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1、第二节定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是，在区间上的定积分为 这里 x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变 量无关，故可将此改为 如果上限 x 在区间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值 与之对应，所以定积分在上定义了一个 以 x 为自变量的函数， 我们把称为函数在区间上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为 X 是上一个动点， 从而以线段为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化， 所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图 5-10） 图 5-10 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值
2、是十分麻烦的，有时甚至无法计算。 因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道： 如果物体以速度作直线运动， 那么在时间 区间上所经过的路程s 为 另一方面， 如果物体经过的路程s是时间 t 的函数，那么物体 从 t=a 到 t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即是一个原函数，因 此， 为了求出定积分， 应先求出被积函数的原函数， 再求在区间上的增量即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续，是的一个原函数， 即，则 图 5-11 这个公式叫做牛顿 -莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也
3、叫做微积分基本公式。它表示一 个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值 之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定 积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例 1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线和直线x=0、 x= 及 y=0 所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设、在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12 性质 1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即 (A 为常数 ) 性质 2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和， 即 这个性质对有限个函数
4、代数和也成立。 性质 3 积分的上、下限对换则定积分变号，即 以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此 处证明从略。 性质 4 如果将区间分成两个子区间及那么有 这个于区间分成有限个的情形也成立。 下面用定积分的几何意义，对性质4 加以说明。 当 acb 时，从图 5-13a 可知，由 y=f与和 x=a x=b 及 x 轴围成的曲边梯形面积: 图 5-13a 图 5-13b 因为所以 即性质 4 成立。 当 abc 时，即点 c 在外，由图 5-13b 可知， 显然，性质 4 也成立。 总之，不论 c 点在内还是外，性质 4 总是成立的。 例 3 求 例 4 求 解= 例 5
5、求 解 所以 例 6 求 解 于是， 例 7 设求 解 因为 所以 = = 例 8 火车以 v=72km/h 的速度在平直的轨道上行驶，到某处 需要减速停车。 设火车以加速度a=-5m/刹车。问从开始刹车到 停车，火车走了多少距离？ 解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当时火车速度 刹车后火车减速行驶。 其速度为 当火车停住时，速度，故从 解得 于是在这段时间内，火车走过的距离为 = 即在刹车后，火车需走过40m 才能停住。 习题 5-2 1 求下列定积分： （1） (2) (3) (4) (5)（6） (7) (8) (9) (10) (11)设 2.求由与直线 x=1,x=2 及 x 轴所成的图形的面积。 3.一物体由静止出发沿直线运动，速度为，其中 ,v 以 m/s 单位，求物体在1s到 2s 之间走过的路程。