增分导与练全国通用版(2018年最新模拟题)：压轴题命题区间七概率与统计(理).pdf

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1、压轴题命题区间(七)概率与统计 (理) 概率与统计应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，解答这类问题的关键是能阅 读、理解陈述的材料，深刻理解题意，学会文字语言向数学的符号语言的转化，能结合所学 知识解决问题解答应用问题要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能 力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模 型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力除以上过“三关”外，对于概率与 统计应用问题还应再过三关，即文字关、图表关、计算关 文字关 抓关键语句，破干扰信息 典例 调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收

2、入的满意度有极强的相关性现将这三项的满意度指标分别记为x， y，z，并对它们进行量 化： 0 表示不满意，1 表示基本满意，2 表示满意再用综合指标x yz 的值评定居民 对城市的居住满意度等级：若 4，则居住满意度为一级；若2 3，则居住满意度为 二级；若0 1，则居住满意度为三级为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究 人员从此城市居民中随机抽取10 人进行调查，得到如下结果： 人员编号12345 (x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(0,1,1)(1,2,1) 人员编号678910 (x，y，z)(1,2,2)(1,1,1)(1,2,2)(1,0,0)(1,1,1)

3、 (1)在这 10 名被调查者中任取2 人，求这2 人的居住满意度指标z 相同的概率； (2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一 级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X m n，求随机变量X 的分布列 及其数学期望 方法演示 解：(1)记事件 A 为“从 10 名被调查者中任取2 人，这 2 人的居住满意度指标z 相同 ”， 则居住满意度指标z为 0 的只有编号为9 的 1 名；居住满意度指标z 为 1 的编号有2,4,5,7,10 共 5 名；居住满意度指标z 为 2 的编号有1,3,6,8 共 4 名 从 10 名被调查者中任取2 人，

4、所有可能的结果为C 2 1045(种)，这 2 人的居住满意度指 标 z 相同的结果为C 2 5C 2 410616(种)，所以在这 10 名被调查者中任取2 人，这 2 人的 居住满意度指标z 相同的概率为P(A) 16 45. (2)计算 10 名被调查者的综合指标，可列下表： 人员编号12345678910 综合指标4462453513 其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8 共 6 名，则 m 的值可能为4,5,6；居住满意度 不是一级的编号有4,7,9,10 共 4 名，则 n 的值可能为1,2,3，所以随机变量X 所有可能的取值 为 1,2,3,4,5. P(X1) C

5、 1 3 C 1 2 C 1 6 C 1 4 1 4， P(X2) C 1 3 C 1 1C 1 2 C 1 2 C 1 6 C 1 4 7 24， P(X3) C 1 3 C 1 1C 1 2 C 1 1C 1 1 C 1 2 C 1 6 C 1 4 7 24， P(X4) C 1 1 C 1 1C 1 2 C 1 1 C 1 6 C 1 4 1 8， P(X5) C 1 1 C 1 1 C 1 6 C 1 4 1 24， 所以随机变量X 的分布列为 X 12345 P 1 4 7 24 7 24 1 8 1 24 E(X)1 1 42 7 243 7 244 1 85 1 24 29 12

6、. 解题师说 本题文字叙述较长，解答此类问题应过文字关，其技巧是： (1)快速了解“无关信息”(如 本例第一句话)；(2)仔细阅读题中重要信息，把握信息所给内容(如本例字母x，y，z， 所 指什么 )；(3)明确题目所求内容 应用体验 1(2016 全国卷 )某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有 一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件， 为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的

7、易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率， 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损 零件数 (1)求 X 的分布列； (2)若要求 P(Xn) 0.5，确定 n 的最小值； (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n19 与 n20 之中选其一， 应选 用哪个？ 解： (1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2. 从而 P(X16) 0.20.2 0.04； P(X17)20.20.40.16； P(X18)20.20.2

8、0.4 0.40.24； P(X19)20.20.22 0.40.20.24； P(X20)20.20.40.2 0.20.2； P(X21)20.20.20.08； P(X22)0.2 0.20.04. 所以 X 的分布列为 X 16171819202122 P 0.040.160.240.240.20.080.04 (2)由(1)知 P(X 18)0.44，P(X19)0.68， 故 n 的最小值为19. (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元 ) 当 n 19 时， E(Y) 192000.68 (19200 500)0.2 (19200 2500)0.08

9、(19200 3500) 0.044 040； 当 n 20 时， E(Y)202000.88(20200 500)0.08(20200 2500) 0.044 080. 可知当 n19 时所需费用的期望值小于当n20 时所需费用的期望值，故应选n19. 图表关 会转换信息，思解题方法 典例 (2018石家庄质检 )交强险是车主必须为机动车购买的险种若普通6 座以下私 家车投保交强险第一年的费用(基准保费 )统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动 机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费 率也就越高，具体浮动情况如下表： 交强险浮动因素和浮动费率

