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1、第 1 页 共 8 页 2019届理科数学 高考中的概率与统计问题 一、选择题 (每小题 5 分,共 15 分) 1.某市园林绿化局在名贵树木培埴基地种了一批红豆杉树苗,为了解这批红豆杉树苗的生长 状况 ,随机抽取了15 株进行检测 ,这 15 株红豆杉树苗的高度(单位 :cm)的茎叶图如图6-1 所示 , 利用样本估计总体的思想,求培埴基地种植的这批红豆杉树苗的高度在(140,145)内的概率为 () 图 6-1 A.0.3 B.0.4 C.0.2 D.0.1 2. 如图 6-2,正方形 BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a 和 a,连接 CE 和 CG,现将一把芝 麻随机地撒在该图
2、形中,则芝麻落在阴影部分的概率是() 图 6-2 A.B.C.D. 3.日常生活中 ,常听到一些谚语、俗语,比如 “ 三个臭皮匠 ,顶个诸葛亮 ”,这句话有没有道理呢? 我们假设三个臭皮匠中的老大、老二、老三能独立解出同一道问题的概率依次是0.6,0.5,0.4, 而诸葛亮能独立解出同一道问题的概率是0.9,则三个臭皮匠与诸葛亮解出同一道问题的概 率较大的是() A.三个臭皮匠B.诸葛亮C.一样大D.无法确定 二、填空题 (每小题 5 分,共 10 分) 4.已知函数f(x)=log2x+ 2log4x,其中 x(0,4,若在 ,4上随机取一个数x0,则 f(x0) 0 的概率 为. 5. 第
3、十三届全运会于2017 年 8 月 27 日在天津举行 ,在自由体操比赛中,5 位评委给甲、乙两 位体操运动员打分(满分为 30 分)的茎叶图如图6-3 所示 ,则甲、乙两位体操运动员中,得分的 方差较大的是.(填甲或乙 ) 图 6-3 第 2 页 共 8 页 三、解答题 (共 36 分) 6.(12 分)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关.为了确定某一个时段鸡舍的控制温度,某企业需 要了解鸡舍的时段控制温度x(单位 :)对某种鸡的时段产蛋量y(单位 :t)和时段投入成本z(单 位:万元 )的影响 .为此 ,该企业选取了7 个鸡舍的时段控制温度xi和产蛋量 yi(i= 1,2, ,7) 的数据 ,
4、 对数据初步处理后得到了如图6-4 所示的散点图及一些统计量的值. 其中 ki=ln yi, = ki. 图 6-4 (xi- ) 2 (ki- ) 2 (xi- )(yi- ) (xi- )(ki- ) 17.40 82.30 3.60 140.00 9.70 2 935.10 35.00 (1)根据散点图判断,y=bx+a 与 y=c1(e 为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段 产蛋量 y 关于鸡舍的时段控制温度x 的回归方程类型?(给出判断即可 ,不必说明理由) (2)根据 (1)的判断及表中的数据,建立 y 关于 x 的回归方程 ; (3)已知时段投入成本z 与 x,y 的关系
5、为z=e -2.5 y-0.1x+10,当鸡舍的时段控制温度为28 时 ,鸡 的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少? 附:对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2), ,( un,vn),其回归直线 v= u+ 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为 = (- )(- ) (- ) , =-. 参考数据 : e -2.5 e -0.75 e e 3 e 7 0.08 0.47 2.72 20.09 1 096.63 第 3 页 共 8 页 7.(12 分)继微信支付对提现收费后,支付宝也开始对提现收费,目前 ,随着这两大用户使用粘度 最高的第三方支付开始收费,业内人士分析,部
6、分对价格敏感的用户或将回流至传统银行体系. 某调查机构对此进行调查,并从参与调查的数万名支付宝用户中随机选取200 人 ,把这 200 人 分为 3 类:认为使用支付宝方便,仍使用支付宝提现的用户称为“ A 类用户 ”; 根据提现的多少确 定是否使用支付宝的用户称为“ B 类用户 ”; 提前将支付宝账户内的资金全部提现,以后转账全 部通过银行的用户称为“ C 类用户 ”,各类用户的人数如图6-5 所示 ,同时把这 200 人按年龄分 为青年人组与中老年人组,制成如下所示的2 2 列联表 . 图 6-5 A 类用户非 A 类用户合计 青年20 中老年40 合计200 (1)完成 2 2 列联表
7、,并判断是否有99.9%的把握认为 “ A 类用户与年龄有关”; (2)从这 200 人中按 A 类用户、 B类用户、 C 类用户进行分层抽样,从中抽取10 人,再从这 10 人中随机抽取4 人 ,求在这 4 人中 A 类用户、 B 类用户、 C 类用户均存在的概率; (3)把频率作为概率,从支付宝所有用户(人数很多 )中随机抽取3人 ,用 X 表示所选3 人中 A 类 用户的人数 ,求 X 的分布列与数学期望. 附: P(K 2 k 0) 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k02.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式
