《2019年天津卷理数高考试题(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年天津卷理数高考试题(含答案).pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第卷1 至 2 页，第卷3-5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其 他答案标号。 2.本卷共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A、
2、B互斥，那么()( )()P ABP AP B . 如果事件A、B相互独立，那么()() ()P ABP A P B. 圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. 棱锥的体积公式 1 3 VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 1,1,2,3,5,2,3,4,|13ABCxxR,，则()ACB A.2B.2,3C.1,2,3D.1,2,3,4 2.设变量, x y满足约束条件 20, 20, 1, 1, xy xy x y 则目标函数4zxy的最大值为 A.2 B.3 C.5 D.6
3、 3.设xR，则“ 2 50xx”是“ |1|1x”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A.5 B.8 C.24 D.29 5.已知抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l，若l与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线分别 交于点A和点B，且|4|ABOF（O为原点），则双曲线的离心率为 A.2B.3C.2D.5 6.已知 5 log 2a， 0.5 og2.l0b， 0.2 0.5c，则, ,a b c的大小关系为 A.acbB.abcC.bcaD.cab 7.已
4、知函数( )sin()(0,0,|)f xAxA是奇函数， 将yfx的图像上所有点的横坐标伸 长到原来的2 倍 （纵坐标不变） ， 所得图像对应的函数为g x.若g x的最小正周期为2， 且2 4 g ， 则 3 8 f A.2B.2C.2D.2 8.已知aR，设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1, xaxax f x xaxx , 若关于x的不等式( )0f x 在R上恒成立，则a的取 值范围为 A.0,1B.0,2C.0,eD.1,e 第卷 注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共 12 小题，共110 分。 二.填空题：本大题共6 小题，每小题5 分
5、，共 30 分. 9.i是虚数单位，则 5 1 i i 的值为. 10. 8 3 1 2 8 x x 是展开式中的常数项为. 11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为. 12.设aR，直线20axy和圆 22cos , 12sin x y （为参数）相切，则a的值为. 13.设0,0,25xyxy，则 (1)(21)xy xy 的最小值为. 14.在四边形ABCD中，,2 3,5,30ADBCABADA，点E在线段CB的延长线上， 且 AEBE，则BDAE. 三.解答题：本大题
6、共6 小题，共80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13 分） 在ABC中，内角,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2bca，3 sin4 sincBaC. （）求 cosB的值； （）求sin2 6 B 的值 . 16.（本小题满分13 分） 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为 2 3 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影 响，且任一同学每天到校情况相互独立. （）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数， 求随机变量 X 的分布列和数学期望； （）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比
7、乙同学在7：30 之前到校 的天数恰好多2” ，求事件 M 发生的概率 . 17.（本小题满分13 分） 如图，AE平面ABCD，,CFAEADBC，,1,2ADABABADAEBC. （）求证： BF 平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段CF的长 . 18.（本小题满分13 分） 设椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为 5 5 . （）求椭圆的方程； （）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负 半轴上 .若| |O
8、NOF（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率 . 19.（本小题满分14 分） 设 n a是等差数列， n b是等比数列 .已知 112233 4,622,24abbaba，. （）求 n a和 n b的通项公式； （）设数列 n c满足 1 1 1,22 ,2 , 1, , kk n k k c n c b n 其中 * kN. （i）求数列 22 1nnac的通项公式； （ii）求 2 * 1 n ii i a cnN. 20.（本小题满分14 分） 设函数( )e cos ,( ) x f xxg x为fx的导函数 . （）求fx的单调区间； （）当, 42 x 时，证明( )( )
9、0 2 f xg xx ； （ ） 设 n x为 函 数()( )1u xfx在 区 间2, 2 42 mm 内 的 零 点 ， 其 中n N ， 证 明 2 00 2 2sincos n n nx x e x . 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）参考解答 一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5分，满分40 分. 1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C 二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5分，满分30 分. 9.1310.2811. 4 12. 3 4 13.4 314.1 三.解答题 15.本小题主要考查同角
10、三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦 定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13 分. （）解：在ABC中，由正弦定理 sinsin bc BC ，得sinsinbCcB，又由3 sin4 sincBaC， 得3 sin4 sinbCaC，即34ba.又因为2bca，得到 4 3 ba， 2 3 ca.由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B aa . （ ） 解 ： 由 （ ） 可 得 2 15 sin1cos 4 BB， 从 而 15 sin 22sincos 8 BBB， 227 cos2co
