2019全国1卷高考数学理科含部分答案word版.pdf

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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合42Mxx， 2 60Nx xx，则MN A 43xx B 42xx C22xxD23xx 2设复数z 满足1zi， z在复平面内对应的点为, x y ，则 A 2 2 11xyB 2 2 11xy C 2 2 11xyD 2 2 11xy 3已知 2 log 0.2a， 0.2 2b ， 0.3 0.2c ，则 AabcBacbCcabDbca 4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5

2、1 2 （ 51 0.618 2 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 A165cm B175cm C185cm D190cm 5函数 2 sin cos xx fx xx 在,的图象大致为 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“ ”和阴爻“” ，右图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A 5 16 B 11 3

3、2 C 21 32 D 11 16 7已知非零向量a，b满足2ab，且abb，则a与b的夹角为（） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8右图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图，图中空白框中应填入 A 1 2 A A B 1 2A A C 1 12 A A D 1 1 2 A A 9记 n S为等差数列 n a的前n项和，已知 4=0 S， 5 5a，则 A25 n anB310 n anC 2 28 n SnnD 21 2 2 n Snn 10已知椭圆C的焦点为 11,0F ， 21,0F ，过 2 F的直线与C交于A，B两点，若 222AFF B， 1 ABBF，则C的方程为 A

4、 2 2 1 2 x yB 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 11关于函数sinsinfxxx有下述四个结论： fx是偶函数fx在区间, 2 单调递增 fx在,有 4 个零点fx的最大值为2 ABCD 12已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC 是边长为2 的正三角形， E，F分别是PA，PB的中点，90CEF ，则球O的体积为 A86B4 6C26D6 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。 13曲线 2 3 x yxx e在点0,0处的切线方程为_ 14记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 1 1

5、3 a， 2 46 aa ，则 5= S_ 15甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1 获胜的概率是 _ 16已知双曲线C： 22 22 1 xy ab （0,0ab）的左右焦点分别为 1 F， 2 F，过 1 F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若 1 F AAB， 12 0F B F B，则C的离心率为 _ 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721

6、题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。 17 （12 分） ABC 的内角 ABC，的对边分别为abc，，，设 2 2 sinsinsinsinsinBCABC . （1）求A；（2）若22abc，求sinC. 18 （12 分）如图，直四棱柱 1111 ABCDA B C D的底面是菱形， 1 4AA， 2AB，60BAD，E，M，N分别是BC， 1 BB， 1 A D 的中点（1）证明：MN平面 1 C DE ；（2）求二面角 1 AMAN的正弦值 19 （12 分）已知抛物线C： 2 3yx的焦点F，

7、斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P （1）若4AFBF，求l的方程；（2）若3APPB，求AB 20 （12 分）已知函数sinln 1fxxx ，fx为fx的导数证明：（1）fx在区间1, 2 存在唯一极大值点；（2） f x 有且仅有2个零点 21 （12 分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验，试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验，对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药 . 一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试

8、验，并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 -1 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得 -1 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分 .甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为 X. （1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药试验开始时都赋予4 分， i p（0,1,8i）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p， 8 1p， 11iiii papbpcp（1,2,7i）其中1aP X，0bP X，1cP X.

9、假设0.5，0.8. （）证明： 1ii pp（0,1,7i）为等比数列；（）求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性. （二）选考题：共 10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 4 4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系xOy 中，曲线 C的参数方程为 2 2 2 1 , 1 4 1 t x t t y t （t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110 （1）求 C 和l的直角坐标方程；（2）若 C 上的点到l距离的最小值 23选修 4 5：不

11、B. 22 (1)1xy C. 22 (1)1xy D. 22 (1)1xy 答案： C 解答：复数z在复平面内对应的点为 ( , )x y ， zxyi 1xyii 22 (1)1xy 3. 已知 2 log 0.2a， 0.2 2b， 0.3 0.2c，则（） A.abc B.a cb C.cab D.b ca 答案： B 解答：由对数函数的图像可知： 2 log 0.20a；再有指数函数的图像可知： 0.2 21b ， 0.3 00.21c ，于是可得到： acb. 4. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至

12、足底的长度之比是 2 15 （618.0 2 15 称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 15 . 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26，则其身高可能是（） A. cm165 B.cm175 C.cm185 D. cm190 答案： B 解答：方法一：设头顶处为点A，咽喉处为点B，脖子下端处为点C，肚脐处为点D，腿根处为点E，足底处为F， tBD， 2 15 ，根据题意可知 BD AB , 故tAB；又 tBDABAD)1( ， DF AD ，故