8、 :K 2=(-) ()()()(),其中 n=a+b+c+d. 第 4 页 共 8 页 8.(12 分)某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客,推出优惠活动 ,即对首次消费的顾客按60 元收费 ,并注 册成为会员 ,对会员消费的不同次数给予相应的优惠,标准如下 : 消费次数第 1 次第 2 次第 3 次不少于 4 次 收费比例1 0.95 0.90 0.85 该游泳馆从注册的会员中,随机抽取了100 位会员统计他们的消费次数,得到数据如下: 消费次数1 次2 次3 次不少于 4 次 频数 60 25 10 5 假设每位顾客游泳1 次,游泳馆的成本为30 元.根据所给数据 ,回答下列问题: (1)估计该游
9、泳馆1 位会员至少消费2 次的概率 ; (2)某会员消费4 次,求这 4次消费中 ,游泳馆获得的平均利润; (3)假设每个会员每星期最多消费4 次,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,从该游泳 馆的会员中随机抽取2 位,记游泳馆从这2 位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为 X,求 X 的分布列和数学期望E(X). 答案 第 5 页 共 8 页 1.C由茎叶图知 ,红豆杉树苗的高度在(140,145)内的有 141,143,144,所以所求概率为=0.2, 故选 C. 2.A设图中阴影部分的面积是S,则 S=S 正方形 ABFG+SBCE-SAGC,S 正方形 ABFG=a 2 ,SB
10、CE= 2a 2a=2a 2,S AGC= (a+ 2a) a=a 2,S= a2,又整体区域的面积为 5a 2,芝麻落在阴影部分 的概率是 =,故选 A. 3.B解法一因为三个臭皮匠(至少有一个 )解出这道问题,包含的情况有 :恰好有一个能解 出问题、恰好有两个能解出问题、三个都能解出问题,所以所求概率为 0.6 (1-0.5) (1-0.4)+(1-0.6) 0.5 (1-0.4)+(1-0.6) (1-0.5) 0.4+0.6 0.5 (1-0.4)+ 0.6 (1-0.5) 0 .4+ (1-0.6) 0.5 0.4+0.6 0.5 0.4= 0.8810.828. 所以有 99.9%
11、的把握认为 “ A 类用户与年龄有关” .(4 分) (2)从这 200 人中按 A 类用户、 B类用户、 C 类用户进行分层抽样,从中抽取10 人,则 A 类用 户 6 人、 B 类用户 3 人、 C 类用户 1 人 .(5 分) 设 A 类用户、 B 类用户、 C 类用户均存在的事件为事件D,则 P(D)= =, 所以在这4 人中 A 类用户、 B 类用户、 C 类用户均存在的概率为 .(7 分) (3)把频率作为概率,从支付宝所有用户(人数很多 )中抽取 3 人,可近似看作3次独立重复试验, 所以 X 的所有可能取值为0,1,2,3,且 XB(3, ). P(X= 0)= (1- ) 3
12、= , P(X= 1)= (1- ) 2= , P(X= 2)= ( ) 2 (1- )= , P(X= 3)= ( ) 3= .(10 分) 所以 X 的分布列为 X0 1 2 3 P 数学期望 E(X)= 0 +1+ 2+ 3= , 即 X 的数学期望为 .(12 分) 第 7 页 共 8 页 8.(1)25+10+5=40, 即随机抽取的100 位会员中 ,至少消费2 次的会员有40 位, (2 分) 所以估计该游泳馆1 位会员至少消费2 次的概率 P= = .(3 分) (2)第 1 次消费时 ,60-30= 30(元),所以游泳馆获得的利润为30 元, 第 2 次消费时 ,60 0.
13、95-30= 27(元),所以游泳馆获得的利润为27 元 , 第 3 次消费时 ,60 0.90-30= 24(元),所以游泳馆获得的利润为24 元 , 第 4 次消费时 ,60 0.85-30= 21(元),所以游泳馆获得的利润为21 元 , 因为 =25.5(元), 所以这 4 次消费中 ,游泳馆获得的平均利润为25.5 元.(6 分) (3)若会员消费1 次,P1= , 则平均利润为30 元,其概率为 ; 若会员消费2 次, =(元),P2= , 则平均利润为元,其概率为 ; 若会员消费3 次, =27(元),P3=, 则平均利润为27 元,其概率为 ; 若会员消费4 次, =(元),P4=, 则平均利润为元,其概率为 .(8 分) 由题意知 ,X 的所有可能取值为0,3, , 且 P(X=0)= + + + =, P(X= )=2 ( + + )=, P(X= 3)= 2 ( + )=, P(X= )=2 =, 所以 X 的分布列为 X0 3 P (10 分) 第 8 页 共 8 页 数学期望 E(X)= 0 + +3+ =, 即 X 的数学期望E(X)为 元.