10-18高考真题分类第35讲离散型随机变量的分布列、期望与方差【学生试卷】.pdf

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1、第 1 页，共6 页 第 35 讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 一、选择题 1 (2018 全国卷 )某群体中的每位成员使用移动支付 的概率都为p， 各成员的支付方式相互独立，设X为 该群体的10 位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX，(4)(6)P XP X，则p=() A 07 B06 C 04 D03 2(2018 浙江 )设01p，随机变量的分布列是 0 1 2 P 1 2 p1 22 p 则当p在(0,1)内增大时， () A( )D减小 B( )D增大 C( )D先减小后增大 D( )D先增大后减小 3(2017 浙江 )已知随机变量 i 满足(1) ii Pp， (0)

2、1 ii Pp，i=1，2 若 12 1 0 2 pp，则 () A 1 ( )E 2 ()D C 1 ( )E 2 ()E， 1 ()D 2 ()E， 1 ()D 2 ()D 4(2014 浙江 )已知甲盒中仅有1 个球且为红球，乙盒 中有m个红球和n个篮球3,3mn，从乙盒中 随机抽取1,2i i个球放入甲盒中 (a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为 1,2 i i； (b)放入i个球后，从甲盒中取1 个球是红球的概率记 为1,2 i p i则 () A 1212 ,ppEE B 1212,ppEE C 1212 ,ppEE D 1212 ,ppEE 二、填空题 5(2017 新课标

3、 )一批产品的二等品率为 0.02，从 这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则DX=_ 6(2016 年四川 )同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至 少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X的均值是 _ 7(2014 浙江 )随机变量的取值为0，1， 2，若 1 0 5 P， 1E，则D_ 三、解答题 8(2018 北京 )电影公司随机收集了电影的有关数据， 经分类整理得到下表： 电影 类型 第一 类 第二 类 第三 类 第四 类 第五 类 第六 类 电影 部数 140 50 300 200 800 510 好评 率 0.4 0.2

4、 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影 的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立 (1)从电影公司收集的电影中随机选取1 部，求这部电 影是获得好评的第四类电影的概率； 第 2 页，共6 页 (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1 部，估 计恰有 1 部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类 电影的好评率相等，用“1 k ”表示第k类电影得 到人们喜欢， “0 k ”表示第k 类电影没有得到人 们喜欢 (k=1，2，3，4，5，6)写出方差 1 D， 2 D， 3 D， 4 D， 5 D， 6 D的大小关系

5、9(2018 全国卷 )某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验， 如检验出不合格品，则更换为合格品检验时，先从 这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定 是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格 品的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合 格品相互独立 (1)记 20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为()fp， 求()fp的最大值点 0 p (2)现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格 品，以 (1)中确定的 0 p作为p的值已知每件产品的 检验费用为2 元，若有不合格品进入用户手中，则工 厂要对每件不合格品支付25 元

6、的赔偿费用 (i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验 费用与赔偿费用的和记为X，求EX； (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是 否该对这箱余下的所有产品作检验？ 10(2018 天津 )已知某单位甲、乙、丙三个部门的员 工人数分别为24，16，16现采用分层抽样的方法从 中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查 (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少 人？ (2)若抽出的7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足， 现从这 7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查 (i)用 X 表示抽取的3 人中睡眠不足 的员工人数， 求随 机变量 X 的分布列与数学期望； (i

7、i)设 A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工， 也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率 11(2017 新课标 )某超市计划按月订购一种酸奶， 每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部 处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高 气温 (单位： )有关如果最高气温不低于25，需求 量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求 量为 300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月 份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最 高 气 温 10， 15) 15

8、， 20) 20， 25) 25， 30) 30， 35) 35， 40) 天 数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该 区间的概率 (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶 )的分 布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)， 当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶 )为多少 时，Y的数学期望达到最大值？ 12(2017 江苏 )已知一个口袋有m个白球，n个黑球 (m，n * N，2n)， 这些球除颜色外全部相同现 将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编 号为 1，2，3，mn的抽屉内，其中第k次取 球放入编号为k的抽屉

9、 (k=1，2，3，mn) 1 2 3 mn (1)试求编号为2 的抽屉内放的是黑球的概率p； (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编 号的倒数，()E X是X的数学期望，证明 () ()(1) n E X mn n 13(2017 天津 )从甲地到乙地要经过3 个十字路口， 设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯 的概率分别为 1 1 1 , 2 3 4 ( )设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数， 求随机变量X的分布列和数学期望； ( )若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这2 辆车共 遇到 1 个红灯的概率 第 3 页，共6 页 14(2017 山东 )在心理学研究

