不等式高级水平必备.pdf

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1、第 1 页 不等式高级水平必备 目录 Ch1. 伯努利不等式 Ch2. 均值不等式 Ch3. 幂均不等式 Ch4. 柯西不等式 Ch5. 切比雪夫不等式 Ch6. 排序不等式 Ch7. 琴生不等式 Ch8. 波波维奇亚不等式 Ch9. 加权不等式 Ch10. 赫尔德不等式 Ch11. 闵可夫斯基不等式 Ch12. 牛顿不等式 Ch13. 麦克劳林不等式 Ch14. 定义多项式 Ch15. 舒尔不等式 Ch16. 定义序列 Ch17. 缪尔海德不等式 Ch18. 卡拉玛塔不等式 Ch19. 单调函数不等式 Ch20. 3个对称变量pqr法 Ch21. 3个对称变量 uvw法 Ch22. ABC法

2、 Ch23. SOS法 Ch24. SMV法 Ch25. 拉格朗日乘数法 Ch26. 三角不等式 Ch27. 习题与习题解析 第 2 页 Ch1. 伯努利不等式 1.1 若实数 i x （i1 2n,.,）各项符号相同，且 i x1，则： 12n12n 1x1x1x1xxx()().().1( ) 1( )式为伯努利不等式 . 当 12n xxxx.时，1( )式变为： n 1x1nx()2( ) Ch2. 均值不等式 2.1 若 12n a aa,.,为正实数，记： 222 12n n aaa Q n . ，为平方平均数，简称平方均值； 12n n aaa A n . ，为算术平均数，简称算

3、术均值； n n12n Ga aa.，为几何平均数，简称几何均值； n 12n n H 111 aaa . ，为调和平均数，简称调和均值. 则： nnnn QAGH3( ) iff 12n aaa.时，等号成立 . （注：iffifandonlyif当且仅当 . ） 3( )式称为均值不等式 . Ch3.幂均不等式 3.1 设 12n aaaa(,.,)为正实数序列，实数r0，则记： 1 rrr r 12n r aaa Ma n . ( ) 4( ) 4( )式的 r Ma( )称为幂平均函数 . 3.2 若 12n aaaa(,.,)为正实数序列，且实数r0，则： rs MaMa( )( )

4、5( ) 当rs时，5( )式对任何 r 都成立，即 r Ma( )关于 r 是单调递增函数 . 5( )式称为幂平均不等式，简称幂均不等式. 3.3 设 12n mm mm(,.,)为非负实数序列，且 12n mmm1.，若 12n aa aa(,.,) 为 正实数序列，且实数r0，则： 第 3 页 1 mrrr r r1122nn Mam am am a( )(.)6( ) 6( )式称为加权幂平均函数 . 3.4 若 12n aaaa(,.,)为正实数序列，且实数r0，对 m r Ma( ) 则： mm rs MaMa( )( ) 即： 11 rrrsss sr 1122nn1122nn

5、 m am am am am am a(.)(.)7( ) 当r s时，7( )式对任何 r 都成立，即 m r Ma( ) 关于 r 是单调递增函数 . 7( )式称为加权幂平均不等式，简称加权幂均不等式. Ch4. 柯西不等式 4.1 若 12n a aa,.,和 12n b bb,.,均为实数，则： 2222222 12n12n1122nn aaabbba ba ba b(.)(.)(.)8( ) iff n12 12n aaa bbb .时，等号成立 . （注：iffifandonlyif当且仅当 . ） 8( )式为柯西不等式 . 4.2 柯西不等式还可以表示为： 222222 21

6、2n12n1122nn aaabbba ba ba b nnn . ()()()9( ) 简称： “平方均值两乘积，大于积均值平方” 我们将 1122nn a ba ba b n . 简称为积均值，记： 1122nn n a ba ba b D n . . 则： 224 nnn QaQbDab( ) ( )() ，即： nnn Qa QbDab( )( )()10() 4.3 推论 1：若a b c x y z, , , ,为实数，x y z0, ,，则： 2222 n12n12 12n12n aaaaaa bbbbbb (.) . . 11() iff n12 12n aaa bbb .时，

7、等号成立 . 11()式是柯西不等式的推论，称权方和不等式. 4.4 推论 2：若 12n a aa,.,和 12n b bb,.,均为实数，则： .(.)(.) 22222222 1122nn12n12n abababaaabbb12() iff n12 12n aaa bbb .时，等号成立 . 第 4 页 4.5 推论 3：若a b c x y z, , , ,为正实数，则： xyz bccaab3 abbcca yzzxxy ()()()() 13() Ch5. 切比雪夫不等式 5.1 若 12n aaa.； 12n bbb.，且均为实数 . 则： 12n12n1122nn aaabb