10、比率表 浮动因素浮动比率 A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮 10% A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮 20% A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮 30% A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0% A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮 10% A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮 30% 某机构为了研究某一品牌普通6 座以下私家车的投保情况，随机抽取了60 辆车龄已满 三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型A1 A2A3A4A5A6 数量105520155 以这 60 辆该品牌车的投保

11、类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： (1)按照我国 机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定，a950.记 X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；(数学期望 值保留到个位数字) (2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费 的车辆记为事故车假设购进一辆事故车亏损5 000 元，一辆非事故车盈利10 000 元： 若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车 的概率； 若该销售商一次购进100 辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值 方法演示 解： (

12、1)由题意可知，X 的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a，a,1.1a,1.3a. 由统计数据可知： P(X0.9a)1 6， P(X0.8a) 1 12，P(X0.7a) 1 12， P(Xa) 1 3，P(X1.1a) 1 4，P(X1.3a) 1 12. 所以 X 的分布列为 X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3a P 1 6 1 12 1 12 1 3 1 4 1 12 所以E(X) 0.9a 1 6 0.8a 1 12 0.7a 1 12 a 1 3 1.1a 1 4 1.3a 1 12 11.9a 12 11 305 12 942. (2)由统计数据可知任意一

13、辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为 1 3 ，三辆 车中至多有一辆事故车的概率为P 1 1 3 3C1 3 1 3 2 3 220 27. 设 Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为5 000,10 000. 所以 Y 的分布列为 Y 5 00010 000 P 1 3 2 3 所以 E(Y)(5 000) 1 310 000 2 35 000，所以该销售商一次购进 100 辆(车龄已满 三年 )该品牌的二手车获得利润的期望值为100E(Y)500 000 元 解题师说 从所给表格中正确提取解题所需要的信息是解决此类问题的关键 应用体验 2(2018 贵阳检测 )

14、为了解人们对于“生育二孩放开”政策的热度，现在某市进行调查， 对5,65 岁的人群随机抽取了n 人， 得到如下统计表和各年龄段抽取人数的频率分布直方图： 分组支持“生育二孩放开”政策的人数占本组的频率 5,15)40.8 15,25)5p 25,35)120.8 35,45)80.8 45,55)20.4 55,6510.2 (1)求 n，p 的值； (2)若对年龄在 5,15)，35,45)的被调查人中各随机选取2 人进行调查，记选中的4 人不 支持“生育二孩”人数为X，求随机变量X 的分布列及数学期望 解： (1)5,15)年龄段抽取的人数为 4 0.85，频率为 0.010100.1，

15、n 5 0.150. 由题意可知，第二组的频率为0.2， 第二组的人数为500.210，则 p 5 100.5. (2)由已知可得，年龄在5,15)的被调查人共有5 人，其中不支持 “生育二孩 ”的有 1 人； 年龄在 35,45)被调查人共有10 人，其中不支持 “生育二孩 ”的有 2 人，X 的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X0) C 2 4 C 2 5 C 2 8 C 2 10 6 10 28 45 84 225， P(X1) C 1 4 C 2 5 C 2 8 C 2 10 C 2 4 C 2 5 C 1 8C 1 2 C 2 10 4 10 28 45 6 10 16 45

16、104 225， P(X2) C 1 4 C 2 5 C 1 8C 1 2 C 2 10 C 2 4 C 2 5 C 2 2 C 2 10 4 10 16 45 6 10 1 45 35 225， P(X3) C 1 4 C 2 5 C 2 2 C 2 10 4 10 1 45 2 225. X 的分布列是 X 0123 P 84 225 104 225 35 225 2 225 X 的数学期望E(X)0 104 225 70 225 6 225 4 5. 计算关 重计算能力，防不慎失分 典例 某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的1 000 名男生和800 名 女生中按分层抽样的方

17、法抽取45 名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学 生课余参加体育锻炼时间的情况分三类：A 类 (课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的 时间超过3 小时 )， B 类(课余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过3 小时 )， C 类(课余不参加体育锻炼)，调查结果如表： A 类B 类C 类 男生18x 3 女生810y (1)求出表中x，y 的值； (2)根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05 的 前提下认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3 小时与性别有关. 男生女生总计 A 类 B 类和 C 类 总计 (3)在抽取

18、的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选 取三人中男女都有且男生比女生多的概率. 附： K2 n adbc 2 ab cd ac bd ，其中 n abcd P(K 2k 0)0.100.050.01 k02.7063.8416.635 方法演示 解： (1)由题意， 21x 18y 5 4，21x18y45， x4，y 2. (2)22 列联表如下所示： 男生女生总计 A 类18826 B 类和 C 类71219 总计252045 K 245 181278 2 2520 26 19 4.664 03.841， 能在犯错误的概率不超过0.05 的前提下认为课余参加体