10、中，常采用对比试验的 方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下： 将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心 理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组 志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示 的作用，现有6 名男志愿者 1 A， 2 A， 3 A， 4 A， 5 A， 6 A和 4 名女志愿者 1 B， 2 B， 3 B， 4 B，从中随机抽 取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示 ()求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 1 A但不包 含 1 B的频率 ()用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X的分布列与数学期望EX 15(2017 北京 )为了研究一

11、种新药的疗效，选100 名 患者随机分成两组，每组各50 名，一组服药，另一 组不服药一段时间后，记录了两组患者的生理指标 x和y的数据，并制成下图， 其中 “ *”表示服药者， “ +” 表示未服药者 ()从服药的50 名患者中随机选出一人，求此人指标 y的值小于60 的概率； ()从图中 A，B，C，D 四人中随机选出两人，记为 选出的两人中指标x的值大于1.7 的人数，求的分 布列和数学期望( )E； ()试判断这 100 名患者中服药者指标y数据的方差与 未服药者指标y数据的方差的大小(只需写出结论 ) 16(2016 年全国 I)某公司计划购买2 台机器，该种 机器使用三年后即被淘汰

12、机器有一易损零件，在购 进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用 期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机 器更换的易损零件数发生的概率，记X表示 2 台机器 三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2 台机器 的同时购买的易损零件数. (I )求X的分布列； (II )若要求()0.5P Xn，确定n的最小值； (III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据， 在19n与20n

13、之中选其一，应选用哪个？ 17(2015 福建 )某银行规定，一张银行卡若在一天内 出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到 银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可 以确定该银行卡的正确密码是他常用的6 个密码之 一， 小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试 若 密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行 卡被锁定 ( )求当天小王的该银行卡被锁定的概率； ( )设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X， 求X 的分布列和数学期望 18(2015 山东 )若n是一个三位正整数，且n的个位 数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n 为“三位递增数”(如 137，359

14、，567 等)在某次数 学趣味活动中， 每位参加者需从所有的“三位递增数” 中随机抽取1 个数，且只能抽取一次得分规则如下： 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5 整 除，参加者得0 分；若能被5 整除，但不能被10 整 除，得1分；若能被10 整除，得1 分 ( )写出所有个位数字是5 的“三位递增数” ； ( )若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望 EX 19 (2015 四川 )某市,A B两所中学的学生组队参加辩 论赛，A中学推荐了3 名男生， 2 名女生，B中学推 荐了 3 名男生， 4 名女生，两校推荐的学生一起参加 集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男 第

15、 4 页，共6 页 生中随机抽取3 人， 女生中随机抽取3 人组成代表队 (1)求A中学至少有1 名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前， 从代表队的6 名队员中随机抽取4 人 参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和 数学期望 20(2014 新课标 1)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结 果得如下频率分布直方图： ()求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样 本方差 2 s(同一组数据用该区间的中点值作代表)； ()由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指 标值Z服从正态分布 2 ( ,)N，其中近似为样本 平均数x， 2 近

16、似为样本方差 2 s (i)利用该正态分布，求(187.8212.2)PZ； (ii)某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X表 示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2) 的产品件数，利用(i)的结果，求EX 附：15012.2若Z 2 ( ,)N，则 ()PZ=0.6826 ， (22)PZ=0.9544 21(2014 山东 )乒乓球台面被球网分成甲、乙两部 分 如图， 甲上有两个不相交的区域,A B，乙被划分 为两个不相交的区域,C D某次测试要求队员接到 落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落 点在C上记 3 分， 在D上记 1 分， 其它情况记0

17、分 对 落点在A上的来球， 队员小明回球的落点在C上的概 率为 1 2 ，在D上的概率为 1 3 ；对落点在B上的来球， 小明回球的落点在C上的概率为 1 5 ，在D上的概率 为 3 5 假设共有两次来球且落在,A B上各一次，小 明的两次回球互不影响求： ( )小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的 概率； ( )两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数 学期望 22(2014 辽宁 )一家面包房根据以往某种面包的销售 记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示： 250200150100500 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 频率 组距 月销售量 /个

18、将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的 销售量相互独立 ( )求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都 不低于 100 个且另一天的日销售量低于50 个的概率； ( )用 X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的 天数，求随机变量X 的分布列，期望()E X及方差 ()D X 23(2014 广东 )随机观测生产某种零件的某工厂25 名工人的日加工零件数(单位：件 )，获得数据如下： 30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43， 31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39， 36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下

