《学生版高考与阿基米德三角形,可与圆锥曲线结合!.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《学生版高考与阿基米德三角形,可与圆锥曲线结合!.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 一、主要概念及性质 1、定义： 圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些 基本性质有： 2、主要性质： 性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。 证明：设 1122 (,),(,)A xyB xy，M为弦AB中点，则过A的切线方程为 11 ()y yp xx，过B的 切线方程为： 22 ()y yp xx，联立方程组得： 11 22 2 11 2 22 () () 2 2 y yp xx y yp xx ypx ypx 解得两切线交点 1212 , 22 y yyy Q p ，进而可知QMx轴。 性质 2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过
2、抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线。 证明：设( , )Q x y，由性质1， 1212 , 22 y yyy xy p ，所以有 12 2y ypx。由 ,A B C三点共线知 1012 222 121 0 222 yyyy yyy x ppp 即 22 112102010 2yy yy xy xypy 将 12 12 ,2 2 yy yy ypx代入得 00 ()y yp xx 即为Q点的轨迹方程。 性质 3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹。 性质 4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。 证明：设l方程为0axbyc，且 1122
3、( ,), (,)A x yB x y，弦AB过点 00 (,)C xy，由性质 2 可知 Q点的轨迹方程为 00 ()y yp xx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得 00 , cbp xy aa ，即弦AB过定点, cbp C aa 。 2 性质 5：底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 3 8 a p 。 证明：ABa，设Q到AB的距离为d，由性质1 知 222 1212121212 2() 22444 xxy yyyy yyy dQM pppp 设直线AB的方程为xmyn，则 22 21 (1)()amyy， 所以 23 22 12 1 () 428 aa yyads
4、ad pp 。 性质 6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的 最小值为 2 p。 证明：由性质2，若底边过焦点，则 00 ,0 2 p xy，Q点的轨迹方程是 2 p x，即为准线；易 验证1 QAQB kk，即QAQB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点。所以 22 12 1212 2 224242 y y xxyyppp QMp pp 而 2 1212 1 () 2 QAB SQMyyQMy yp 性质 7 ：在阿基米德三角形中，QFAQFB。 证明：如图，作AA准线，BB准线，连接,AQ QB QF AF BF，则 1 FA y k p
5、 ， 显然1 FAQA Kk，所以FAQA，又因为AAAF，由三角形全等可得 QAAQAF，所以,QAAQAFQAQFQA AQFA 同理可得,QBQFQB BQFBQAQBQA BQB A 所以 00 9090QA AQA BQBAQBBQFAQFB 性质 8： 2 AFBFQF 证明： 2 121212 () 2224 pppp AFBFxxx xxx 3 2 222 1212 244 y yyyp p 而 222 222 2 12121212 222244 y yyyy yyypp QFAFBF ppp 性质 9 QM的中点P在抛物线上，且P点处的切线与AB平行。 证明：由性质1知 12
6、121212 , 2222 y yyyxxyy QM pp ，可得P点坐标为 2 1212 () , 82 yyyy p ，此点显然在抛物线上；过P点的切线斜率为 12 12 2 2 AB pp k yy yy ，结论得证。 二、例题解析 1 （ 2008 年江西卷理科第21 题） 21 （本小题满分12 分） 设点 00 (,)P xy在直线(,01)xm ymm上，过点P作双曲线 22 1xy的两条切线 PAPB、，切点为A 、B，定点 1 (,0)M m . （1）求证：三点AMB、共线。 （2）过点A作直线0xy的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在曲线方程. 4 2 （ 2008
7、年山东卷理科第22 题） 如图，设抛物线方程为 2 2(0)xpy p，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切 线，切点分别为AB， （）求证：AMB，三点的横坐标成等差数列； （）已知当M点的坐标为(22 )p，时，4 10AB求此时抛物线的方程； （）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线 2 2(0)xpy p上，其中， 点C满足OCOAOB（O为坐标原点） 若存在， 求出所有适合题意的点M的坐标；若不存 在，请说明理由 3 （ 2007 年江苏卷理科19 题） 如图，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0, )Cc任作一直线，与抛物线 2 yx相 交于AB两
8、点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:lyc交于,P Q， （1）若2OA OB，求c的值； （5 分） （2）若P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线； （5 分） （3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由。（4 分） y x B A O M 2p 5 4 （ 2005 年江西卷理科22 题） 如图，设抛物线 2 :xyC的焦点为F，动点 P 在直线02:yxl上运动，过P 作抛物 线 C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B 两点 . （1）求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . （2）证明 PFA=PFB. 5 （ 2006 年全国卷 2 理科第 2
9、1 题） 已知抛物线 2 4xy的焦点为F，A、B 是热线上的两动点，且(0).AFFB过 A、B 两点 分别作抛物线的切线，设其交点为M。 （I）证明 .FM AB为定值； （ II）设ABM 的面积为S，写 出( )Sf的表达式，并求S的最小值。 6 广东模考试题 19. （本小题满分14 分） 2010 届广州二模 已知抛物线C: 2 2xpy 0p的焦点为F,A、B是抛物线C上异于坐标原点O的 不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为 1 l、 2 l，且 12 ll， 1 l与 2 l相交于点D. (1) 求点D的纵坐标； (2) 证明：A、B、F三点共线； (3) 假设点D的坐标
10、为 3 , 1 2 ，问是否存在经过A、B两点且与 1 l、 2 l都相切的圆， 若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由. 7 18. (本题满分 13分)2009 韶关一模 已知动圆过定点(0,2)N，且与定直线:2L y相切 . （I ）求动圆圆心的轨迹C的方程； （II ）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且ANNB. 分别以A、B为切点作轨迹C的切 线，设其交点Q，证明ABNQ为定值 . 8 20 （本小题满分14 分） 2010 年深圳市高三年级第二次调研考试数学 已知抛物线 C ： 2 4xy 的焦点为F，过点F作直线 l 交抛物线 C 于 A 、B 两点； 椭圆 E 的中心在原点，焦点在 x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率 3 2 e （1）求椭圆 E 的方程； （2） 经过 A、B 两点分别作抛物线C 的切线 1 l 、 2l ， 切线1 l 与 2l 相交于点 M 证明：MFAB； （3） 椭圆 E 上是否存在一点M ，经过点 M作抛物线 C 的两条切线MA、MB（ A 、 B 为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C 与切线MA、MB所围成图 形的面积；若不存在，试说明理由 B F A M 图 6 x y O