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1、2.3 热点小专题一 导数的应用,-2-,一、考情分析 从近几年高考客观题对导数应用的考查主要是:利用导数的几何意义求曲线的切线方程;利用导数研究函数的零点,参数的取值范围;以实际问题、三角函数、几何体为载体的导数求最值问题. 二、必备知识整合 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x0). 2.常用的导数及求导法则,-3-,3.求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求y=f(x)过点P的切线方程. (2)已知切线的斜率为k,求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),通过方程
2、k=f(x0),解得x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点),求y=f(x)的切线方程:设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),然后由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程. 4.利用导数研究函数单调性的方法 (1)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0. (2)若已知函数的单调性,则转化为不等式f(x)0或f(x)0在单调区间上恒成立问题来求解.,-4-,5.利用导数研究函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (
3、2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. 6.利用导数研究函数零点问题的思路 (1)求函数f(x)=g(x)-h(x)的零点个数,转化为两函数y=g(x),y=h(x)的交点个数,通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的变化趋势,数形结合求解. (2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,再利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.,-5-,热点一,热点二,热点三,热点四,利用导数求曲线的切线 例1(1)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax
4、,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x (2)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a= .,答案,解析,-6-,热点一,热点二,热点三,热点四,解题心得1.求切线方程需要两个条件,曲线在某点处的切线意味着该点在曲线上,求该点的导数值即得切线的斜率. 2.求经过点P(x1,y1)的曲线y=f(x)的切线(斜率存在)的方程的关键:若点P是切点,则直接利用求曲线在点P处的切线方程的思路去求解;若点P不是切点,则需先设切点的坐标(x0,y0),再根据 得到切点的坐标
5、,进而利用直线的点斜式或两点式方程求出切线的方程.,-7-,热点一,热点二,热点三,热点四,对点训练1(2019江苏卷,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .,答案,解析,-8-,热点一,热点二,热点三,热点四,已知曲线的切线方程求参数的值 例2若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= .,答案,解析,-9-,热点一,热点二,热点三,热点四,解题心得解已知曲线的切线方程求参数问题的一般思路是:利用方程的思想求解,即设出切点坐标,求出函数在切点的
6、导数得切线的斜率,由斜率相等得一方程,由切点坐标代入函数解析式,又得一方程,联立求解即可.,-10-,热点一,热点二,热点三,热点四,对点训练2(2019山东潍坊二模,文13)若函数f(x)=x-aln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a= .,答案,解析,-11-,热点一,热点二,热点三,热点四,求参数的取值范围(多维探究) 类型一 已知函数单调性求参数范围 例3(1)若函数f(x)=x2-4ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 . (2)若函数f(x)=2x2-ln x在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是 .,答
7、案,解析,-12-,热点一,热点二,热点三,热点四,解题心得已知函数的单调性求参数范围关键是转化,即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”.如本例(1)先转化为f(x)0,由此分离出参数再转化为求函数最值.本例(2)中,若函数某个区间内不是单调函数,可转化为函数的极值点在这个区间内.,-13-,热点一,热点二,热点三,热点四,对点训练3(1)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在区间(-,+)单调递增,则a的取值范围是( ),答案(1)C (2)e-1,+),-14-,热点一,热点二,热点三,热点四,-15-,热点一,热点二,热点三,热点四,-16-,热点一
8、,热点二,热点三,热点四,-17-,热点一,热点二,热点三,热点四,类型二 已知函数极值点求参数范围,答案 B,-18-,热点一,热点二,热点三,热点四,-19-,热点一,热点二,热点三,热点四,-20-,热点一,热点二,热点三,热点四,-21-,热点一,热点二,热点三,热点四,对点训练4设函数 .若存在f(x)的极值点x0满足+f(x0)2m2,则m的取值范围是 ( ) A.(-,-6)(6,+) B.(-,-4)(4,+) C.(-,-2)(2,+) D.(-,-1)(1,+),答案,解析,-22-,热点一,热点二,热点三,热点四,类型三 已知函数零点情况求参数值或范围 例5已知函数f(x
9、)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( ),答案,解析,-23-,热点一,热点二,热点三,热点四,解题心得已知函数零点情况求参数值或范围问题,一般思路是通过求函数的导数及对参数分类讨论确定函数的极值,参照函数图象的变化趋势,看参数在什么范围满足零点情况的要求.有时根据题意转化为两个函数图象交点个数,因此解决此类问题要注重数形结合.,-24-,热点一,热点二,热点三,热点四,对点训练5(2019山东潍坊三模,理12)已知函数 与g(x)=2eln x+mx的图象有4个不同的交点,则实数m的取值范围是( ),答案 C,-25-,热点一,热点二,热点三,热点四,-26-,热点
10、一,热点二,热点三,热点四,-27-,热点一,热点二,热点三,热点四,三角、几何体及实际问题中的最值 例6(1)(2019山东德州一模,理12)在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是( ) (2)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是 .,-28-,热点一,热点二,热点三,热点四,-29-,热点一,热点二,热点三,热点四,(2)由题意可得T=2是f(x)=2sin x+sin 2x的一个周期, 所以求f(x)的最小值可考虑求f(x)在0,2)上的值域. 由f(x)=2sin x+sin 2x,得f(x)=2cos x+2co
11、s 2x=4cos2x+2cos x-2.,-30-,热点一,热点二,热点三,热点四,解题心得关于三角函数、几何体的表面积、体积及实际问题中的最值问题,一开始想到的往往并不是用导数的方法求最值,但在一般方法不易求的情况下,能想到用导数的方法求最值,问题就容易多了.,-31-,热点一,热点二,热点三,热点四,答案 A,-32-,热点一,热点二,热点三,热点四,f(x)化为g(t)=-(1-t2)+2at+(4a-3)=t2+2at+4a-4; 由题意知g(t)=t2+2at+4a-40恒成立,其中t-1,1; 当-a-1,即a1时,g(t)在区间-1,1上单调递增,-33-,热点一,热点二,热点三,热点四,