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1、第 1 页共 308 页 命题及其关系 11.1命题 预习课本P2 3，思考并完成以下问题 1命题、真命题、假命题的概念分别是什么？ 2在命题“若p，则 q”的形式中，p、q 分别叫做命题的什么？ 新知初探 第 2 页共 308 页 命题 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 分类： 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 形式：“若 p，则 q”.其中 p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 点睛 (1)判断一个语句是命题的两个要素： 是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； 可以判断真假 (2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命
2、题只需举出 一个反例即可 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”) (1)“集合 a，b，c有 3 个子集”是命题() (2)“x 23x20”是命题 ( ) 答案： (1)(2) 2语句“若ab，则 acbc” () A不是命题B是真命题 C是假命题D不能判断真假 答案： B 3下列语句中，是假命题的是() A一条直线有且只有一条垂线 B不相等的两个角一定不是对顶角 C直角的补角必是直角 D两直线平行，同旁内角互补 答案： A 4命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为_，结论 q为 _ 答案： 一个正整数不是合数就是素数 命题的判断 典例 判断下列语句是否是命题，
3、并说明理由 (1) 3是有理数； (2)3x 25； (3)梯形是不是平面图形呢？ 第 3 页共 308 页 (4)x 2x 70. 解(1)“ 3是有理数 ”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题 (2)因为无法判断“3x 25”的真假，所以它不是命题 (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题 (4)因为 x 2x7 x1 2 227 4 0，所以 “ x 2x70”是真的，故是命题 判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题 (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命 题；若不能，
4、就不是命题 活学活用 判断下列语句是否为命题，并说明理由 (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x3. 解： (1)是陈述句，能判断真假，是命题 (2)是陈述句，能判断真假，是命题 (3)不是陈述句，不是命题 (4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题. 判断命题的真假 典例 判断下列命题的真假，并说明理由 (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当 x4 时， 2x11 时，该数列为递减数列 命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法： 第 4 页共 308 页 真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进
5、行正确逻辑 推理的一个过程判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法 (2)假命题的判定方法： 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法 活学活用 下列命题中真命题有() mx 2 2x1 0 是一元二次方程； 抛物线yax2 2x1 与 x 轴至少有一个交点； 互相包含的两个集合相等； 空集是任何集合的真子集 A1 个B2 个 C3 个D4 个 解析： 选 A中当m0 时，是一元一次方程；中当 44a 1时，方程ax 22x10 有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知 x，y 为非零自然数，当yx 2 时， y 4，x2.
6、 解(1)若一个数是6，则它是12 和 18 的公约数，是真命题 (2)若 a 1，则方程ax 22x10有两个不等实根，是假命题 (3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题 (4)已知 x，y 为非零自然数，若yx 2，则 y 4，x2，是假命题 把一个命题改写成“若 p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结 论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注 意有的命题改写形式不唯一 活学活用 把下列命题改写成“若p，则 q”的形式，并判断命题的真假 (1)奇数不能被2 整除； (2)当(a1) 2(b 1)20 时， ab
7、 1； (3)两个相似三角形是全等三角形； 第 5 页共 308 页 (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行 解： (1)若一个数是奇数，则它不能被2 整除，是真命题 (2)若(a1) 2(b 1)20，则 ab 1，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题 (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题 层级一学业水平达标 1下列语句不是命题的有() 若 ab，bc，则 ac； x2； 30，且 a1)在 R 上是增函数 A0 个B1 个 C2 个D3 个 解析： 选 C是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命
