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1、高二数学期末调研（文科）第 1 页 共 9 页 南京市 20172018 学年度第一学期期末调研测试卷 高二数学（文科）2018.01 注意事项： 1本试卷共3 页，包括填空题 （第 1 题第 14 题） 、解答题 （第 15 题第 20 题）两部分 本 试卷满分为160 分，考试时间为120 分钟 2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案 写在答题卡 上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡 参考公式： 圆锥的体积公式：V 1 3 r 2h，侧面积公式： S rl，其中 r，h 和 l 分别为圆锥的底面半径， 高和母线长 一、填空题：本大题共14 小题
2、，每小题5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置 上 1命题“若ab0，则 b0”的逆否命题是 2已知复数z 满足z(1i)i，其中 i 是虚数单位，则| z| 为 3在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 24x 的焦点坐标是 4 “x 23x20”是“ 1x2”成立的 条件（在“充分不必要” ，“必要不充分”， “充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写） 5已知实数x，y 满足条件 x0， y1， 2xy 50， 则 z3xy 的最大值是 6函数f(x)xe x 的单调减区间是 7在平面直角坐标系xOy 中，直线x 2y0 与圆(x 3) 2(y1)2 25 相交于 A，B 两点，
3、 则线段 AB 的长为 8如图，直线l 经过点 (0， 1)，且与曲线yf(x) 相切 于点 (a，3)若 f (a) 2 3，则实数 a 的值是 x y O a 3 1 yf(x) l （第 8 题图） 高二数学期末调研（文科）第 2 页 共 9 页 9在平面直角坐标系xOy 中，若圆(xa) 2(ya)22 与圆 x2(y6)2 8相外切， 则实数 a 的值为 10在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x 2 3 y 21 的渐近线与抛物线 x24 3y 的准线相交 于 A，B 两点，则三角形OAB 的面积为 11若函数f(x)x 3 3x2mx 在区间 (0，1) 内有极值，则实数m 的
4、取值范围是 12在平面直角坐标系xOy 中，若点 A 到原点的距离为2，到直线3xy 20 的距离为1， 则满足条件的点A 的个数为 13在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0) 的左、右焦点分别为F1，F2， 过 F1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A，B 两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C 若 AF2 2F2C ，则该椭圆的离心率为 14若对任意的x 1 e ， )，都有 1 2x 2alnx0 成立，则实数 a 的取值范围是 二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 15（本题
5、满分14 分） 已知复数z24mi 1i ，（ mR，i 是虚数单位） （ 1）若 z 是纯虚数，求m 的值； （ 2）设 z 是 z 的共轭复数，复数 z 2z 在复平面上对应的点在第一象限，求m 的取值范 围 高二数学期末调研（文科）第 3 页 共 9 页 16 （本题满分14 分） 已知p：方程x2(m2 6m)y 2 1 表示双曲线， q：函数f(x) 1 3x 3mx2(2m3)x 在 (， )上是单调增函数 （ 1）若 p 是真命题，求实数m 的取值范围； （ 2）若 p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题，求实数m 的取值范围 17 （本题满分14 分） 如图，圆锥OO1的