8、bn a ba ba b(.)(.)(.)14() iff 12n aaa.或 12n bbb.时，等号成立 . 12()式为切比雪夫不等式 . 由于有 12n aaa.， 12n bbb.条件，即序列同调， 所以使用时，常采用WLOG 12n aaa. ( 注：WLOGWithout Loss OfGenerality不失一般性 ) 5.2 切比雪夫不等式常常表示为： 12n12n1122nn aaabbba ba ba b nnn . ()()()15() 简称： “切比雪夫同调数，均值积小积均值”. 即：对切比雪夫不等式采用同单调性的两个序列表示时，两个序列数的均值之积不大 于两个序列数

9、各积之均值. 则： 2 nnn A a A bDab( )( )() 即： nnn A a A bDab( )( )()16() Ch6. 排序不等式 6.1 若 12n aaa.； 12n bbb.为实数，对于 12n a aa(,.,)的任何轮换 12n xxx(,.,) ， 都有下列不等式： 1122nn1122nnn1n 121n a ba ba bx bx bx ba baba b.17() 17()式称排序不等式（也称重排不等式）. 其中， 1122nn a ba ba b.称正序和， n1n 121n a baba b.称反序和， 1122nn x bx bx b.称乱序和 .

10、故17()式可记为： 正序和乱序和反序和18() 6.2 推论：若 12n a aa,.,为实数，设 12n xxx(,.,)为 12n aaa(,.,)的一个排序，则： 222 12n1122nn aaaa xa xa x19() Ch7. 琴生不等式 第 5 页 7.1 定义凸函数：对一切x ya b, , ，0 1( , )，若函数fa bR:, 是向下凸函数，则： fx1yf x1fy() )( )()()20() 20()式是向下凸函数的定义式. 注：fa bR:, 表示区间a b , 和函数fx()在a b , 区间都是实数 . 7.2 若fa bR: ( , )对任意xa b(

11、, )，存在二次导数fx0()，则f x( )在a b( , )区间为向 下凸函数；iffxa b( , )时，若fx0()，则f x( )在a b( , )区间为严格向下凸函数 . 7.3 若 12n fff,.,在a b( , )区间为向下凸函数， 则函数 1122nn c fc fc f.在在a b( , )区间对 任何 12n c cc0,.,( ,)也是向下凸函数 . 7.4 若fa bR: ( , )是一个在a b( , )区间的向下凸函数，设nN， 12n 0 1,.,( , ) 为实 数，且 12n 1.，则对任何 12n xxxa b,.,( , )，有： 1122nn112

12、2nn fxxxf xf xf x(.)()().()21() 21()式就是加权的琴生不等式. 简称： “对于向下凸函数，均值的函数值不大于函数的均值”. Ch8. 波波维奇亚不等式 8.1 若fa bR:, 是一个在a b , 区间的向下凸函数，则对一切x y za b, , ，有： xyzf xfyf z2xyyzzx ffff 333222 ()()( ) ()()()()22() 22()式就是波波维奇亚不等式. 8.2 波波维奇亚不等式可以写成： xyzf xf yf zxyyzzx ffff 33222 23 ( )( )( ) ()()()() 23() 简称： “对于向下凸函

13、数的三点情况，三点均值的函数与函数的均值之平均值，不小于 两点均值的函数值之平均值”. 8.3 若fa bR:, 是一个在a b , 区间的向下凸函数， 12n aaaa b,., , ，则： 12n12n f af af an n2 f an1f bf bf b()().()()( )()()().()24() 其中： 12n aaa a n . ， ij ij 1 ba n1 （对所有的i） 24()式是普遍的波波维奇亚不等式. 当 1 ax， 2 ay， 3 az，n3时， xyz a 3 ， 1 yz b 2 ， 2 zx b 2 ， 3 xy b 2 第 6 页 代入23()式得：

14、xyzyzzxxy fxfyf z3 f2 fff 3222 ()( )( )()()()() 即： xyzfxfyf z2xyyzzx ffff 333222 ()( )( ) ()()()()25() 25()式正是22()式. Ch9. 加权不等式 9.1 若 i a0( ,)， i 0 1 , （i1 2n, ,.,） ，且 12n 1.，则： n12 12n1122nn aaaaaa26() 26()式就是加权的均值不等式，简称加权不等式. 26()式形式直接理解为：几何均值不大于算术均值. Ch10. 赫尔德不等式 10.1 若实数a b0,，实数p q1,且 11 1 pq ，则

