0 ， 则点 P0对应的复数为() A.i B.12i C.1i D.1i 答案A 解析 O0P0 OP ，OO0 对应的复数是1， 点 P0对应的复数，即OP0 对应的复数是1(1i) i. 2 5.已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明：1 1 2 1 3 1 4 1 n1 1 n 2( 1 n2 1 n4 1 2n) 时，若已假设nk(k2 且 k 为偶数 )时命题为真，则还需要利用归纳
3、假设再证() A.nk 1 时等式成立 B.nk2 时等式成立 C.n2k2 时等式成立 D.n2(k2)时等式成立 答案B 解析由 k 2且 k 为偶数知选B. 6.函数 f(x)x 3ax2bxa2 在 x1 处有极值10，则 a， b 的值为 () A. a3 b 3 或 a 4 b11 B. a 4 b11 C. a 1 b5 D.以上都不对 答案B 解析 f(x)3x22axb， 32ab0， 1aba 210， 解得 a3， b 3 或 a 4， b11. 经检验 a 3，b 3 不合题意，应舍去. 7.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是() z1，z2不能比较大小；虚数不能
4、比较大小；z1，z2是虚数 . A.B. C.D. 答案C 解析 是大前提， 是小前提， 是结论 . 8.设 f(x) 1 3x 3ax25x 6在区间 1,3上为单调函数，则实数 a 的取值范围是() A. 5， ) B. ， 3 C.( ， 35， ) D. 5，5 答案C 解析因 f(x)x22ax 5，若 f(x)在1,3上为单调函数且单调递增，则 x1,3时，x22ax 3 50 恒成立，即2a x 5 x ，而 x1,3，x 5 x2 5， x 5 x 2 5，2a25，a5，若 f(x)在1,3上单调递减，则x 1,3时， x2 2ax50 恒成立，即 2a x 5 x ， 而
5、x1,3时， 记 h(x)x 5 x ， hmaxh(1)6， x5 x 6，2a 6，a3，a 的取值范围是( ， 35， ). 9.已知结论：“在正三角形ABC 中，若 D 是 BC 的中点， G 是三角形ABC 的重心，则 |AG| |GD| 2” . 若把该结论推广到空间，则有结论： 在棱长都相等的四面体ABCD 中，若 BCD 的中心 为 M，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则 |AO| |OM|等于 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案C 解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间， |AG| |GD|2 类比 |AO| |OM|3，故选 C. 10.已知 a
6、为常数，函数f(x)x(ln x ax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则 () A.f(x1)0，f(x2) 1 2 B.f(x1)0，f(x2) 1 2 C.f(x1)0，f(x2) 1 2 D.f(x1)0，f(x2) 1 2 答案D 解析函数 f(x)x(ln xax)有两个极值点x1， x2(x1 x2)， 则 f(x)ln x2ax1有两个零点， 即方程 ln x 2ax1 有两个根， 由数形结合易知0a 1 2且 0x11x2.因为在 (x1， x2)上 f(x) 递增，所以f(x1)f(1)f(x2)，即 f(x1) a f(x2)，所以 f(x1)0，f(x2) 1 2.
