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1、第一节集合 1集合的含义与表示 (1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系 (2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题 2集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 (2)在具体情境中，了解全集与空集的含义 3集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集 (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 (3)能使用韦恩 (Venn)图表达集合的关系及运算 授课提示：对应学生用书第1 页 教材通关 1元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性 (2)集合中元素
2、与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“”表示)和不属于 (用符号 “?”表示 ) (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法 2集合间的基本关系 表示 关系 文字语言符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都 相同 A B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A? B 真子集 A 中任意一个元素均为B 中的元 素，且 B 中至少有一个元素不是A 中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子 集 必记结论 集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2 n 个子集，有2 n1 个真子集 (除集合本身 )， 有 2 n1 个非空子集， 有
3、2n2 个非空真子集 (除集合本身和空集，此时 n1) 3集合的基本运算 集合的并集集合的交集集合的补集 符号 表示 ABAB若全集为U，则集合 A 的补集为 ?UA 图形 表示 意义 x|xA， 或 xB x|xA， 且 x B x|xU，且 x?A 必记结论 (1)A?，A ?A； (2)A? B? ABA? A BB?UA?UB? A(?UB)?； (3)A (?UA)U，A (?UA)?，?U(AB) (?UA) (?UB)， ?U(A B)(?UA)(?UB) 小题诊断 1(2017 高考全国卷)已知集合A x|x0 ，则 () AAB x x0 x x3 2 ，所以AB x x 3
4、 2 ， A B x|x2 故选 A. 答案： A 2设集合M 1,1 ，N x|x 2x 6 ，则下列结论正确的是 () AN? MB NM ? CM? ND MN R 解析： 由已知得集合M1,1 ，Nx|x2x6 x|2x3，所以 M? N，故选 C. 答案： C 3(2018 唐山模拟 )已知全集U1,2,3,4,5 ，A 1,2,4 ，B2,5 ，则(?UA)B() A3,4,5 B 2,3,5 C5 D 3 解析： 因为U1,2,3,4,5 ，A1,2,4 ，所以 ?UA 3,5 ，又 B2,5 ，所以 (?UA) B 2,3,5 答案： B 4(2018 衡水中学联考)若集合 B
5、x|x0，且 ABA，则集合A 可能是 () A1,2 B x|x1 C1,0,1 D R 解析： 由 ABA 得 A? B，因为 B x|x0 ，所以集合A 可能是 1,2 ，故选 A. 答案： A 5已知全集UR，集合 A0,1,2,3,4,5 ，BxR|x2 ，则图中阴影部分所表示的 集合为 () A0,1 B 1 C1,2 D 0,1,2 解析： 由 Venn 图可知，阴影部分的元素由属于A 且不属于B 的元素构成，所以用集合 表示为 A ?UB. UR，A0,1,2,3,4,5 ，B x R|x 2， A?UB0,1 ，故选 A. 答案： A 6已知集合A ( x，y)|x，yR，x
6、 2y21，B( x，y)|x，yR，y4x21，则 AB 的元素个数是_ 解析： 集合 A 是以原点为圆心，半径等于1 的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y 4x 2 1 上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有 3 个交点，因此AB 中含有 3 个元素 答案： 3 易错通关 1易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身 2运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心 3在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不 满足“互异性”而导致解题错误 小题纠偏 1 设全集 UR， 集合 A x|76x0 ， 集合 Bx|y lg(x 2) ， 则(?UA) B
