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1、2011 年2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析版） 8三角函数与解三角形 一、选择题 （ 2018 6）在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC，5AC，则 AB=（ ） A 4 2B30C29D 2 5 （2016 7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为（） A () 26 k xkZB() 26 k xkZ C() 212 k xkZD() 212 k xkZ （2016 9）若 3 cos() 45 ，则 sin 2=（） A 7 25 B 1 5 C 1 5 D 7 25 （2014 4）钝角三角形ABC 的面积
2、是 1 2 ， AB=1，BC= 2，则 AC=（ ） A5 B5C2 D1 （2012 9）已知0，函数) 4 sin()(xxf在 ), 2 ( 单调递减，则的取值范围是（） A. 1 5 , 2 4 B. 1 3 , 2 4 C. 1 (0, 2 D. (0,2 （2011 5） 已知角 的顶点与原点重合， 始边与 x 轴的正半轴重合， 终边在直线y=2x 上，则 cos2 = （） A 4 5 B 3 5 C 3 5 D 4 5 （ 2011 11）设函数 ( )sin()cos()(0,|) 2 f xxx的最小正周期为，且()( )fxf x， 则（） A( )fx在(0, ) 2
3、 单调递减B( )f x在 3 (,) 44 单调递减 C( )f x在 (0,) 2 单调递增D( )f x在 3 (,) 44 单调递增 二、填空题 （ 2018 15）已知 sincos1， cossin0 ，则 sin _ （2017 14）函数 2 3 sin3 cos 4 fxxx（0, 2 x ）的最大值是 （2016 13）ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 cos 4 5 A ， 1 cos 5 3 C，a = 1，则 b = . （2014 14）函数( )sin(2 )2sincos()f xxx的最大值为 _. （2013 15）设为第二象限角，若 1
4、tan() 42 ，则sincos_. （2011 16）在 ABC 中，60 ,3BAC，则2ABBC 的最大值为. 三、解答题 （2017 17）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知 2 sin()8sin 2 B AC （1）求cos B； （2）若6ac, ABC面积为 2，求.b （2015 17）在 ?ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC，?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍 （）求 sin sin B C ； （）若 AD=1，DC= 2 2 ，求 BD 和 AC 的长 （2013 17）在 ABC 内角 A、B、C 的对边分别为a
5、，b，c，已知 a=bcosC+csinB . （）求B； （）若b= 2，求 ABC 面积的最大值. （2012 17）已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角A，B，C 的对边，0sin3coscbCaCa. （）求A； （）若a=2， ABC 的面积为 3，求 b，c. 2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编 8三角函数与解三角形（逐题解析版） 一、选择题 （2018 新课标， 6） 在ABC中， 5 cos 25 C ，1BC，5AC，则 AB =（） A 4 2B30C29D 2 5 【答案】 A 解析： 因为 2 cos2cos1 2 C C，所以 2 53
6、cos21 55 C ， 由余弦定理可知： 222 2cosABACBCAC BCC， 2223 5125 132 5 AB， 故，4 2AB （ 2016 7） B 解析： 平移后图像表达式为 2sin 2 12 yx，令 2+ 122 xk，得对称轴方程： 26 Z k xk，故选 B （2016 9）D 解析： 3 cos() 45 ， 27 sin2cos(2 )cos2()2cos ()1 24425 ，故选 D （2014 4）B 解析： 1 | | sin 2 ABC SABBCB，即： 11 12 sin 22 B， 2 sin 2 B，即45B 或135 又 222 |2|
7、| cosACABBCABBCB， 2 |1AC或 5， 又ABC为钝角三角形， 2 |5AC，即：|5AC. （ 2012 9） A 解 析 ： 由 3 22, 22442 kkkZ得 ， 15 42 , 24 kk kZ， 15 0 24 ， . （2011 5）B 解析： 由题知tan2, 222 222 cossin1tan3 cos2 cossin1tan5 ，故选 B. （2011 11）A 解析：( )2sin()(0,|) 42 f xx的最小正周期为 ，所以2， 又()( )fxf x，f (x)为偶函数，=+, 4 kkZ，( )2sin(2)2cos2 2 f xxx，故
8、选 A. 二、填空题 （2018 新课标，理15）15已知 sincos1， cossin0 ，则 sin_ 【答案】 1 2 【解析 】解法一： 22 22 sincos1sincos2sincos1 cossin0 cossin2cossin0a 两边平方 1 22 sincoscossin1sin 2 对位相加 解法二： sincos1cos1sin cossin0sincos sinsincoscossinsin1sincoscossin1 22 221 sincos11sincos1sin 2 综上所述： 1 sin 2 解法三：特殊值法 设 1 sincos 2 ，则 3 cos
