导数与函数的切线及函数零点问题.pdf

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1、第 3 讲导数与函数的切线及函数零点问题 高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求 是 B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲 线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考 命题的另一热点 . 真 题 感 悟 (2016 江苏卷 )已知函数 f (x)a xbx(a0，b0，a1 ，b1). (1)设 a2，b1 2. 求方程 f (x)2 的根； 若对任意 xR，不等式 f (2x)mf (x)6 恒成立，求实数m的最大值； (2)若 0a1，b1，函数 g(x)f (x)2 有且只有 1 个零点，求 a

2、b 的值. 解(1)由已知可得 2x 1 2 x 2， 即 2x 1 2 x2.(2x)22 2x10， 解得 2 x1，x0. f (x)2x 1 2 x 2x2 x， 令 t2x2 x，则 t2. 又 f (2x)22x2 2xt22， 故 f (2x)mf (x)6 可化为 t22mt6， 即 mt4 t ，又 t2，t4 t 2t 4 t 4(当且仅当 t2 时等号成立 )， m t4 t min4，即 m的最大值为 4. (2)0a1，b1，ln a0，ln b0. g(x)f (x)2a xbx2， g(x)a xln abxln b且g( x)为单调递增，值域为R 的函数.g(x

3、)一定存在唯一的 变号零点， g(x)为先减后增且有唯一极值点. 由题意 g(x)有且仅有一个零点， 则 g(x)的极值一定为 0， 而 g(0)a 0b020，故极值点为 0. g(0)0，即 ln aln b0，ab1. 考 点 整 合 1.求曲线 yf (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点 P(x0，y0)，求 yf (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率f (x0)， 由点斜式写出方程 . (2)已知切线的斜率为k，求 yf (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程 k f (x0)解得 x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点 (非切点 )，求 yf

4、 (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导 数求得切线斜率f (x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由 点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x时，函数值也趋向 ，只要 按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且 x1 x2的函数 f (x)ax 3bx2cxd(a0) 的零点分布情况如下： a 的符号零点个数充要条件 a0 (f (x1)为极大值， f (x2)为极小值 ) 一个f (x1)0 或 f (x2) 0 两个f (x1)0 或者 f (x2)0 三个f (x1)0 且

5、f (x2)0 a0 (f (x1)为极小值， f (x2)为极大值 ) 一个f (x2)0 或 f (x1)0 两个f (x1)0 或者 f (x2)0 三个f (x1)0 且 f (x2)0 3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图 象，如单调性、值域、与x 轴的交点等，其常用解法如下： 转化为形如 f (x1) f (x2)0 的不等式：若 yf (x)满足 f (a)f (b)0，则 f (x)在 (a，b)内至少有一个零点； 转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)0 有解问题， 将方程分

6、离参数后 (af (x)转化为求 yf (x)的值域问题； 数形结合：将问题转化为yf (x)与 yg(x)的交点问题，利用函数图象位置关 系解决问题 . (2)研究两条曲线的交点个数的基本方法 数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案. 函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数. 热点一函数图象的切线问题 【例 1】 (1)(2016 全国卷)若直线 ykxb 是曲线 yln x2 的切线，也是曲 线 yln(x1)的切线，则 b_. 解析yln x2 的切线为： y 1 x1 xln x11(设切点横坐标为 x1). yln(x1)的切线为： y

7、 1 x21xln(x 21) x2 x21，(设切点横坐标为 x 2) 1 x1 1 x21， ln x11ln（x21） x2 x21， 解得 x1 1 2，bln x 111ln 2. 答案1ln 2 (2)已知函数 f (x)2x 33x. 求 f (x)在区间 2，1上的最大值； 若过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf (x)相切，求 t 的取值范围 . 解由 f (x)2x33x 得 f (x)6x23. 令 f (x)0，得 x 2 2 或 x 2 2 . 因为 f (2)10，f 2 2 2，f 2 2 2， f (1)1， 所以 f (x)在区间 2，1上的最大值为

8、 f 2 2 2. 设过点 P(1，t)的直线与曲线 yf (x)相切于点 (x0，y0)， 则 y02x303x0，且切线斜率为 k6x203， 所以切线方程为 yy0(6x203)(xx0)， 因为 ty0(6x2 03)(1x0). 整理得 4x 3 06x 2 0t30， 设 g(x)4x36x2t3， 则“ 过点 P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf (x)相切” 等价于“ g(x)有 3 个不同零点 ”. g(x)12x 212x12x(x1)， 当 x 变化时， g(x)与 g(x)的变化情况如下： x ( ，0)0(0，1)1(1，) g(x)00 g(x)t3t1 所以，

