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1、1 数列求和在证明导数类不等式中的应用 例 1. 已知函数( )ln3f xaxaxaR (1) 讨论函数)(xf的单调性 ; (2) 证明 : * 111 1ln(1)() 23 nnN n (3) 证明 : * ln 2 ln 3 ln 4 ln 5ln1 2, 2345 n nnN nn (4) 证明 : * 22222 ln 2 ln3ln4 ln5ln11 2, 23452 n nn nnN nn (5) 证明 : 444442 * 44444 ln 2ln 3ln 4ln 5ln(1) 2, 23454 nn nnN nn (6) 求证 : 222 222 1 21 ln 2ln3
2、ln .2, 2321 nn n nnN nn (7) 求证 : 2222 1111 111. 1 2482 n e nN 例 2. 已知函数( )ln1f xxx? (1) 求( )f x的最大值 ; (2) 证明不等式 : * 12 1 nnn ne nN nnne 例 3. 已知函数 2 ln1fxxx (1) 当0x时, 求证 : 3 ;fxx (2) 当nN 时, 求证 : 333 1 111151 1. 23421 n k f knn n 例 4. 设函数 2 ( )ln(1)0f xxmxm (1) 若12m, 求)(xf的单调区间 ; (2) 如果函数)(xf在定义域内既有极大
3、值又有极小值, 求实数m的取值范围 ; (3) 求证 : 对任意的 * Nn, 不等式 3 11 ln n n n n 恒成立 ? 例 5. 已知函数( )ln(1)(1)1()f xxk xkR, (1) 求函数( )f x的单调区间 ; (2) 若( )0f x恒成立 , 试确定实数k的取值范围 ; (3) 证明 : ln 2ln 3ln(1) 3414 nn n n ,1nN n. 例 6. 已知函数)0()(ac x b axxf的图像在点)1(, 1 (f处的切线方程为1xy? 2 (1) 用a表示出cb,; (2) 若xxfln)(在), 1上恒成立 , 求a的取值范围 ; (3)
4、 证明 :)1( )1(2 )1ln( 1 3 1 2 1 1n n n n n . 例 7. 已知函数 2 ( )2 ln1f xaxx? (1) 当1a时, 求函数( )f x的单调区间及( )fx的最大值 ; (2) 令( )( )g xfxx, 若( )g x在定义域上是单调函数, 求a的取值范围 ; (3) 对于任意的 * 2,nnN, 试比较 22222 ln 2ln 3ln 4ln 5ln n 与 2 32 (1) nn n n 的 大小并证明你的结论? 例 8. 已知函数 1ln(1) ( )(0) x f xx x (1) 函数( )f x在区间(0,)上是增函数还是减函数?
5、证明你的结论 ? (2) 当0x时,( ) 1 k fx x 恒成立 , 求整数k的最大值 ; (3) 试证明 : 23* (1 1 2)(1 2 3)(1 3 4)(1(1)(). n nnenN 例 9. 已知函数ln0fxxax a (1) 若1a, 求fx的单调区间及fx的最小值 ; (2) 若0a, 求fx的单调区间 ; (3) 试比较 222 222 121 ln 2ln3ln .2, 2321 nn n nnN nn 与的大小 , 并证明 ? 例 10. 已知函数ln, a fxx g xxaR x , (1) 若1x时,fxg x恒成立 , 求实数a的取值范围 ? (2) 求证 : ln 2 ln 3ln1 2, 341 n nnN nn 例 11. 已知函数 2 lnfxxxax (1) 若函数fx在其定义域上为增函数, 求a的取值范围 ; (2) 设 1 1 n anN n , 求证 : 222 1212 3.ln12 nn aaaaaannL 例 12. 设各项为正的数列 n a满足 11 1,ln2, nnn aaaanN. 求证 :21 n n a.