13、tDF 1 ；所以身高tDFADh 2 )1( ，将 618.0 2 15 代入可得th24. 4. 根据腿长为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB， EFDF ；即26t，105 1 t，将618.0 2 15 代入可得4240t 所以08.1786 .169h，故选 B. 方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 2 15 （ 618.0 2 15 称为黄金分割比例）可计算出

14、咽喉至肚脐的长度约为cm42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 2 15 可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm178，与答案cm175更为接近，故选B. 5.函数 2 sin ( ) cos xx f x xx 在 ,的图像大致为（） A. B. C. D. 答案： D 解答： 2 sin () cos xx fx xx 2 sin cos xx xx ( )f x， ( )f x 为奇函数，排除A，又22 sin 42 22 ()0 2

15、cos 22 f ，排除 C， 22 sin ( )0 1 cos f ，排除 B，故选 D. 6. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“” ，下图就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（） A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 答案： A 解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有 6 2 种，在 6个位置上恰有3个是阳爻的情况有 3 6 C种，所以 3 6 6 205 26416 C P. 7.已知非零向量,a b满足 2ab，且( )abb，则 a 与

16、 b 的夹角为（） A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 答案： B 解答：设 a 与 b 的夹角为， ()abb 2 ()cosabba bb=0 1 cos = 2 = 3 . 8. 右图是求 1 1 2+ 1 2+ 2 的程序框图，图中空白框中应填入（） A. 1 2 A A B. 1 2A A C. 1 1 2 A A D. 1 12 A A 答案： A 解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项 A代入运算可得 1 = 1 2+ 1 2+ 2 A ，满足条件，选项 B代入运算可得 1 =2+ 1 2+ 2 A , 不符合条件，选项 C代入运算可得 1 2 A, 不

17、符合条件，选项 D代入运算可得 1 1+ 4 A, 不符合条件 . 9.记 n S为等差数列 na 的前n项和 .已知 4 0S， 5 5a，则（） A.25 n anB.310 n anC. 2 28 n SnnD. 2 1 2 2 n Snn 答案： A 解析：依题意有 41 51 460 45 Sad aad ，可得 1 3 2 a d ，25 n an， 2 4 n Snn. 10. 已知椭圆C的焦点为)0 ,1( 1 F，)0 ,1 ( 2 F，过 2 F的直线与C交于 A，B两点 . 若 |2| 22 BFAF， | 1 BFAB，则C的方程为（） A.1 2 2 2 y x

19、圆C的方程为1 23 22 yx . 11.关于函数( )sinsinf xxx有下述四个结论： ( )f x 是偶函数 ( )f x 在区间(, ) 2 单调递增 ( )f x在,有 4 个零点( )f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是（） A. B. C. D. 答案： C 解答：因为()sinsin()sinsin( )fxxxxxf x，所以( )f x是偶函数，正确，因为 52 ,(, ) 632 ，而 52 ()() 63 ff，所以错误，画出函数 ( )f x 在,上的图像，很容易知道 ( )fx 有3零点，所以错误，结合函数图像，可知( )f x的最大值为 2

20、，正确，故答案选 C. 12.已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为 2的正三角形， ,E F分别是 PA，AB的中点，90CEF ，则球O的体积为（） A.8 6 B.4 6 C.2 6 D. 6 答案： D 解答：设PAx，则 222222 2 -42 cos= 22 PAPCACxxx PAC PA PCx xx 222 2cosCEPEPCPE PCPAC 222 2 2 2 22 424 xxxx xx x 90CEF， 1 ,3 22 x EFPBCF 222 CEEFCF , 即 22 23 44 xx ，解得 2x ， 2PAPBPC 又2

21、ABBCAC 易知,PA PB PC两两相互垂直，故三棱锥 PABC的外接球的半径为 6 2 ，三棱锥PABC的外接球的体积为 3 46 6 32 ，故选 D. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 13. 曲线 2 3() x yxx e在点 (0,0) 处的切线方程为 . 答案： 3yx 解答： 2 3(21)3() xx yxexx e 2 3(31) x xxe，结合导数的几何意义曲线在点 (0,0) 处的切线方程的斜率3k，切线方程为 3yx. 14. 记 n S为等比数列 n a的前n项和，若 1 1 3 a， 2 46 aa，则 5 S . 答案： 5

22、S 121 3 解答： 1 1 3 a， 2 46 aa 设等比数列公比为q 325 11 ()a qa q 3q 5 S 121 3 15. 甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 . 答案： 0.18 解答：甲队要以 4:1，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第5 场甲获胜，由于在前4 场比赛中甲有2 个主场 2 个客场，于是分两种情况： 1221 22 0.6 0.4 0.50.60.