9、 g(0)t3 是 g(x)的极大值， g(1)t1 是 g(x)的极小值 . 当 g(0)t30，即 t3时，此时 g(x)在区间 ( ，1)和1，) 上分别至多 有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2个零点 . 当 g(1)t10，即 t1时，此时 g(x)在区间 ( ，0)和0，) 上分别至多 有 1 个零点，所以 g(x)至多有 2个零点 . 当 g(0)0 且 g(1)0，即 3t1 时，因为 g(1)t70，g(2)t11 0，所以 g(x)分别在区间 1，0)，0，1)和1，2)上恰有 1 个零点，由于g(x)在 区间 ( ，0)和(1，) 上单调，所以g(x)分别在区间 (

10、，0)和1，) 上恰有 1 个零点 . 综上可知，当过点P(1，t)存在 3 条直线与曲线 yf (x)相切时， t 的取值范围是 (3，1). 探究提高解决曲线的切线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其 他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的 关系，如本题第 (2)问中的切线过点 (1，t). 【训练 1】 已知函数 f (x)x 3x. (1)设 M(0，f (0)是函数 f (x)图象上的一点，求图象在点M 处的切线方程； (2)证明：过点 N(2，1)可以作曲线 f (x)x 3x 的三条切线 . (1)解因为 f (x)3x 21. 所以曲线 f

11、 (x)x 3x 在点 M( 0，f (0)处的切线的斜率为kf (0)3 2 01. 所以切线方程为 y( 3 00)(3 2 01)(x0)， 即 y(3 2 01)x2 3 0. (2)证明由(1)知曲线 f (x)x 3x 在点( ，f ( )处的切线的方程为 y(3 21)x 2 3.若切线过点 N(2，1)，则 12(321)23，即 236230. 过点 N 可作曲线 f (x)的三条切线等价于方程2 36230有三个不同的解 . 设 g( )2 3623，则 g( )6 212 6 ( 2). 当 变化时， g( )，g( )的变化情况如下表： ( ，0)0(0，2)2(2，)

12、 g( )00 g( )极大值 3极小值 5 因为 g( )在 R 上只有一个极大值3 和一个极小值 5， 所以过点 N 可以作曲线 f (x)x 3x 的三条切线 . 热点二利用导数解决与函数零点 (或方程的根 )有关的问题 命题角度 1讨论函数零点的个数 【例 21】 (2015全国卷)已知函数 f (x)x 3ax1 4，g(x)ln x. (1)当 a 为何值时， x 轴为曲线 yf (x)的切线； (2)用 min m，n 表示 m，n 中的最小值，设函数h(x)min f (x)，g(x)( x0)，讨 论 h(x)零点的个数 . 解(1)设曲线 yf (x)与 x 轴相切于点 (

13、x0，0)， 则 f (x0)0，f (x0)0.即 x 3 0ax01 40， 3x 2 0a0， 解得 x0 1 2，a 3 4. 因此，当 a 3 4时，x 轴为曲线 yf (x)的切线 . (2)当 x(1，) 时，g(x)ln x0. 所以只需考虑 f (x)在(0，1)的零点个数 . ()若 a3 或 a0， 则 f (x)3x2a 在(0，1)上无零点， 故 f (x)在(0，1)上单调 .而 f (0)1 4，f (1)a 5 4， 所以当 a3 时，f (x)在(0，1)内有一个零点； 当 a0 时，f (x)在(0，1)上没有零点 . ()若30， 即 3 4 3 4或 a

14、0). 令 f (x)0，得 x2， 当 x(0，2)时，f(x)0， 所以函数 f (x)在(0，2)上单调递减，在 (2，) 上单调递增 .所以当 x2时，f (x) 有最小值 f (2) 1 2ln 2. (2)证明由 f (x)ax 2xln x 得 f(x)2ax11 x 2ax 2x1 x ，x0. 所以当 a0 时，f(x) 2ax 2x1 x 0， 所以当 1a0时，函数 f (x)在(0，) 上有零点 . 综上，当 1a0 时，函数 f (x)有且只有一个零点 . 【训练 22】 (2015 江苏卷 )已知函数 f (x)x 3ax2b(a，bR). (1)试讨论 f (x)