11、ssin 8 BBB，故 153713 57 sin 2sin2coscos2sin 666828216 BBB ， 16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等 基础知识 .考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分. （）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30 之前到校的概率均为 2 3 ， 故 2 3, 3 XB，从而 3 3 21 (),0,1,2,3 33 kk k P XkCk. 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 27 2 9 4 9 8 27 随机变量X的数学期望 2 ()3
12、2 3 E X. （ ） 解 ： 设 乙 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中7： 30 之 前 到 校 的 天 数 为Y， 则 2 3,3YB， 且 3,12,0MXYXY.由题意知事件3,1XY与2,0XY互 斥，且事件 3X与1Y，事件2X与0Y均相互独立，从而由（）知 ()(3,1 2,0)(3,1)(2,0)P MPXYXYP XYP XY 82412 0 (3 )(1 )(2 )(0 ) 2 7992 72 4 3 PXP YPXP Y. 17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立 体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能
13、力和推理论证能力.满分 13 分. 依题意，可以建立以A为原点，分别以ABADAE，的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐 标系（如图） ，可得(0,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,0)ABCD，(0,0,2)E.设(0)CFhh， 则1,2,Fh. （）证明：依题意，(1,0,0)AB是平面 ADE的法向量，又(0, 2, )BFh ，可得0BFAB， 又因为直线 BF 平面ADE，所以 BF 平面ADE. （）解：依题意，( 1,1,0),( 1,0, 2),( 1, 2,2)BDBECE. 设( , , )nx y z为平面 BDE的法向量，则 0, 0, n B
14、D n BE 即 0, 20, xy xz 不妨令 1z ， 可得(2,2,1)n.因此有 4 cos, 9| CE n CE n CEn . 所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 . （）解：设( , , )mx y z为平面BDF的法向量，则 0, 0, m BD m BF 即 0, 20, xy yhz 不妨令1y，可得 2 1,1,m h . 由题意，有 2 2 4 |1 cos, |3 4 3 2 m nh m n m n h ，解得 8 7 h.经检验，符合题意. 所以，线段CF的长为 8 7 . 18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查
15、用代数方法研究圆锥曲面 的性质 .考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分 13 分. （）解：设椭圆的半焦距为c， 依题意， 5 24, 5 c b a ， 又 222 abc， 可得5a，2,b1c. 所以，椭圆的方程为 22 1 54 xy . （）解：由题意，设0 ,0 PPpM P xyxMx，.设直线PB的斜率为0k k，又0,2B， 则直线PB的方程为2ykx，与椭圆方程联立 22 2, 1, 54 ykx xy 整理得 22 45200kxkx，可得 2 20 45 P k x k ，代入2ykx得 2 2 8 10 45 P k y k ，进而直线 OP的斜率 2
16、 45 10 P p yk xk .在2ykx 中，令0y，得 2 M x k .由题意得0, 1N，所以直线MN的斜率为 2 k .由OPMN，得 2 45 1 102 kk k ，化简得 2 24 5 k，从而 2 30 5 k. 所以，直线 PB的斜率为 2 30 5 或 2 30 5 . 19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想 和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分 14 分. （）解：设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q.依题意得 2 662 , 6124 , qd qd 解得 3, 2, d q 故 1
17、 4(1) 331,6232 nn nn annb . 所以， n a的通项公式为31, nn anb的通项公式为32 n n b. （） （ i）解： 222 113 21 3 219 41 nnx nnn n acab. 所以，数列 22 1 nnac的通项公式为 22 19 41 nn n ac. （ii）解： 222 2 1111 2 11 nnn ii n iiiiii iiii a caacaac 1 221 243941 2 nn n ni i 212 4 14 325 29 1 4 n nn n 211* 2725212 nn nnN. 20.本小题主要考查导数的运算、不等式证
18、明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思 想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分 14 分. （）解：由已知，有( )(cossin ) x fxexx.因此，当 5 2,2 44 xkk()kZ时，有 sincosxx， 得0fx， 则fx单 调 递 减 ； 当 3 2,2 44 xkk()kZ时 ， 有 sincosxx，得0fx，则fx单调递增 . 所 以 ，fx的 单 调 递 增 区 间 为 3 2,2(),( ) 44 kkkf xZ的 单 调 递 减 区 间 为 5 2,2() 44 kkkZ. （）证明：记( )( )( ) 2 h
19、 xf xg xx.依题意及（），有( )(cossin) x g xexx，从而 ( )2sin x gxex.当, 42 x 时，0gx，故 ( )( )( )( )( 1)( )0 22 h xfxgxxg xgxx. 因此，h x在区间, 42 上单调递减，进而( )0 22 h xhf. 所以，当, 42 x 时，( )( )0 2 f xg xx . （）证明：依题意，10 nn u xfx，即cos1 n x n ex.记2 nn yxn，则, 42 n y ， 且 22 e cosecos2e nn yxnn nnn nNfyyxn. 由 2 0 1 n n fyefy,及（） ，得 0n yy.由 （）知，当, 4 2 x 时，0gx， 所以g x 在, 42 上为减函数， 因此 0 0 4 n g yg yg,.又由 （）知，0 2 nnn fygyy， 故 0 2222 0000 2sincossincos nnnn n ny nn eeee fy y g yg yg yyxxey 剟. 所以， 2 00 2 2sincos n n nx x e x .