15、： pq ab ab pq 27() iff pq ab时，等号成立 . 27()式称为杨氏不等式 . 10.2 若 12n aaa,.和 12n b bb,.为正实数，p q1,且 11 1 pq ，则： 11 pppqqqpq 1122nn12n12n a ba ba baaabbb.(.) (.)28() 28()式称为赫尔德不等式 . iff ppp n12 qqq 12n aaa bbb .时，等号成立 . 10.3 赫尔德不等式还可以写成： 11 pppqqq pq1122nn12n12n a ba ba baaabbb nnn . () ()29() 即： 2 npq DabMa

16、 Mb()( )( )，即： pqn Ma MbDab( )( )()30() 简称： “幂均值的几何均值不小于积均值”. （注：赫尔德与切比雪夫的不同点：赫尔德要求是 11 1 pq ，切比雪夫要求是同调； 赫尔德的积均值小，切比雪夫的积均值大. ） 第 7 页 10.4 若 12n aaa,.、 12n b bb,.和 12n m mm,.为三个正实数序列，p q1,且 11 1 pq ，则： 11 nnn pq pq iiiiiii i1i 1i 1 a b mamb m 31() 31()式称为加权赫尔德不等式. iff ppp n12 qqq 12n aaa bbb .时，等号成立

17、. 10.5 若 ij a (i1 2m, ,.,;j1 2n, ,.,) ， 12n ,.,为正实数且. 12n 1，则： ()() jj mmnn ijij j1j 1i 1i1 aa 32() 32()式称为普遍的赫尔德不等式. 10.6 推论：若 123 a aaN,， 123 b b bN,， 123 c c cN,，则： 3333333333 123123123111222333 aaabbbccca bca b ca b c()()()()33() 简称： “立方和的乘积不小于乘积和的立方”. Ch11.闵可夫斯基不等式 11.1 若 12n a aa,.,； 12n b bb,

18、.,为正实数，且p1，则： 111 nnn pppppp iiii i1i1i1 abab() )()() 34() iff n12 12n aaa bbb .时，等号成立 . 34()式称为第一闵可夫斯基不等式. 11.2 若 12n a aa,.,； 12n b bb,.,为正实数，且p1，则： 1 1 nnn p ppppp iiii i1i1i1 abab()()() 35() iff n12 12n aaa bbb .时，等号成立 . 35()式称为第二闵可夫斯基不等式. 11.3 若 12n a aa,.,； 12n b bb,.,； 12n mmm,.,为三个正实数序列，且p1，

19、则： 111 nnn pppppp iiiiiii i1i1i 1 abma mb m()()() 36() 第 8 页 iff n12 12n aaa bbb .时，等号成立 . 36()式称为第三闵可夫斯基不等式 . Ch12.牛顿不等式 12.1 若 12n a aa,.,为任意实数，考虑多项式： nn 1 12n01n 1n P xxaxaxac xc xcxc( )()().().37() 的系数 01n c cc,.,作为 12n a aa,.,的函数可表达为： 0 c1； 112n caaa.； 21213n 1nij ca aa aaaa a.； （ijn） 3ijk ca a

20、 a ； （i jkn） n12n ca aa 对每个k1 2n, ,.,，我们定义 k kkk n cknk pc Cn !()! ! 38() 则37()式类似于二项式定理，系数为： k knk cC p . 12.2 若 12n a aa,.,为正实数，则对每个k1 2n1, ,.,有： 2 k1k1k ppp39() iff 12k aaa.时，等号成立 . 39()式称为牛顿不等式 . Ch13.麦克劳林不等式 13.1 若 12n a aa,.,为正实数，按38()定义，则： 111 kn2 12kn pppp40() iff 12k aaa.时，等号成立 . 40()称麦克劳林不

21、等式 . Ch14.定义多项式 14.1 若 12n xxx,.,为正实数序列，并设 12n ,.,为任意实数 . 记： n12 12n12n F xxxxxx(,.,).； 第 9 页 12n T,.,为 12n F xxx(,.,) 所有可能的积之和，遍及 12n ,.,的所有轮换 . 14.2 举例说明 T 1 0 0 , , ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!项. 第1个参数的指数是1， 第2和第3个参数的指数是0. 故： , , ()! ()() 100100100 T 1 0 031x y zy x zz y x2 xy z . T 1 1 , ：表示共有 2个参数的所有积