9、2 ， 3 sin 2 ， 1 sinsincoscossin 2 . （2017 14）1【解析 】 23 sin3cos0, 42 fxxxx， 22 sincos1xx ， 21 cos3cos 4 fxxx ，设 costx，0,1t， 21 3 4 fxtt ，函数对称轴为 3 0,1 2 t， max 1fx （2016 13） 21 13 解析： 4 cos 5 A， 5 cos 13 C， 3 sin 5 A， 12 sin 13 C， 63 sinsinsin coscos sin 65 BA CACAC ，由正弦定理得： sinsin ba BA ，解得 21 13 b （
10、2014 14）1 解析： ( )sin(2 )2sincos()sin()2sincos()f xxxxx sincos()cossin()2sincos()cossin()sincos()sinxxxxxx xR，( )f x的最大值为1. （2013 15） 10 5 解析： 由 1tan1 tan 41tan2 ，得 tan 1 3 ，即 sin 1 3 cos . 将其代入 sin 2 cos2 1，得2 10 cos1 9 . 因为 为第二象限角，所以cos 3 10 10 ，sin 10 10 ， sin cos 10 5 . （ 2011 16）2 7解析： 00 120120
11、ACCA, 0 (0,120 )A，22sin sinsin BCAC BCA AB ， 0 22sin2sin(120)3cossin sinsin ABAC ABCAAA CB ， 2ABBC3cos5sin28sin()2 7sin()AAAA，故最大值是27. 三、解答题 （2017 17）ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c,已知 2 sin()8sin 2 B AC （1）求cos B； （2）若6ac, ABC面积为 2，求.b 解析：（） 【解法 1】由题设及 2 sin8sin, 2B BCBA，故sin4-cosBB（1）， 上式两边平方，整理得 2 17c
12、os B-32cosB+15=0，解得 15 cosB=cosB 17 1（舍去），=. 【解法 2】由题设及 2 sin8sin, 2B BCBA，所以 2 sin8 2 cos 2 sin2 2BBB ，又0 2 sin B ，所 以 4 1 2 tan B ， 17 15 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 B B B. （）由 158 cosBsin B 1717 =得 ，故 14 a sin 217 ABC ScBac，又 17 =2 2 ABC Sac，则 ， 由余弦定理及a6c得 22221715 b2cosa2(1cosB)362(1)4 217 acacBac（ +c
13、），所以 b=2 （2015 17）在 ?ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC，?ABD 面积是 ?ADC 面积的 2 倍 （）求 sin sin B C ； （）若 AD=1，DC= 2 2 ，求 BD 和 AC 的长 解 析 ：（ ） 1 sin 2 ABD SAB ADBAD， 1 sin 2 ADC SACADCAD， 因 为2 ABDADC SS， BADCAD，所以2ABAC，由正弦定理可得 sin1 sin2 BAC CAB . （）因为:2 ABDADC SSBD DC， 2 2 DC，所以 2BD，在ABD和ADC 中， 由余弦定理知， 222 2cosA
14、BADBDAD BDADB， 222 2cosACADDCAD DCADC， 故 22222 2326ABACADBDDC，由（）知2ABAC ，所以1AC. （2013 17）在 ABC 内角 A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知 a=bcosC+csinB . （）求B； （）若b= 2，求 ABC 面积的最大值. 解析：（）由已知及正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B ，又 A - (B+C)，故 sin Asin(B+C) sin Bcos C+cos Bsin C ，由，和C(0， )得 sin B cos B，又 B(0， )，所以 4 B . （） A
15、BC 的面积 12 sin 24 SacBac. 由已知及余弦定理得 22 4=+2cos 4 acac. 又 a 2 c22 ac， 故 4 22 ac ，当且仅当a c 时，等号成立因此ABC 面积的最大值为2+1. （2012 17）已知 a，b，c 分别为 ABC 三个内角A，B，C 的对边，0sin3coscbCaCa. （）求A； （）若a=2， ABC 的面积为 3，求 b，c. 解析：（）由cos3 sin0aCaCb c及正弦定理可得sincos3sinsinACACsinsin0BC， sin cos3sin sinsin() sin0ACACA CC，3sinsincos sinACACsin0C，sin0CQ， 3sincos10AA，2sin()10 6 A， 1 sin() 62 A，0AQ， 5 666 A， 66 A， 3 A. （）3 ABC SVQ， 13 sin3 24 bcAbc，4bc，2, 3 aAQ， 22222 2cos4abcbcAbcbc， 22 8bc，解得2bc.