6、体积为 6 设它的底面半径为x，侧面积为S （ 1）试写出S关于 x 的函数关系式； （ 2）当圆锥底面半径x 为多少时，圆锥的侧面积最小？ 18 （本题满分16 分） 在平 面直角坐标 系xOy中 ，已知圆C 经 过点A( 1， 3)， B( 4， 2) ，且 圆心在 直线 l：xy10 上 （1）求圆 C 的方程； （2）设 P 是圆 D：x2y28x2y160 上任意一点，过点P 作圆 C 的两条切线PM， PN，M，N 为切点，试求四边形PMCN 面积 S的最小值及对应的点P 坐标 O O1 （第 17 题图） 高二数学期末调研（文科）第 4 页 共 9 页 19 （本题满分16 分）
7、 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(a b0)的一条准线方程为 x 43 3 ， 离心率为 3 2 （ 1）求椭圆C 的方程； （2）如图，设 A 为椭圆的上顶点，过点A 作两条直线AM，AN，分别与椭圆C 相交于 M， N 两点，且直线MN 垂直于 x 轴 设直线 AM，AN 的斜率分别是k1， k2，求 k1k2的值； 过 M 作直线 l1AM，过 N 作直线 l2AN，l1与 l2相交于点Q试问：点Q 是否在 一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由 20 （本题满分16 分） 设函数 f(x)1 2ax 21lnx ，其中 aR
8、 （1）若 a0，求过点 (0， 1)且与曲线 yf(x)相切的直线方程； （2）求证：当x(0， ) 时， lnxx1 恒成立； 若函数f(x)有两个零点x1，x2，求 a 的取值范围 南京市 20172018学年度第一学期期末检测卷 高二数学（文科）参考答案 201801 O N M A l1 x l2 y Q （第 19 题图） 高二数学期末调研（文科）第 5 页 共 9 页 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比 照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响
9、的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共14 小题，每小题5 分，共 70 分） 1 “若 b0，则 ab0”2 2 2 3(1，0) 4充分不必要 57 6 (， 1)或( ， 1 745 83 93 103 3 11(0，3) 123 13 5 5 14 1 2e 2，e 二、解答题（本大题共6 小题，共90 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15 （本题满分14 分） 解（1）z24mi 1i (24m
10、i)(1i) (1i)(1i) 12m(2m1)i3 分 因为 z 是纯虚数，所以12m0 且 2m1 0， 解得 m 1 2 6 分 （2）因为 z是 z 的共轭复数，所以 z1 2m(2m1)i8 分 所以 z2z12m(2m 1)i212m(2m1)i 36m (2m1)i10 分 因为复数 z 2z 在复平面上对应的点在第一象限， 所以 3 6m0， 2m10， 12 分 解得 1 2m 1 2，即实数 m 的取值范围为( 1 2， 1 2) 14 分 高二数学期末调研（文科）第 6 页 共 9 页 16 （本题满分14 分） 解（1）由题意知，曲线C：x2(m26m)y2 1 是双曲
11、线， 所以m26m03 分 解得 0m6，即 m 的取值范围为 (0， 6)5 分 （2）由函数f(x)1 3x 3mx2 (2m 3)x 是单调增函数， 可知 f (x)x 22mxm30 恒成立 故 (2m) 24(2m3)0，解得 1m3 8 分 因为 p 或 q 是真命题， p 且 q 是假命题， 所以 p 真 q 假或者 p 假 q 真11 分 因此 0m6， m 1或m3； 或者 m0或m6， 1 m 3 故 m 的取值范围是 1，0(3，6)14 分 17 （本题满分14 分） 解（1）设圆锥OO1的高为 h，母线长为l 因为圆锥的体积为 6 ，即 1 3 x 2h 6 ，所以
12、h 36 x 22 分 因此l x 2h2 x 2(36 x 2) 2， 从而 Sxl x x 2(3 6 x 2 ) 2 x 454 x 2， (x 0) 6 分 （2）令 f(x)x4 54 x 2，则 f (x)4x 3108 x 3，(x0)8 分 由 f (x)0，解得 x 310 分 当 0x 3时， f (x)0，即函数f(x)在区间 (0，3)上单调递减； 当 x 3时， f (x)0，即函数f(x)在区间 (3， )上单调递增 12 分 所以当 x 3时， f(x)取得极小值也是最小值 答：当圆锥底面半径为 3时，圆锥的侧面积最小14 分 高二数学期末调研（文科）第 7 页
