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1、有理数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】 1 理解正负数的意义，掌握有理数的概念. 2理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的混合运算. 3学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识. 4. 理解科学记数法及近似数的相关概念并能灵活应用. 5. 体会数学知识中体现的一些数学思想. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数的相关概念 1有理数的分类： （ 1）按定义分类：（2）按性质分类： 要点诠释： （1）用正数、负数表示相反意义的量； （ 2）有理数“ 0”的作用： 作用举例 表示数的性质0 是自然数、是有理数 表示没有3 个苹果用 +3 表示，没有苹果用0
2、 表示 表示某种状态 0 0 C表示冰点 表示正数与负数的界点0 非正非负，是一个中性数 2数轴： 规定了原点、正方向和单位长度的直线 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如 （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大 3相反数： 只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是0 要点诠释： （1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点 是关于原点对称的 （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可 （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若 有奇数个时
3、，化简结果为负 4绝对值： （ 1) 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 数 a 的绝对值记作a （ 2) 几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离 要点二、有理数的运算 1 法则： （1）加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加绝对值不相等的异号两 数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值一个数同0 相加，仍得这个数 （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数即a-b=a+(-b) （3）乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数同0 相乘，都 得 0 （4）
4、除法法则：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数即ab=a 1 b (b 0) （5）乘方运算的符号法则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂 都是正数， 0 的任何非零次幂都是0 (6) 有理数的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 要点诠释： “奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“”号的个数，例如： （ 3） = 3， + （ 3）=3 （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积 的符号，例如： （ 3）（ 2）（
5、 6）=36，而（ 3）（ 2） 6=36 （3）有理数乘方，这里奇偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为 (0) |0(0) (0) aa aa aa 偶数，则幂为正，例如： 2 ( 3)9， 3 ( 3)27 2运算律： （1）交换律 : 加法交换律 :a+b=b+a ； 乘法交换律 :ab=ba ； （2）结合律 : 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)；乘法结合律： （ab）c=a(bc) （3）分配律： a(b+c)=ab+ac 要点三、有理数的大小比较 比较大小常用的方法有： （1）数轴比较法；（2）法则比较法： 正数大于0，0 大于负数， 正数大于负数
6、；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法 （4）作商比较法； （5) 倒 数比较法 要点四、科学记数法、近似数及精确度 1. 科学记数法： 把一个大于10 的数表示成10 n a的形式（其中110a，n是正整数），此种 记法叫做科学记数法例如：200 000= 5 2 10 2. 近似数： 接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值. 如长江的长约为 6300 ，这里的6300 就是近似数 . 要点诠释： 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入. 3. 精确度： 一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这 个近似
7、数的精确度. 要点诠释： （ 1）精确度是指近似数与准确数的接近程度. （ 2）精确度有两种形式：精确到哪一位保留几个有效数字这两种的形式的意义不一样， 一般来说精确到哪一位可以表示误差绝对值的大小，例如精确到0.1米，说明结果与实际数相差 不超过0.05米，而有效数字往往用来比较几个近似数哪个更精确些. 【典型例题】 类型一、有理数相关概念 1若一个有理数的：( 1) 相反数； （2）倒数； (3) 绝对值； ( 4) 平方；( 5) 立方，等于它本身 则 这个数分别为( 1) _；( 2) _；( 3) _； ( 4)_； （ 5）_ 【答案】（1）0；( 2) 1 和- 1；( 3) 正