8、题 2(陕西高考 )设 z 是复数，则下列命题中的假命题是() A若 z 20，则 z 是实数 B若 z20，则 z 是虚数 C若 z 是虚数，则z 2 0 D若 z是纯虚数，则z20 解析： 选 C实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z abi(a，bR)，则z2 a 2b22abi，由 z20，得 ab 0， a 2 b2 0， 则 b0，故选项A 为真，同理选项B 为真；而 选项 C 为假，选项D 为真 3已知 a，b 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，且a ，b ，则下列命 题中，假命题是() A若 ab，则 B若 ，则 ab C若 a，b 相交，则 ，相交 D若 ， 相交
9、，则a，b 相交 解析： 选 D由已知 a ，b ，若 ，相交， a，b 有可能异面 4给出命题“方程x 2 ax1 0 没有实数根”，则使该命题为真命题的 a 的一个值可 以是 () A4 B2 C0 D 3 解析： 选 C方程无实根时，应满足 a 24b1，则 0 4 ，但 第 7 页共 308 页 tan2 6 0 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_ 解析： ax2 2ax30 不成立， ax22ax30 恒成立 当 a0 时， 3 0 恒成立； 当 a0 时，则有 aa，B：x1，请选择适当的实数a，使得利用A，B构 造 的 命 题 “若 p，则 q”为真命题 解： 若视 A
10、 为 p，则命题 “若 p，则 q”为“若 x 1a 5 ，则 x1” 由命题为真命题可 知 1a 5 1，解得 a4； 若视 B 为 p，则命题 “ 若 p，则 q”为“若 x1，则 x1a 5 ”由命题为真命题可知 1a 5 1，解得 a4. 故 a 取任一实数均可利用A，B 构造出一个真命题，比如这里取a1，则有真命题 “若 第 8 页共 308 页 x1，则 x 2 5” 层级二应试能力达标 1在空间中，下列命题正确的是() A平行直线的平行投影重合 B平行于同一平面的两条直线平行 C垂直于同一平面的两个平面平行 D垂直于同一平面的两条直线平行 解析： 选 DA 中当两平行直线确定的平
11、面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影 不重合 B 中两直线也可以相交或异面C 中两平面可以相交D 正确故选D. 2下面的命题中是真命题的是() Aysin 2x 的最小正周期为 2 B若方程ax 2bxc0(a0)的两根同号，则 c a0 C如果 M? N，那么 MNM D在 ABC 中，若ABBC0，则 B 为锐角 解析： 选 By sin 2x1cos 2 x 2 ，T 2 2 ，故 A 为假命题； 当 M? N 时，M N N， 故 C 为假命题；在三角形ABC 中，当ABBC0 时，向量 AB与BC的夹角为锐角， B 应 为钝角，故D 为假命题故选B. 3下列命题为真命题的是()
12、A若 1 x 1 y，则 xy B若 x 21，则 x1 C若 xy，则xy D若 x0，则二元一次不等式xay10 表示直线xay10 的右上方区域 ( 包 括 边 界 )” 条 件p： _ ， 结 论q： _. 它 是 _命题 (填“真”或“假”) 解析： a0 时，设 a1，把 (0,0)代入 xy10 得 10 不成立， xy1 0表示直线的右上方区域(包括边界 )， 命题为真命题 答案： a0二元一次不等式xay10 表示直线xay 10 的右上方区域(包含边 界)真 6定义“正对数”：ln x 0，00，b0，则 ln (a b)blna； 若 a0，b0，则 ln (ab)ln
13、alnb； 若 a0，b0，则 ln a b ln alnb； 若 a0，b0，则 ln (ab)ln alnb ln 2. 其中的真命题有_(写出所有真命题的编号) 解析：对于， 当 a1 时，ab1， 则 ln (ab)ln abbln ablna； 当 01，即 m1， m2， 所以 1m2. 故实数 m 的取值范围是(1,2) 8试探究命题“方程ax 2bx 10 有实数解”为真命题时， a， b满足的条件 第 10 页共 308 页 解： 方程 ax 2bx 10 有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情 况： 当 a0 时，方程ax 2bx10 为 bx 10，只有当
14、 b0 时，方程有实数解x 1 b ； 当 a0 时， 方程 ax2bx10 为一元二次方程， 方程有实数解的条件为 b 24a0. 综上知，当a0，b 0 或 a 0，b 24a0 时，方程 ax2bx10 有实数解 11.2 & 1.1.3四种命题四种命题间的相互关系 预习课本P48，思考并完成以下问题 1一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？ 2什么样的两个命题有相同的真假性？ 3两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？ 新知初探 1四种命题的概念 一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件， 那么把这样的两个命题叫做互逆
15、命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样 的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、 否命题、逆否命题 2四种命题结构 第 11 页共 308 页 3四种命题之间的关系 4四种命题的真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”) (1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性() (2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系() 答案： (1)(2) 2已知 a，bR，命题“若ab1，则 a 2b21 2 ”的否命题是() A若 a 2b2 1 2 ，则 ab1 B若 ab1，则 a 2b21 2 C若 ab1，则 a 2 b21 2 D若 a 2b21 2，则 ab 1 答案： C 3若 a0，则 ab0 的逆命题是 _ 答案： 若 ab0，则 a0 4 命题 p： 若 a1， 则 a 21； 命题 q： 若 a21， 则 a1， 则命题 p与 q 的关系是 _ 答案： 互逆命题 四种命题的概念