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1、5.4.2 空间中的垂直与空间角,-2-,考向一,考向二,考向三,证明垂直关系求线面角 例1(2019浙江卷,19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1平面ABC,ABC=90,BAC=30,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点. (1)证明:EFBC; (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.,-3-,考向一,考向二,考向三,解 方法一: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面A1ACC1平面ABC=AC,所以A1E平面ABC,则A1EBC. 又因为A1FAB
2、,ABC=90,故BCA1F.所以BC平面A1EF. 因此EFBC.,-4-,考向一,考向二,考向三,(2)取BC的中点G,连接EG,GF,则四边形EGFA1是平行四边形.由于A1E平面ABC,故A1EEG,所以平行四边形EGFA1为矩形. 由(1)得BC平面EGFA1,则平面A1BC平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于点O,则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).,-5-,考向一,考向二,考向三,方法二: (1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1EAC. 又平面A1ACC1平面ABC,A1E平面A1ACC1,平面
3、A1ACC1平面ABC=AC,所以A1E平面ABC. 如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.,-6-,考向一,考向二,考向三,-7-,考向一,考向二,考向三,解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.,-8-,考向一,考向二,考向三,对点训练1 如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30,求PC与
4、平面PAM所成角的正弦值.,-9-,考向一,考向二,考向三,-10-,考向一,考向二,考向三,-11-,考向一,考向二,考向三,证明垂直关系求二面角 例2(2019山东济宁二模,理18)如图,在直角梯形ABED中,ABDE,ABBE,且AB=2DE=2BE,点C是AB的中点,现将ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置. (1)求证:平面PBC平面PEB; (2)若PE与平面PBC所成的角为45,求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值.,-12-,考向一,考向二,考向三,(1)证明 ABDE,AB=2DE,点C是AB的中点,CBED,CB=ED, 四边形BCDE为平行四边形, CDEB.
5、又EBAB,CDAB, CDPC,CDBC,CD平面PBC, EB平面PBC. 又EB平面PEB, 平面PBC平面PEB.,-13-,考向一,考向二,考向三,(2)解 由(1)知EB平面PBC, EPB即为PE与平面PBC所成的角,EPB=45, EB平面PBC,EBPB, PBE为等腰直角三角形, EB=PB=BC=PC,即PBC为等边三角形. 设BC的中点为O,连接PO,则POBC,EB平面PBC, 又EB平面EBCD, 平面EBCD平面PBC. 又PO平面PBC, PO平面EBCD. 以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标
6、系如图,-14-,考向一,考向二,考向三,-15-,考向一,考向二,考向三,解题心得用向量法求二面角,因为在求平面法向量的坐标时,坐标的取值不同,导致平面法向量的方向相反,所以两个法向量的夹角与二面角相等或互补,所以根据图形判断所求二面角是锐角还是钝角,进而确定二面角余弦值的正负.,-16-,考向一,考向二,考向三,(1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,-17-,考向一,考向二,考向三,(1)证明 由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM. 因为M为
7、上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM. 又BCCM=C, 所以DM平面BMC. 而DM平面AMD, 故平面AMD平面BMC.,-18-,考向一,考向二,考向三,-19-,考向一,考向二,考向三,折叠问题中的空间角 例3如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF. (1)证明:平面PEF平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,-20-,考向一,考向二,考向三,(1)证明 由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF.又BF平面ABFD,所以平面PEF平面ABFD.,-21-,考向一,考向
8、二,考向三,-22-,考向一,考向二,考向三,解题心得平面图形翻折后成为空间图形,翻折后还在同一个平面上的线线关系不发生变化,不在同一个平面上的可能发生变化.解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值.,-23-,考向一,考向二,考向三,对点训练3(2019全国卷3,理19)图是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图. (1)证明:图中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE; (2)求图中的二面角B-CG-A的大小.,-24-,考向一,考向二,考向三,(1)证明 由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE. 又因为AB平面ABC, 所以平面ABC平面BCGE. (2)解 作EHBC,垂足为H. 因为EH平面BCGE,平面BCGE平面ABC,所以EH平面ABC. 由已知,菱形BCGE的边长为2,EBC=60,可求得BH=1,EH= .,-25-,考向一,考向二,考向三,