7、 等于 () A. 2，7 6 B 7 6， C. 2，7 6 D 2， 7 6 解析： 依题意得A x x 7 6 ，?UA x x 7 6 ；B x|x20 x|x 2，因此 (? UA)B x 2x 7 6 . 答案： A 2若集合Ax|2x 5，Bx|m1 x2m1 ，且 B? A，则由 m 的可取值组 成的集合为 _ 解析： 当 m12m1，即 m2 时， B?，满足 B? A；若 B?，且满足B? A，如图 所示，则 m12m1， m12， 2m15， 即 m2， m3， m3， 2m3.故 m2 或 2m3，即所求集合为m|m3 答案： m|m3 3已知集合AxN|x 22x0，
8、则满足 AB0,1,2 的集合 B 的个数为 _ 解析： 由 A 中的不等式解得0x2， x N，即 A0,1,2 A B0,1,2 ， B 可能为 0 ，1 ，2 ，0,1 ，0,2 ，1,2 ， 0,1,2 ，?，共 8 个 答案： 8 授课提示：对应学生用书第2 页 考点一集合的概念与关系自主探究基础送分考点 自主练透 题组练通 1已知集合A1， 1，B1,0 ， 1 ，则集合Cab|aA，bB中元素的个 数为 () A2B 3 C4 D 5 解析： 由题意，当a 1，b1 时， ab2；当 a1，b0 时， ab1；当 a 1，b 1 时， ab0；当 a 1，b1 时， ab0；当
9、a 1，b0 时， ab 1；当 a 1，b 1 时， ab 2.因此集合 C2,1,0 ， 1， 2，共有 5 个元素故选D. 答案： D 2 (2018 兰州模拟 )已知集合 A x|yln(x3)， Bx|x2， 则下列结论正确的是() AABB AB? CA? BD B? A 解析： A x|x 3 ，Bx|x2 ，结合数轴可得：B? A. 答案： D 3已知集合M x xk 4 4，kZ ，集合 N x x k 8 4，kZ ，则 () AMN?B M? N CN? MD MN N 解析：由题意可知，M x x 2k4 8 4， k Z x x2n 8 4，n Z ， N x x2k
10、 8 4或 x 2k1 8 4，k Z ，所以 M? N，故选 B. 答案： B 4已知集合Ax|log2x2 ，B(， a)，若 A? B，则实数a 的取值范围是 (c， )，其中 c_. 解析： 由 log2x2，得 0x4， 即 A x|0 x4， 而 B (，a)， 由于 A? B，如图所示，则a 4，即 c4. 答案： 4 1集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方 法常用于解决集合问题如题组中1 易错 2已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转 化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析如题
11、组中2,4 均用了数轴进行分析求解 考点二集合的基本运算多维探究题点多变考点 多角探明 锁定考向 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合 的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活 处理问题的能力 常见的命题角度有：(1)集合的基本运算；(2)利用集合运算求参数或范围 角度一集合的基本运算 1(2017 高考全国卷)已知集合A( x，y)|x 2y21，B( x，y)|yx，则 AB 中 元素的个数为() A3B 2 C1 D 0 解析： 因为 A 表示圆 x2y21 上的点的集合，B 表示直线yx 上的点的集合，直线y x 与圆
12、 x 2 y2 1 有两个交点，所以 AB 中元素的个数为2. 答案： B 2设集合A xZ|x|2 ，B x 3 2x1 ，则 AB() A1,2 B 1,2 C2,1,2 D 2， 1,0,2 解析： A 2，1,0,1,2 ，B x 2x3 2x 0 x x 3 2或x0 ，所以 AB 2， 1,2 ，故选 C. 答案： C 3已知集合Ay|yx 21，Bx|ylg(x2x2) ，则 ? R(AB)() A. 0， 1 2 B (， 0) 1 2， C. 0， 1 2 D (， 0 1 2， 解析： A y|yx21 0， )， B x|ylg(x2x 2) 0，1 2 ， 所以 AB
13、0，1 2 ， 所以 ?R(AB)(，01 2， . 答案： D 解决集合运算的两个方法 方法解读适合题型 数轴 法 利用数轴解决实数集合间的运算问题，用数轴 表示时注意端点值的取舍步骤是：化简集 合；将集合在数轴上表示出来；进行集合 以不等 式形式 给出的 运算求范围，重叠区域为集合的交集，合并区 域代表集合的并集 集合 Venn 图法 利用 Venn图，即利用封闭曲线的内部表示集 合与集合之间的关系对于 Venn图要熟悉 如 图所示 抽象的 集合 角度二利用集合运算求参数或范围 4(2017 高考全国卷)设集合 A1,2,4 ，B x|x 2 4xm0若 AB1 ，则 B () A1， 3