19、育锻炼且平均每周参加体育 锻炼的时间超过3 小时与性别有关 (3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼的学生中随机选取3 人进一步了解情况，有 C 3 5 10 种情况， 选取三人中男女都有且男生比女生多， 有 C 2 3C 1 2 6 种情况， 故所求概率为 6 10 0.6. 解题师说 (1)本例在计算K 2 的值时应仔细，计算中易出错，要明确公式中n，a，b，c， d 所表示 的值 (2)利用最小二乘法求“b ”时，应注意避免计算出错 应用体验 3 第 31届夏季奥林匹克运动会于2016年 8月 5 日至 8月 21日在巴西里约热内卢举行下 表是近几届奥运会中国代表团获得的金牌数之和y(

20、从第 26 届算起，不包括之前已获得的金 牌数 )随时间 x 变化的数据： 时间 x(届)2627282930 金牌数之和y(枚)164476127165 作出散点图如图所示 由图可以看出，金牌数之和y与时间 x 之间存在线性相关关系 (1)求 y 关于 x 的线性回归方程； (2)预测第 32 届中国代表团获得的金牌数之和为多少？ (3)现已知第31 届中国代表团实际所获的金牌数为26，求残差 e . 参考数据：x 28， y 85.6， i1 5 (xi x )(yi y )381， i1 5 (xi x ) 210. 附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)， (xn，yn)，其回

21、归直线 y bx a的斜率和截距 的最小二乘估计分别为： b i1 n xi x yi y i1 n xi x 2 ， a y b x . 解： (1)b i1 5 xi x yi y i1 5 xi x 2 381 10 38.1， a y b x 85.638.128 981.2， 所以金牌数之和y关于时间x 的线性回归方程为y 38.1x981.2. (2)由(1)知，当 x 32 时，中国代表团获得的金牌数之和的预测值y 38.132981.2 238， 故预测第32 届中国代表团获得的金牌数之和为238 枚 (3)当 x31 时，中国代表团获得的金牌数之和的预测值为y 38.1319

22、81.2199.9， 第 31 届中国代表团获得的金牌数之和的真实值为16526 191， 所以残差 e 191199.9 8.9. 1某市在对高三学生的一次水平测试的数据统计中显示，全市10 000 名学生的成绩服 从正态分布XN(110,144)，现从甲、乙两校100 分以上 (含 100 分)试卷中分别随机抽取了 20 份试卷进行分析，得到成绩如下： 甲校： 109118112114123128127124126120130138135137 133139142144148150 乙校： 108104102119111115129127128122126132135139 1371341

23、43143147142 (1)根据两组数据完成两校学生成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两校学生成绩的平均分 及分散程度 (不要求计算出具体值，给出结论即可)； (2)在这 40 名学生中， 从成绩在140 分(含 140 分)以上的学生中任意抽取3 人，该 3 人在 全市前 15 名的人数记为X，求 X 的分布列和期望 附：若 XN( ， 2)，则 P( 3.841. 因此在犯错的概率不超过0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系 (3)依题意抽取的不近视的9 人中年级名次在150 名和 9511 000 名的人数分别为3 人和 6人 所以 X 的取值为0,1,2,3， P(X0) C 3 6

24、 C 3 9 20 84，P(X1) C 2 6C 1 3 C 3 9 45 84， P(X2) C 1 6C 2 3 C 3 9 18 84，P(X3) C 3 3 C 3 9 1 84. 故 X 的分布列为 X 0123 P 20 84 45 84 18 84 1 84 所以 E(X)0 20 841 45 842 18 843 1 841. 3(2018 湘中名校联考)某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开 学季内，每售出1 盒该产品获利润50 元，未售出的产品，每盒亏损30 元根据以往资料， 得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示该同学为这个开学季购进了160

25、盒该 产品，以x(单位：盒， 100x200)表示这个开学季内的市场需求量，y(单位：元 )表示这个 开学季内经销该产品的利润 (1)根据频率分布直方图估计这个开学季内市场需求量x 的众数和平均数； (2)将 y 表示为 x 的函数； (3)根据频率分布直方图估计利润y 不少于 4 800 元的概率 解： (1)由频率分布直方图得，最大需求量为150 盒的频率为0.015 200.3. 这个开学季内市场需求量x 的众数估计值是150. 需求量为 100,120)的频率为0.005200.1， 需求量为 120,140)的频率为0.01200.2， 需求量为 140,160)的频率为0.015200.3，