8、数和 0；( 4)1 和 0；( 5)- 1、0 和 1 【解析】 根据定义，把符合条件的有理数写全. 【总结升华】 要全面正确地理解倒数，绝对值，相反数等概念. 举一反三： 【 高清课堂：有理数专题复习 357133 概念的理解与应用】 【变式】 (1) 3 2 1的倒数是； 3 2 1的相反数是； 3 2 1的绝对值是. -（-8）的相反数是； 2 1 的相反数的倒数是_. (2) 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正， 则 -5.8 元的意义是 _ ； 如果这种油的原价是76 元，那么现在的卖价是 . (3) 上海浦东磁悬浮铁路全长30km ，单程运行时间约为8min,
9、 那么磁悬浮列车的平均速度用科学 记数法表示约为 mmin. (4) 若 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数，则)( 3 2 3bacd_ . (5) 近似数0.4062精确到位，近似数5.47 10 5 精确到位，近似数3.5 万精确到 位，3.4030 10 5 精确到千位是. 【答案】（ 1） 3 5 ； 2 1 3 ； 2 1 3 ； -8 ；2 （2）降价 5.8 元， 70.2 元； （3） 3 3.75 10 ； （4） 3； （ 5）万分；千；千；3.40 10 5 2如果 ( x- 2) 2+| y- 3| 0，那么 ( 2x- y)2005 的值为 () A 1 B-
10、1 C2 2006 D3 2005 【思路点拨】利用非负数的性质，求出y,x的值再代入计算 【答案】 A 【解析】因为 ( x- 2) 2，| y- 3| 都是非负数， 且( x- 2)2+| y- 3| 0， 所以由非负数的性质先求出 x=2， y =3 的值，代入得： ( 2x- y) 2005=12005=1 【总结升华】偶次方与绝对值都具有非负性 3在下列两数之间填上适当的不等号： 2005 2006 _ 2006 2007 【思路点拨】根据“ a-b 0，a-b 0，a-b 0 分别得到 ab，a b，ab”来比较两数的大小 【答案】 【解析】 法一：作差法 由于 200520062
11、0052007200620061 0 200620072006200720062007 ，所以 20052006 20062007 法二：倒数比较法：因为 2006112007 11 2005200520062006 所以 20052006 20062007 【总结升华】比较大小常用的有五种方法，要根据数的特征选择使用 举一反三： 【变式】比较大小：( 1) 1 99 _0. 001；( 2) 2 3 _- 0. 68 【答案】（ 1）（2） 类型二、有理数的运算 4 （1） （ 12） 5+（ 14）（ 39） （ 2） 32 （ 3） 2+3 （ 2）+|4| （ 3） 152 60 61
12、215 （ 4） 541 0.75 12 52 （ 5） 2 3 111131 21121324 42434( 0.2) 【答案与解析】 解： （1） （ 12） 5+（ 14）（ 39） =12514+39 =31+39 =8 （ 2） 32 （ 3） 2+3 （ 2）+|4| =9 96+4 =16+4 =3 （ 3） 152 60 61215 =606060 =10 258 =23 （ 4） 5 41 0.75 12 52 =（） （） 32 =232 =30 =24 （ 5） 2 3 111131 21121324 42434( 0.2) 3 12457551 24 165434 1
13、5 145755 242424125 40434 1 27056330125 40 1 121 40 39 120 40 【总结升华】有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加减，有括号先算 括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各种运算法则计算，有时可以利用运算 律来简化运算 举一反三： 【变式】计算： （1） 11 ( 2)( 2) 22 （2） 2006 4 261031 【答案】 解： （1） 111 ( 2)( 2)( 1)( 2)( 1)2( 2)4 222 （ 2） 2006 4 261031 =-16+4-31 =-15 类型三、数学思想在本章中的应
14、用 5 （1）数形结合思想：有理数a 在数轴上对应的点如图所示，则a，-a，1 的大小关系 A - aa1 B1- aa C1- aa Da1- a （2）分类讨论思想：已知| x| 5，| y| 3求 x- y 的值 （3）转化思想：计算： 31 35() 147 【答案与解析】 解： （1）将 - a在数轴上标出，如图所示，得到a1- a，所以大小关系为：a1- a 所以正确选项为：D （ 2）因为 | x| 5，所以 x 为- 5 或 5 因为 | y| 3，所以 y 为 3 或- 3 当 x5， y3 时， x- y5- 32 当 x5， y- 3 时， x- y5-(- 3) 8 当
15、 x- 5，y3 时， x- y- 5- 3- 8 当 x- 5，y- 3 时， x- y- 5-(- 3) - 2 故（ x- y）的值为 2 或 8 （ 3）原式 = 331 35( 7)3577246 14142 【总结升华】 在解题中合理利用数学思想，是解决问题的有效手段数形结合“以形助数” 或“以数解形”使问题简单化，具体化；分类讨论中注意分类的两条原则：分类标准要统一， 而且分类要做到不重不漏；转化思想就是把 “新知识” 转化为 “旧知识”，将“未知” 转化为 “已 知” 举一反三： 【变式】若a 是有理数， | a|- a 能不能是负数 ?为什么 ? 【答案】 解：当 a0 时，
16、 | a|- aa- a0； 当 a0 时， | a|- a 0- 0 0； 当 a0 时， | a|- a - a- a- 2a0 所以，对于任何有理数a，| a|- a 都不会是负数 类型四、规律探索 6将 1， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， 1 5 ， 1 6 ，按一定规律排列如下： 请你写出第20 行从左至右第10 个数是 _ 【思路点拨】通过观察题目所给的图形、表格或一段语言叙述，然后归纳总结，寻找规律 【答案】 1 200 【解析】认真观察可知，第1 行有 1 个数，第2 行有 2 个数，第3 行有 3 个数，所以第 20 行有 20 个数，从第 1行到第 20 行共有 1+2+3+ +20210 个数，所以第 20 行最后一个数的绝 对值应是 1 210 ；又由表中可知，凡是分母是偶数的分数是负数，故第20 行最后一个数是 1 210 ， 以此类推向前10 个，则得到第20 行第 10 个数是 1 200 【总结升华】 特例助思，探究规律，这类题主要是通过观察分析，从特殊到一般来总结发现规律， 并将规律表示出来