22、之和，共有22! 项. 第1个和第 2个参数的指 数是1. 故： , ()! () 11 T 1 121x y2xy . T 1 2 , ：表示共有 2个参数的所有积之和，共有22! 项. 第1个参数的指数是 1， 第2个参数的指数是2. 故： , ()! () 121222 T 1 221x yy xxyx y . T 1 2 1 , , ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!项. 第1个参数的指数是1， 第2个参数的指数是2，第3个参数的指数是1. 故： , , () 222 T 1 2 12 xy zx yzxyz. 即： , , , , T 1 2 1T 2 1 1 T 2 1 0

23、 , , ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!项. 第1个参数的指数是2， 第2个参数的指数是 1，第3个参数的指数是0. 故： 222222 T 2 1 0x yx zy xy zz xz y , , . T 3 0 0 , , ：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!项. 第1个参数的指数是3， 第2个和第 3个参数的指数是0. 故： 333 T 3 0 02 xyz , , (). , , T a b c：表示共有3个参数的所有积之和，共有36!项. 第1个参数的指数是 a ， 第2个参数的指数是 b，第3个参数的指数是 c. 故： , , abcacbbcabaccabcba

24、T a b cx y zx y zx y zx y zx y zx y z . 由于 , , , , , , , , , , .T a b cT b c aT c a bT c b aT b a c表达式比较多， 所以我们规定： , , T a b c（a bc）. Ch15.舒尔不等式 15.1 若R，且0，则： , , , T20 0T2T0()41 第 10 页 ()41式称为舒尔不等式 . 15.2 解析()41式 , , () 222 T20 02 xyz； ,()T2 x y zxy zxy z； , T0xyxyyzy zx zxz 将上式代入()41式得： 222 xyzx y

25、 zxy zx y z xyxyyzy zx zxz 即： 222 yxy zzxyxzx y z yxyyzxyxz0zx z 即：()() 22 xxy zxyx zyyx zxyy z () 2 zzx yy zx z0 即：()()()()()()xxyxzyyzyxzzxzy0 ()42 ()42式与()41式等价，称为舒尔不等式. 15.3 若实数,x y z0，设tR，则： ()()()()()() ttt xxy xzyyzyxzzx zy0()43 iffxyz或,xy z0及轮换，等号成立 . 按照()41式写法，即：t，1，则： , , , , , , T t2 0 0T

26、 t 1 12T t1 1 0()44 ()43式是我们最常见的舒尔不等式形式. 15.4 推论：设实数, ,x y z0，实数, ,a b c0且abc或abc，则： ()()()()()()a xyxzb yzyxc zxzy0()45 ()43式中， t xa， t yb， t zc，就得到()45式. 15.5 推论：设实数, ,x y z0，则： ()()() 333 333 222 3xyzxyz2xyyzzx()46 15.6 推论：若( , k0 3，则对于一切, ,a b cR ，有： 第 11 页 ()()() 2 222 k 3kk abcabc2 abbcca()47

27、Ch16. 定义序列 16.1 设存在两个序列 ()(,.,) n i i 112n 和 ()(,.,) n i i 112n ，当满足下列条件： 12n12n . 12n且 . 12n 12s12s 对一切 ,s1 n，式都成立 . 则： ()n i i 1就是 ( )n i i 1 的优化值，记作： ()() ii . 注：这里的序列只有定性的比较，没有定量的比较. Ch17.缪尔海德不等式 17.1 若,., 12n xxx 为非负实数序列，设() i 和 () i 为正实数序列，且 ()() ii ，则： ii TT()48 iff()() ii 或. 12n xxx 时，等号成立 .

28、 ()48式就缪尔海德不等式 . 17.2 解析()48式 若实数 123 aaa0 ，实数 123 bbb0 ，且满足 11 ab ， 1212 aabb ， 123123 aaabbb ；设,x y z0，则：满足序列 (,)(,) 123123 b bbaaa条件， 则：, 333333121221211221 bbbbbbbbbbbbbbbbbb 123 T b bbxy zxy zxy zxy zxy zxy z , 333333121221211221 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 123 T aaaxy zxyzxy zxy zxy zxy z 即()48式为：, 123123 T b bbT aaa 用通俗的方法表达即： 331212 abaabb symsym xy zxy z ()49 ()49式就缪尔海德不等式的常用形式. 17.3 例题：设( , )x y z为非负变量序列，考虑( , , )2 2 1和( , , )3 1 1. 由 16.1 中的序列优化得：( , , )( , , )2 2 13 1 1 由缪尔海德不等式()48式得： , , , , T 2 2 1T 3 1 1 , , () 222222 T 2 2 12 x y zx yzxy z , , () 333 T 3 1 12 x yzxy zxyz