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1、4.2 数列大题,-2-,-3-,-4-,1.由递推关系式求数列的通项公式 (1)形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项. (2)形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项. (3)形如an+1=pan+q,等式两边同时加 转化为等比数列求通项. 2.数列求和的常用方法 (1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式. (2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列. (3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法. (4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)
2、简单的数列,最后分别求和. (5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.,4.2.1 等差、等比数列的综合问题,-6-,考向一,考向二,考向三,考向四,等差(等比)数列的判断与证明 例1(2019全国卷2,理19)已知数列an和bn满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)证明:an+bn是等比数列,an-bn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式.,-7-,考向一,考向二,考向三,考向四,-8-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方
3、法. (2)通项公式法:若an=kn+b(nN*),则an为等差数列;若an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列. (3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若 =an-1an+1(nN*,n2),则an为等比数列. 2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,等差数列的通项及求和 例2(201
4、9全国卷1,文18)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S9=-a5. (1)若a3=4,求an的通项公式; (2)若a10,求使得Snan的n的取值范围.,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)设an的公差为d. 由S9=-a5得a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4. 于是a1=8,d=-2. 因此an的通项公式为an=10-2n. 由a10知d0,故Snan等价于n2-11n+100,解得1n10. 所以n的取值范围是n|1n10,nN*.,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得a1,n,d是等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个
5、量a1,n,d,an,Sn中可“知三求二”,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练2记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,等比数列的通项及求和 例
6、3(2019全国卷2,文18)已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求an的通项公式; (2)设bn=log2an.求数列bn的前n项和.,解 (1)设an的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4. 因此an的通项公式为an=24n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列bn的前n项和为1+3+2n-1=n2.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求
7、解即可.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3(2019云南昆明高三1月复习诊断)已知数列an是等比数列,公比q1,前n项和为Sn,若a2=2,S3=7. (1)求an的通项公式; (2)设mZ,若Snm恒成立,求m的最小值.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,等差、等比数列的综合问题 例4(2019北京卷,文16)设an是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. (1)求an的通项公式; (2)记an的前n项和为Sn,求Sn的最小值.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)设an的公差
8、为d. 因为a1=-10, 所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d. 因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列, 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6). 所以(-2+2d)2=d(-4+3d). 解得d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-12. (2)由(1)知,an=2n-12. 所以,当n7时,an0;当n6时,an0. 所以,Sn的最小值为S6=-30.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得对于等差、等比数列的综合问题,解决的思路主要是方程的思想,即运用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化成方程或方程组,求出首项、
9、公差、公比等基本量,再由基本量求出题目要求的量.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练4已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.,解 (1)设an的公差为d,bn的公比为q, 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. 由a3+b3=5,得2d+q2=6. 因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,