19、： 分组频数频率 25，3030.12 (30，3550.20 (35，4080.32 (40，45 1 n 1 f 第 5 页，共6 页 (45，50 2 n 2 f (1)确定样本频率分布表中 121 ,n nf和 2 f的值； (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图； (3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4 人，至 少有 1 人的日加工零件数落在区间(30，35的概率 24(2014 安徽 )甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜 两局者直接赢得比赛，若赛完5 局仍未出现连胜，则 判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率 为 2 3 ，乙获胜的概率为 1 3 ，各局比赛结

20、果相互独立 ()求甲在 4 局以内 (含 4 局)赢得比赛的概率； ()记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列 和均值 (数学期望 ) 25(2013 新课标 1)一批产品需要进行质量检验，检 验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件 产品中优质品的件数记为n如果 n=3，再从这批产 品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通 过检验； 如果 n=4，再从这批产品中任取1 件作检验， 若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这 批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50% ，即取出的产品是优质品的概率都为 1 2 ，且各件 产品是否为优质品相互独立 (1)求这批

21、产品通过检验的概率； (2)已知每件产品检验费用为100 元，凡抽取的每件产 品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记 为 X(单位：元 )，求 X 的分布列及数学期望 26 (2013 北京 )下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质 量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量 优良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染，某 人随机选择3 月 1 日至 3 月 13 日中的某一天到达该 市，并停留2 天 ( )求此人到达当日空气重度污染的概率 ( )设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望 ( )由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方 差最大？

22、 (结论不要求证明) 27(2012 新课标 )某花店每天以每枝5 元的价格从农 场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出 售如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理 ( )若花店一天购进16 朵玫瑰花， 求当天的利润y(单 位：元 )关于当天需求量n(单位：枝，nN)的函数 解析式； ( )花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位：枝 )， 整理得下表： 日需求量n14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 以 100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率 ( )若花店一天购进16 枝玫瑰花，X表示当天的利 润(单位：元 )，求X的分

23、布列、数学期望及方差； ( )若花店计划一天购进16 枝或 17 枝玫瑰花，你认 为应购进16 枝还是 17 枝？请说明理由 28(2012 山东 )现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射 击一次， 命中的概率为 4 3 ，命中得1分，没有命中得0 分；向乙靶射击两次，每次命中的概率是 3 2 ，每命中 一次得2分，没命中得0分该射手每次射击的结果 相互独立假设该射手完成以上三次射击 ( )求该射手恰好命中一次的概率； ( )求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX 29(2012 福建 )受轿车在保修期内维修费等因素的影 响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障 的时间有关， 某轿车制造厂生

24、产甲、乙两种品牌轿车， 保修期均为2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中 各随机抽取50 辆，统计数据如下： 品牌甲乙 首次 出现 故 障时 间 x( 年) 01x,12x,2x02x,2x 轿车 数量 (辆) 2345545 第 6 页，共6 页 每辆 利润 (万 元 ) 1231.82.9 将频率视为概率，解答下列问题： (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首 次出现故障发生在保修期内的概率； (II )若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿 车的利润为 1 X，生产一辆乙品牌轿车的利润为 2 X， 分别求 1 X， 2 X的分布列； (III )该厂预计今后这两种品牌轿

25、车销量相当，由于资 金限制，只能生产其中一种品牌的轿车，若从经济效 益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说 明理由 30(2011 北京 )以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名 同学的植树棵树乙组记录中有一个数据模糊，无法 确认，在图中以X 表示 1 1 1 0 9 9 0 X 8 9 乙组甲组 ( )如果 X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差； ( )如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同 学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期 望 (注：方差 22 2 12 1 sxxxx n 2 n xx，其 中x为 1 x， 2 x， n x的平均数 ) 31(2011 江西 )某饮料公司招聘了一名员工，现对其 进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种 不同的饮料共8 杯，其颜色完全相同，并且其中4 杯 为 A 饮料， 另外 4 杯为 B 饮料， 公司要求此员工一一 品尝后，从8 杯饮料中选出4 杯 A 饮料，若4 杯都选 对，则月工资定为3500 元，若 4 杯选对 3 杯，则月 工资定为2800 元，否则月工资定为2100 元，令 X 表 示此人选对A 饮料的杯数，假设此人对A 和 B 两种 饮料没有鉴别能力 (1)求 X 的分布列； (2)求此员工月工资的期望