14、 B 1,0 C1,3 D 1,5 解析： 因为 AB1 ，所以 1 B，所以 1 是方程 x24xm0 的根，所以14m 0，m3，方程为x 24x30，解得 x1 或 x3，所以 B1,3 答案： C 5已知集合Ax|log2x 1 ，Bx|0xc，若 ABB，则 c 的取值范围是 () A(0,1 B 1， ) C(0,2 D 2， ) 解析： A x|log2x1 x|0 x2，因为 A BB，所以 A? B，所以 c2，所以 c 2， )，故选 D. 答案： D 6(2017 合肥模拟 )已知 A1， )，B xR 1 2ax2a1 ，若 AB?，则实 数 a 的取值范围是 () A
15、1， ) B 1 2，1 C. 2 3， D (1， ) 解析： 因为 AB?，所以 2a11， 2a11 2a， 解得 a 1，故选 A. 答案： A 根据集合运算的结果确定参数的取值范围 解决此类问题的步骤一般为：(1)化简所给集合； (2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端 点间关系列出不等式(组)；(4)解不等式 (组)；(5)检验，通过返回代入验证端点是否能够取到 解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn图进行求解 即时应用 1(2017 高考全国卷)设集合 A1,2,3 ，B2,3,4 ，则 AB() A1,2,3,4B 1,2,3 C2,3,4 D 1,3,4 解析
16、： 由题意得A B1,2,3,4 答案： A 2(2017 高考浙江卷 )已知集合Px|1x1 ，Qx|0x2，则 PQ() A(1,2) B (0,1) C(1,0) D (1,2) 解析： P Q(1,2) 答案： A 3(2017 高考山东卷 )设函数 y4x 2的定义域为 A，函数 yln(1x)的定义域为B， 则 AB() A(1,2) B (1,2 C(2,1) D 2,1) 解析： 由 4x 20，解得 2x2，由 1x0，解得 x1， ABx|2x1 故 选 D. 答案： D 4(2018 长沙模拟 )已知集合A1,2,3 ，B x|x 23x a0，aA ，若 AB?，则 a
17、 的值为 () A1 B 2 C3 D 1 或 2 解析： 当 a1 时， B 中元素均为无理数，AB?； 当 a2 时， B 1,2 ，AB1,2 ? ； 当 a3 时， B ?，则 AB?， 所以 a 的值为 2，故选 B. 答案： B 5设集合A 0,1 ，集合 Bx|xa ，若 AB?，则实数a 的取值范围是 () Aa1 B a1 Ca0 D a0 解析： 由 AB?知 0?B,1?B， a1，故选 B. 答案： B 考点三集合的新定义问题创新探究交汇创新考点 突破疑难 与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高 考的热点问题，这类试题的特点是：通过
18、给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境 下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算 和新法则等类型.解决此类题型的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的 含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用. 典例 设 A 是自然数集的一个非空子集，对于kA，如果 k 2?A，且 k?A，那么 k 是 A 的一个“酷元”，给定SxN|y lg(36x2) ，设 M? S，集合 M 中有两个元素，且这两 个元素都是M 的“酷元”，那么这样的集合M 有() A3 个B 4 个 C5 个D 6 个 解析：由 36x20 可解得 6x6， 又 x N，
19、故 x 可取 0,1,2,3,4,5，故 S0,1,2,3,4,5 由题意可知：集合M 不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合 M 可以是 2,3 、 2,5 、 3,5 、3,4 、4,5 答案： C 即时应用 1设 A， B 是两个非空集合， 定义集合AB x|xA， 且 x?B若 A xN|0 x5， Bx|x 27x100 ，则 AB( ) A0,1 B 1,2 C0,1,2 D 0,1,2,5 解析： A x N|0x 50,1,2,3,4,5 ，Bx|x27x 10 0 x|2 x5 ，A B x|x A 且 x?B， AB 0,1,2,5 故选 D. 答案： D 2设 P，
20、Q 为两个非空实数集合，定义集合P?Qz|z a b，aP，bQ，若 P 1,0,1 ，Q 2,2 ，则集合P?Q 中元素的个数是() A2 B 3 C4 D 5 解析： 当 a0 时，无论b 取何值， za b 0； 当 a 1，b 2 时， z 1 2； 当 a 1，b2 时， z 1 2； 当 a1，b 2 时， z 1 2； 当 a1，b2 时， z1 2. 故 P?Q 0， 1 2， 1 2 ，该集合中共有3 个元素，所以选B. 答案： B 课时作业 单独成册对应学生用书第187 页 A 组 基础对点练 1(2017 高考天津卷 )设集合 A 1,2,6 ，B2,4 ，C1,2,3,4 ，则 (AB)C()