23、60.5 0.5 0.60.18CC . 16. 已知双曲线C: 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,FF，过 1 F的直线与C的两条渐近线分别交于,A B两点 .若 112 ,0F AAB F B F B uuu ruu u r uuu r uuu r ，则C的离心率为 . 答案： 2 解答：由 112 ,0F AAB F B F B uuu ruu u r uuu r uuu r 知 A是1 BF 的中点， 12 F BF B uuu ruuu r ，又O是 12 ,FF 的中点，所以OA为中位线且 1 OABF，所以 1 OBOF，因此 1 F

24、OABOA，又根据两渐近线对称， 12 FOAF OB，所以 2 60F OB， 22 1()1tan 602 b e a . 三、解答题：共70 分。第 17-21 题为必考题，第22,23 为选考题，考生需要按照要求作答. （一）必考题：共60 分 17.ABC的内角 ,A B C的对边分别为, ,a b c. 设 2 2 sinsinsinsinsinBCABC. （1）求 A；（2）若 22abc ，求sinC. 答案：略解答：（1）由 2 2 sinsinsinsinsinBCABC得 222 sinsinsinsinsinBCABC 结合正弦定理得 222 bcabc 2

25、22 1 cos= 22 bca A b c 又(0,)A，= 3 A. （2）由 22abc 得 2 sinsin2sinABC , 2sinsin2sinAACC 6 sin()2sin 23 CC, 312 sincos 222 CC 2 sin() 62 C 又 2 0 3 C 662 C 又sin()0 6 C0 62 C 2 cos 62 C ， sinsin() 66 CCsincoscossin 6666 CC 62 4 . 18. 如图，直四棱柱 1111 ABCDA B C D的底面是菱形， 1 4,2,60AAABBAD， ,E M N分别是 11 ,BC BBA D的中

26、点 . （1）证明： / /MN 平面 1 C DE；（2）求二面角 1 AMAN的正弦值 . 答案：（1）见解析；（2） 10 5 . 解答：（1）连结,M E和 1, B C，,M E分别是 1 BB和BC的中点， 1 / /MEB C且 1 1 2 MEBC，又N是 1 A D， / /MEDN，且MEDN，四边形MNDE是平行四边形， / /MNDE，又DE平面 1 C DE，MN平面 1 C DE，/ /MN平面 1 C DE. （2）以D为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D，(2,0,0)A， 1(2,0,4) A，(1,3,2)M 1 (0,0, 4)A A uu

27、u r ， 1 ( 1, 3, 2)AM uuuu r ， 1 ( 2,0, 4)AD uuu r ，设平面 1 AA M的法向量为 1111 (,)nx y z u r ，平面 1 DA M 的法向量为 2222 (,)nxyz u u r ，由 11 11 0 0 nA A nAM u r uuu r u r uuuu r得 1 111 40 320 z xyz ，令 1 3x得 1 ( 3,1,0)n u r ，由 21 21 0 0 nA D nA M u u ruuu r u u ruuuur得 22 222 240 320 xz xyz ，令 2 2x得 2 (2,0, 1

28、)n u u r ， 12 12 12 15 cos, 5 nn n n nn u r u u r u r u u r u ru u r ，二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 . 19. 已知抛物线xyC3: 2 的焦点为F，斜率为 2 3 的直线l与C的交点为 A，B，与 x轴的交点为 P. （1）若 4|BFAF ，求l的方程；（2）若 PBAP3 ，求| AB. 答案：（1）07128xy；（2） 3 134 . 解答：（1）设直线l的方程为bxy 2 3 ，设),( 11 yxA，),( 22 yxB，联立直线l与抛物线的方程： xy bxy 3 2

29、 3 2 消去 y 化简整理得0)33( 4 9 22 bxbx， 0 4 9 4) 33( 22 bb， 2 1 b， 9 )33(4 21 b xx，依题意4|BFAF可知 4 2 3 21 xx，即 2 5 21 xx，故 2 5 9 )33(4b ，得 8 7 b，满足0，故直线l的方程为 8 7 2 3 xy，即07128xy. （ 2）联立方程组 xy bxy 3 2 3 2 消去x化简整理得022 2 byy，084b， 2 1 b， 2 21 yy，byy2 21 ， PBAP3 ，可知 21 3yy，则22 2 y，得1 2 y，3 1 y，故可知 2 3

30、 b满足0， 3 134 |13| 9 4 1| 1 1| 21 2 yy k AB. 20. 已知函数( )sinln(1)fxxx,( )fx为( )f x的导函数 . 证明： (1)( )fx在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点； (2) ( )f x 有且仅有 2个零点 . 答案：略解答： (1) 对( )f x进行求导可得， 1 ( )cos 1 fxx x ，( 1) 2 x 取 1 ( )cos 1 g xx x ，则 2 1 ( )sin (1) g xx x , 在( 1,) 2 x内 2 1 ( )sin (1) gxx x 为单调递减函数，且 (0)1g ， 2 1

