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1、第1 / 4页 初中数学三角形的“四心”例题讲解 知识点、重点、难点 三角形的外心、内心、重心及垂心（以下简称“四心”）是新颁发的初中数学竞赛大纲特别加强的内容，是初 中数学竞赛的热点。 1.外心 三角形三条垂直平分线的交点叫三角形的外心，即该三角形外接圆的圆心， ABC 的外心通常用字母O 表示。 它具有如下性质： (1)外心到三角形三顶点的距离相等这个距离就是外接圆的半径； (2)在 ABC 中，若 A 是锐角，则BOC=2A；若 A 是钝角，则 BOC360 2A. 2.内心 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即是该三角形内切圆的圆心，ABC 的内心一般用字母I 表 示它具有如下
2、性质： (1)内心在 ABC 三边距离相等，这个相等的距离是ABC 内切圆的半径； (2)若 I 是 ABC 的内心，则 111 90,90,90 222 BICACIABAIBC； (3)若 I 是 ABC 的内心， AI 延长线交 ABC 外接圆于D，则有 DI = DBDC，即 D 为 BCI 的外心。 3.重心 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，它具有如下性质： (1)重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2 倍； (2)若 G 是 ABC 的重点，则 1 3 GBCGCAGABABC SSSS； (3)重心是到三角形三顶点的距离的平方和最小的点。 4.垂心 三角形三条高所在直线的交
3、点叫做三角形的垂心“如图”，它具有如下性质： (1)图中有六组四点共圆（如A、F、H、E；A、B、D、E 等）及三组（每组四个）相似 直角三角形；特别的AHHD=BHHE=CHFH； (2)垂心 H 关于三边的对称点均在ABC 的外接圆上； (3) H、A、B、C 中任一点是另三点连成的三角形的垂心； (4) ABC 的内接三角形（即顶点在ABC 的边上）中，以垂足DEF 的周长最短。 例题精讲 例 1：如图，在ABC 中， AB=AC，延长 CA 到 P，再延长AB 到 Q，使 AP = BQ，求证： ABC 的外心 O 与 A、 P、Q 四点共圆。 分析一连结 AO、CO、PO、QO，要证
4、 O、A、P、Q 四点共圆，显然只要证P=Q.在 AQO 和 CPO 中，由 AB=AC，BQ=AP，得 AQCP，又 O 点是 ABC 的外心，故OAOC， OCP OAC.由于等腰三角形的外心必 在顶角的平分线上，所以 OAC OAQ.从而 OCP OAQ，故 AQO CPO，可得 CPO AQO.因此 O、 A、P、Q 四点共圆。 分析二O 是 ABC 的外心， 作 ABC 的外接圆O，并作 OH AB 于 H，OGAC 于 G，连结 OP、OQ（图略） 易 知 OH OG，BH = AG，从而 RtOQHRtOPG，于是 P=Q，故 O、P、A、Q 四点共圆。 第2 / 4页 例 2：
5、已知 ACE=CDE = 90，点 B 在 CE 上， CB = CD，过 A、C、D 三点的圆交AB 于点 F（如图 241），求 证： F 是 CDE 的内心。 证明连结 DF、DB、CF ，则 CDF =A=45， EDF = 45，即 DF 是 CDE 的平分线。 因为 CD = CB，所以 CDB=CBD .又 CDF= CBF=45，所以 FDB =FBD ，所以 DF =BF.又 CF 为公共边，所以DCF BCF ，所以 DCF = BCF，即 CF 为 DCE 的平分线。因此F 为 CDE 的内心。 例 3：如图，已知ABC 的高 AD、BE 交于 H， ABC、 ABH 的
6、外接圆分别为O 与 1 O，求证： O 与 1 O 的半径相等。 证明如图所示，过A 作 1 O和 O 的直径 AP、AQ，连结 PB、QB，则 ABP=ABQ = 90，故 P、B、Q 三点共线。因为H 为 ABC 的垂心，所以D、C、E、H 四点共圆，所以AHE =C.又 C =Q，所以 AHE= Q.因为 A、H、B、P 均在 1 O上，所以 AHE=P，所以 P =Q，所以 AP = AQ.所以 O 与 1 O的半径相 等。 例 4：如图，直线AB 与 O 相交于点E、F，EF 为 O 的直径，且AE=EF = FB，直线 AP 与 O 半径 OD 垂直于 D，求证： ADE =PDB
7、 证明如图，延长DO 交 O 于 M，连结 AM，延长 DE 交 AM 于 N，则 OAM OBD，有 OAM =OBD， 知 AM BD，故 PDB =DAN因为 AEEF，O 为 EF 和 DM 的中点，则E 为 ADM 的重心，所以N 为 AM 的 中点。又ADOD，即 DN 为 RtADN 斜边 AM 的中线，则DN=AN=NM，则 ADE= DAN=PDB 例 5： 设 O 为 ABC 的外心，I 为 ABC 的内心，R和 r 分别为 ABC 的外接圆和内切圆的半径，求证： 22 2OIRRr （欧拉定理） 第3 / 4页 证明连 AI 交 O 于 D， 连 DO 并延长交 O 于
8、E， 连结 BD、 BE， 连结 OI， 直线 OI 交外接圆于G、 H(如图 ) 过 I 作 IF AB 于 F，则 IF = r，DE=2R .由相交弦定理，AIID = GIIH =(ROI)(R OI)= 22 ROI又 BAD = BED， 则 AIE EDB，, AIIF DEBD AI BD=DE IF = 2Rr 由 I 是 ABC 的内心，则 ID = BD 于是 AI ID =AI BD 22 ROI， 2Rr= 22 ROI，即 22 2OIRRr. 例 6：如图，设O、G、H 分别为 ABC 的外心、重心、垂心，AF 是中线， ADBC 于 D，BEAC 于 E，求证：
9、 O、G、H 三点共线，且GH=2OG. 证明如图，连结OG、OH、OF，作 ABC 的外接圆O，连结 CO 并延长 CO 交 O 于 P，连结 AP、BP.由垂心 性质知 H 为 AD 与 BE 交点，则BPAH ， APBE，故 APBH 是平行四边形，于是得PB = AH.在 BCP 中， OF= 1 2 PB，所以OF= 1 2 AH.在 BCP 中， OF= 1 2 PB，所以 OF= 1 2 AH .由 OFPB，PBAH，得 OF AH，故 OFG= HAG又 GF= 1 2 AG， 故 OFG HAG，于是 AGH=OGF又 AGH HGF = 180，所以 OGF HGF 180，故 O、G、 H 三点共线，显然有GH = 2OG（通过三角形垂心、外心、重心的直线，称为欧拉线，这一结论是由瑞士数学家欧 拉提出并解决）。 第4 / 4页