7、故选 D. 二、填空题 11.若实数 x，y 满足 (1i)x(1i)y2，则 xy 的值是. 答案1 解析由 (1i)x(1i)y 2 得 (x y)(xy)i2， xy2， xy0， 解得 x1， y1， xy 1. 12.由抛物线y1 2x 2，直线 x1， x3 和 x 轴所围成的图形的面积是 _. 4 答案 13 3 解析如图所示， S 1 31 2x 2dx 1 6x 3 3 1 1 6(3 313)13 3 . 13.已知函数f(x)x 32bx2cx1 有两个极值点 x1，x2，且 x1 2， 1，x2 1,2，则 f( 1)的取值范围是_. 答案3,12 解析因为 f(x)有
8、两个极值点x1， x2， 所以 f(x)3x24bxc0 有两个根x1， x2， 且 x1 2， 1，x21,2， 所以 f 2 0， f 1 0， f 1 0， f 2 0， 即 128bc0， 34bc0， 34bc0， 128bc0， 画出可行域如图所示.因为 f(1)2b c，由图知经过点A(0， 3)时， f(1)取得最小值3， 经过点 C(0， 12)时， f(1)取得最大值12，所以 f(1)的取值范围为 3,12 . 14.如图所示的数阵中，第20 行第 2 个数字是 _. 5 答案 1 191 解析设第 n(n2 且 nN *)行的第 2 个数字为 1 an ，其中 a11，
9、则由数阵可知an1 ann， a20(a20a19)(a19a18)(a2a1)a1191811 1920 2 1191， 1 a20 1 191. 三、解答题 15.(1)已知 zC，且 |z|i z 23i(i 为虚数单位 )，求复数 z 2i的虚部 . (2)已知 z1a2i，z234i(i 为虚数单位 )，且 z1 z2为纯虚数，求实数 a 的值 . 解(1)设 zxyi(x，yR)，代入方程 |z|i z 23i， 得出x2y2ixyi23i(x2)(3y)i， 故有 x 2y2x 2， 3y 1， 解得 x3， y4. z34i，复数 z 2i 34i 2i 2 i，虚部为1. (
10、2)z 1 z2 a2i 34i 3a8 4a6 i 25 ，且 z1 z2为纯虚数， 则 3a80，且 4a60，解得 a 8 3. 16.已知 a，b， c0，且 a bc1，求证： (1)a 2b2 c21 3；(2) abc3. 证明(1)a2 1 9 2 3a，b 21 9 2 3b，c 21 9 2 3c， a 21 9 b 21 9 c 21 9 2 3a 2 3b 2 3c 2 3.a 2 b2 c21 3. (2)a 1 3 a1 3 2 ，b 1 3 b1 3 2 ，c 1 3 c1 3 2 ，三式相加得 a 3 b 3 c 3 1 2(a bc) 1 2 1，abc3.
11、6 17.已知数列 an满足 Snan2n1. (1)写出 a1，a2，a3，并推测 an的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论. (1)解Snan2n1，当 n1 时， S1a1， a1a12 11，得 a1 3 2.当 n2 时， S 2 a1a2，则 a1a2a25，将 a1 3 2代入得 a2 7 4，同理可得 a3 15 8 . an 2 n11 2 n2 1 2 n. (2)证明当 n1 时，结论成立 .假设当nk(kN * )时，命题成立，即ak 2 1 2 k.当 nk1 时， Snan 2n1，则a1a2 ak2ak1 2(k1)1.a1a2 ak2k1ak， 2ak1
12、4 1 2 k，ak1 2 1 2 k1成立 .根据上述知对任意 nN *，结论成立 . 18.已知函数f(x)ln |x|(x0)，函数 g(x) 1 f x af(x)(x0). (1)当 x0 时，求函数yg(x)的表达式； (2)若 a 0，函数 y g(x)在 (0， )上的最小值是2，求 a 的值； (3)在 (2)的条件下，求直线y2 3x 7 6与函数 yg(x)的图象所围成图形的面积 . 解(1)f(x) ln |x|，当 x0 时，f(x)ln x，当 x0 时，f(x)ln(x)，当 x0 时，f (x) 1 x ，当 x0 时， f(x) 1 x (1) 1 x， 当 x0 时，函数 yg(x)x a x. (2)由 (1)知当 x0 时， g(x)x a x，当 a0， x0 时， g(x)2 a，当且仅当xa时取等 号， 函数 yg(x)在(0， )上的最小值是2 a，2 a2， a1. (3)由 y 2 3x 7 6， yx 1 x， 得 x1 3 2， y1 13 6 ， 或 x22， y25 2， 直线 y 2 3x 7 6与函数 yg(x)的图象所围成图形的面积 S 2 3 2 271 ()() 36 xx x dx 7 24 ln 32ln 2.