13、共 9 页 18 （本题满分16 分） 解（1）设圆 C 的方程为x2y2DxEyF0，其圆心为 ( D 2 ， E 2 ) 因为圆 C 经过点 A(1，3) ，B(4，2)，且圆心在直线l： xy1 0 上， 所以 1 9D3EF 0， 1644D2EF0， D 2 E 2 1 0， 4 分 解得 D 4， E 2， F0 所求圆 C 的方程为x2y24x2y07 分 （2）由（ 1）知，圆C 的方程为 (x2) 2 (y 1)25 依题意， S2SPMCPMMC PC 25 5 所以当 PC 最小时， S最小10 分 因为圆 M：x2y28x2y160，所以 M( 4，1)，半径为1 因为
14、 C(2， 1)，所以两个圆的圆心距MC6 因为点 P M，且圆 M 的半径为 1， 所以 PCmin615 所以 Smin 5 2 5 51014 分 此时直线MC：y1，从而 P(3，1)16 分 19 （本题满分16 分） 解（1）设椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 2 1 的半焦距为c 由题意，得 a 2 c 4 3 3 ， c a 3 2 ， 解得 a 2， c3，从而 b1 所以椭圆C 的方程为 x 2 4 y2 14 分 高二数学期末调研（文科）第 8 页 共 9 页 （2）根据椭圆的性质，M，N 两点关于x 轴对称， 故可设 M(x0，y0)， N(x0， y0)( x00
15、，y00)， 从而k1k2y 01 x0 y01 x0 1y0 2 x0 27 分 因为点 M 在椭圆 C 上，所以 x0 2 4 y021，所以 1y02 x0 2 4 ， 所以 k1k2 1y0 2 x0 2 1 4 10 分 设 Q(x1，y1)，依题意 A(0，1) 因为 l1AM，所以 y01 x0 y1y0 x1x0 1，即 (y 01)(y1y0) x0 (x1x0)； 因为 l2AN，所以 y0 1 x0 y 1y0 x1x0 1，即 (y 01)(y1y0) x0 (x1x0)， 故 (y01)(y1 y0)(y0 1)(y1y0)0， 化得 (y11) y0014 分 从而
16、必有y110，即 y1 1 即点 Q 在一条定直线y 1 上16 分 20 （本题满分16 分） 解（1）当 a0 时， f(x) 1lnx，f (x) 1 x 设切点为T(x0， 1lnx0)， 则切线方程为：y1lnx0 1 x0( xx0) 3 分 因为切线过点 (0， 1)，所以11ln x0 1 x0 (0x0)，解得 x0e 所以所求切线方程为y 1 ex1 5分 （2）考察函数g(x)x1lnx g(x)1 1 x x1 x 当 x(0，1)时， g(x)0，函数 g(x)在(0，1)上单调递减； 当 x(1， )时， g (x)0，函数 g(x)在(1， )上单调递增， 所以
17、g(x) g(1)0，即当 x (0， ) 时， lnxx 1恒成立8 分 高二数学期末调研（文科）第 9 页 共 9 页 f (x)ax1 x ax 2 1 x ，x0 (i) 若 a0，则 f (x)0，所以函数f(x)在(0， ) 上单调递减， 从而函数f(x)在(0， ) 上至多有1 个零点，不合题意10 分 (ii) 若 a0，由 f (x)0，解得 x 1 a 当 0x 1 a时， f (x)0，函数 f(x)单调递减；当x 1 a时， f ( x) 0，f(x)单调递增， 所以 f(x)min f( 1 a) 1 2ln 1 a1 1 2ln 1 a 要使函数f(x)有两个零点，
18、首先 1 2ln 1 a 0，解得 0 ae 12 分 当 0ae 时， 1 a 1 e 1 e 因为 f(1 e) a 2e 20，故 f(1 e)f( 1 a)0 又函数 f(x)在 (0， 1 a)上单调递减，且其图像在 (0， 1 a)上不间断， 所以函数f(x)在区间 (0， 1 a)内恰有 1 个零点 14 分 因为 lnxx1，故 f(2 a) 2 a1ln 2 a0 因为 2 a 1 a 2a a 0，故 2 a 1 a 因为 f( 1 a) f(2 a)0，且 f(x)在( 1 a ， ) 上单调递增，其图像在( 1 a ， ) 上不间断， 所以函数f(x)在区间 ( 1 a， 2 a 上恰有 1 个零点，即在 ( 1 a， ) 上恰有 1 个零点 综上所述， a 的取值范围是(0， e)16 分