31、 ()10 2 (1) 2 g 所以在(0,1)x内存在一个 0 x，使得( )0gx，所以在 0 ( 1,)xx内( )0gx，( )fx为增函数；在 0 (,) 2 xx内( )0g x，( )fx为减函数，所以在 ( )fx在区间( 1,) 2 存在唯一极大值点；（2）由（ 1）可知当 ( 1,0)x 时， ( )fx 单调增，且 (0)0f ，可得0 xf 则( )f x在此区间单调减；当 0 (0,)xx时，( )fx单调增，且 (0)0f，( )0fx则( )fx在此区间单调增；又(0)0f则在 0 ( 1,)xx上( )f x有唯一零点 0x. 当 0 (,) 2 xx时

32、，( )fx单调减，且 0 ()0,()0 2 fxf，则存在唯一的 10 (,) 2 xx，使得 1 ()0fx ，在 01 (,)xxx 时，1 ()0fx ， ( )f x 单调增；当 1 (,) 2 xx时， ( )f x 单调减，且 ()1l n ( 1)1l n0 22 fe，所以在 0 (,) 2 xx上 ( )f x 无零点；当(,) 2 x时， sinyx单调减，ln(1)yx 单调减，则 ( )f x 在(,) 2 x上单调减 , ( )0ln(1)0f , 所以在(,) 2 x上 ( )f x 存在一个零点. 当( ,)x时

33、，( )sinln(1)1ln(1)0f xxx恒成立，则( )f x在( ,)x上无零点. 综上可得，( )f x有且仅有 2个零点 . 21为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得 1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲

34、药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得 1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮实验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4 分，(0,1,8) i pi表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p ，8 1p ，11iiii papbpcp(1,2,7)i ，其中 (1)aP X ， (0)bP X ， (1)cP X 假设0.5， 0.8 （i ）证明： 1 (0,1,2,7) ii ppi为等比数列；（ii ）求 4 p，并根据 4 p的值解释这种实验方案的合理性答

35、案：（1）略；（2）略解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况： 1、1、0 得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则 (1)(1)P X ；得 1分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则 (1)(1)P X；得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X 则X的分布列为：（2）（i ）因为0.5， 0.8，则 (1)0.4aP X ， (0)0.5bP X ， (1)0.1cP X 可得 11 0.40.50.1 iiii pppp，则 11 0.50.40.1 iii ppp，则 11 0.4()0.1() iiii pppp，则 1

36、1 4 ii ii pp pp ，所以 1 (0,1,2,7) ii ppi 为等比数列（ii ） 1 (0,1,2,7) ii ppi的首项为 101 ppp，那么可得： 7 871 4ppp， 6 761 4ppp ， 211 4ppp，以上 7 个式子相加，得到 76 811 (444)ppp ，则 88 67 8111 1441 (1444 ) 143 pppp ，则 18 3 41 p ，再把后面三个式子相加，得 23 411 (444 )ppp ，则 44 23 41184 4141311 (1444 ) 334141257 ppp 4 p表示 “甲药治愈的白鼠比乙药治

37、愈的白鼠多4 只，且甲药的累计得分为4” ，因为0.5，0.8，，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4 只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而 4 1 257 p的确非常小，说明这种实验方案是合理的（二）选考题：共10 分，请在22、23 题中选一题作答 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 2 2 2 1 1 () 4 1 t x t t t y t 为参数 . 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3sin110. （1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到 l距离的最小值 . 答案：略

38、解答： (1) 曲线C: 由题意得 2 22 12 1 11 t x tt 即 2 2 1 1 x t ，则 2(1) y t x ，然后代入即可得到 2 2 1 4 y x 而直线l：将cos ,sinxy代入即可得到23110xy （2）将曲线C化成参数方程形式为则 4sin()11 2cos2 3sin11 6 77 d 所以当 3 62 时，最小值为 7 23.已知, ,a b c为正数，且满足 1abc ，证明：（1） 222111 abc abc （2） 333 ()()()24abbcca 答案：见解析：解答：（1） 1abc ， 111 bcacab abc . 由基本不等式可得： 222222 , 222 bcacab bcacab，于是得到 222222 222 111 222 bcacab abc abc . （2）由基本不等式得到： 3 3 2 2()8()abababab ， 3 3 2 2()8()bcbcbcbc ， 3 3 2 2()8()caaccaac . 于是得到 333 333 222 ()()()8()()() abbccaabbcac 333 3 222 8 3 () () ()24abbcca

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