15、的单调性； (2)若 bca(实数 c 是与 a 无关的常数 )，当函数 f (x)有三个不同的零点时， a 的取值范围恰好是 ( ，3) 1，3 2 3 2， ，求 c 的值. 解(1)f (x)3x22ax，令 f (x)0， 解得 x10，x2 2a 3 . 当 a0 时，因为 f (x)3x 20， 所以函数 f (x)在( ，) 上单调递增； 当 a0 时，x ， 2a 3 (0，) 时，f(x)0， x 2a 3 ，0时，f( x)0， 所以函数 f (x)在 ， 2a 3 ，(0，) 上单调递增， 在 2a 3 ，0 上单调递减； 当 a0 时，x( ，0) 2a 3 ， 时，f

16、(x)0，x 0， 2a 3 时，f(x) 0，所以函数f (x)在( ，0)， 2a 3 ， 上单调递增，在0， 2a 3 上单调递 减. (2)由(1)知，函数 f (x)的两个极值为 f (0)b， f 2a 3 4 27a 3b，则函数 f (x)有三个零点等价于 f (0) f 2a 3 b 4 27a 3b 0， 从而 a0， 4 27a 3b0或 a0， 0b 4 27a 3. 又 bca，所以当 a 0 时， 4 27a 3ac0 或当 a0 时，4 27a 3ac0. 设 g(a) 4 27a 3ac，因为函数 f (x)有三个零点时， a 的取值范围恰好是 ( ，3) 1，

17、3 2 3 2， 则在( ，3)上 g(a)0，且在 1， 3 2 3 2，上 g(a)0 均恒成立 . 从而 g(3)c10， 且 g 3 2 c10，因此 c1. 此时， f (x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a， 因函数有三个零点，则x2(a1)x1a0 有两个异于 1 的不等实根， 所以 (a1)24(1a)a22a30， 且(1) 2(a1)1a0 ， 解得 a( ，3) 1，3 2 3 2，.综上 c1. 1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方程的公式yy0f (x0)(xx0)，它的难 点在于分清 “ 过点 P 的切线 ” 与“ 在点 P 处的切线 ” 的差异 .突破这

18、个难点的关键是 理解这两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P 不一定是 切点，点 P 也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切线，必以点P 为切 点，则此时切线的方程是yy0f(x0)(xx0). 2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数 图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题. 3.对于存在一个极大值和一个极小值的函数，其图象与x 轴交点的个数，除了受 两个极值大小的制约外，还受函数在两个极值点外部函数值的变化的制约，在 解题时要注意通过数形结合找到正确的条件. 4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程

19、、不等式等多方面知 识，可以全面地考察学生对函数性质、函数图象等知识的综合应用能力，同时 考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位. 一、填空题 1.曲线 yxe x1 在点(0，1)处的切线方程是 _. 解析ye xxex(x1)ex， y|x01，所求切线方程为xy10. 答案xy10 2.(2017 南通调研 )已知两曲线 f (x)2sin x，g(x)acos x，x 0， 2 相交于点 P. 若两曲线在点 P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 _. 解析设 P(x0，y0)，x0 0， 2 ，则 2sin x0acos x0，且 f (x0)g(x0)2co

20、s x0 (asin x0)1，联立以上两式，解得x0 6，则 a 2sin x0 cos x0 2 3 3 . 答案 2 3 3 3.(2016 全国卷)已知 f (x)为偶函数，当 x0 时，f (x)ln(x)3x，则曲线 y f (x)在点(1，3)处的切线方程是 _. 解析设 x0，则x0，f (x)ln x3x，又 f (x)为偶函数， f (x)ln x 3x，f (x) 1 x3，f (1) 2，切线方程为 y2x1. 答案2xy10 4.已知f (x)x 3 f 2 3 x 2x，则 f (x)的图象在点 2 3，f 2 3 处的切线斜率是 _. 解析f (x)3x22f 2

21、 3 x1，令 x2 3，可得 f 2 3 32 3 2 2 f 2 3 2 31， 解得 f 2 3 1，所以 f (x)的图象在点 2 3，f 2 3 处的切线斜率是 1. 答案1 5.已知 yf (x)为 R 上的可导函数，当x0 时，f(x)f（x） x 0，若 g(x)f (x) 1 x，则函数 g(x)的零点个数为 _. 解析令 h(x)xf (x)，因为当 x0 时， x f（x）f（x） x 0，所以 h （x） x 0， 因此当 x0时，h(x)0，当 x0时，h(x)0，又 h(0)0，易知当 x0 时，h(x) 0，又 g(x) h（x）1 x ，所以 g(x)0 ，故函数 g(x)的零点个数为 0. 答案0 6.(2017 扬州调研 )关于 x 的方程 x 33x2a0 有三个不同的实数解，则实数 a 的取值范围是 _. 解析由题意知使函数 f (x)x33x2a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可，