椭圆中互相垂直的弦过定点问题.pdf

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1、1 （1）过椭圆 22 22 1 xy ab 的右焦点( ,0)F c作两条互相垂直的弦AB，CD。若弦AB，CD 的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 2 22 (,0) a c ab 。 （2）过椭圆 22 22 1 xy ab 的长轴上任意一点( ,0)()S sasa作两条互相垂直的弦 AB， CD。若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 2 22 (,0) a s ab 。 设AB的直线为xmys，则CD的直线方程为 1 xys m ， 222222 0 xmys b xa ya b ， 22222222 ()2()0m bayb msyb sa， 222222

2、4()0a bm bas， 2 11222 2msb yy m ba ， 222 11222 ()asa yy m ba ， 由中点公式得M 22 222222 (,) a smsb m bam ba ， 将m用 1 m 代换，得到N的坐标 222 222222 (,) a smmsb m abm ab MN的直线方程为 2222 22222222 () () (1) b smabma s yx b maa mb ma ， 令0y， 得 2 22 a s x ab 所以直线MN恒过定点 2 22 (,0) a s ab 。 （3）过椭圆 22 22 1 xy ab 的短轴上任意一点(0, )(

3、)Ttttt作两条互相垂直的弦AB， CD。若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 2 22 (0,) b t ab 。 2 （4） 过椭圆 22 22 1 xy ab 内的任意一 点 22 22 ( , )(1) st Q s t ab 作两条互相垂直的弦AB，CD。 若弦AB，CD的中点分别为M，N，那么直线MN恒过定点 22 2222 (,) a sb t abab 。 设AB的直线为()xsm yt，则CD的直线方程为 1 ()xsyt m ， 222222 () 0 xsm yt b xa ya b ， 2222222222 ()2()()0m baybmsm t y

4、bsmta b， 2 11 222 2()mbsmt yy m ba ，由中点公式得 22 222222 ()() (,) asmtmbmts M m bam ba 直线MN的方程为： 22 222222 ()() () MN b m mtsasmt ykx b mab ma ， 即 22 2222 () MN a sb t ykx abab ，所以直线MN恒过定点 22 2222 (,) a sb t abab 。 3 重庆高 2018 级理科二诊20（本题满分12 分） 已知 1( 1,0) F， 2(1,0) F是椭圆 22 1 43 xy 的左右焦点。（2）过 2 F作两条互相垂直的直

5、 线 1 l与 2 l（均不与x轴重合）分别与椭圆交于ABCD四点。线段AB，CD的中点分别是M， N，求证：直线MN过定点，并求出该定点坐标。 设直线:(1)AB yk x，联立椭圆方程 22 3412xy得： 2222 (43)84120kxk xk， 22 22 184 2 4343 M kk x kk ， 22 22 184 2 4343 M kk y kk ， 2 2 2 4 4 4 34 3 N k x k k , 2 13 (1) 34 NN k yx kk 由题意，若直线BS关于x轴对称后得到直线B S， 则得到的直线ST与ST关于y轴对称， 所以若直线ST经过定点，则该定点一

6、定是直线ST与ST的交点，该点必在x轴上。 设该定点坐标( ,0)t， NMMNMNM MNMNM yyx yy xy t txxxyy ，代入,M N坐标化简得 4 7 t，所以过定点 4 (,0) 7 。 4 结论（一）以 00 (,)xy为直角定点的椭圆 22 22 1 xy ab 内接直角三角形的斜边必过定点 2222 00 2222 (,) abba xy abba 。 推论 1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y轴上 。 证明：设右顶点(0, )Pb，设ykxb， 1 yxb k 222222 0 ykxb b xa ya b ， 22222 ()20

7、a kbxa bkx， 2 1 222 2 , a bk x a kb ，将k换成 1 k 得： 2 2 222 2a bk x ab k 由题意，若直线BS关于y轴对称后得到直线B S， 则得到的直线ST与ST关于x轴对称， 所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线ST与ST的交点，该点必在y轴上。 设该定点坐标(0, ) t， 1212 1211212 1212121 1 ()()kxb xxxb tyyyy xx y k t xxxxxxx ， 222 21 22 21 1()x xkb ba tb kxxba ，所以过定点 22 22 () (0,) b ba ba 。 推论 2：以

8、右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x轴上 。 证明：设右顶点( ,0)P a，设xmya， 1 yxa m 222222 0 xmya b xa ya b ， 22222 ()20b mayb amy， 2 1222 2b am y b ma ，将m换成 1 m 得： 2 2222 2b am y ba m 由题意，若直线BS关于x轴对称后得到直线B S， 则得到的直线ST与ST关于y轴对称， 所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线ST与ST的交点，该点必在x轴上。 设该定点坐标( ,0)t， 1212 1211212 1212121 1 ()()mya yyya

9、 yyyx yy x m t txxxyyyy ， 5 222 21 22 21 1()y yma ab ta myyab ，所以过定点 22 22 () (,0) a ab ab 。 下面探求ABP面积的最大值： 22 22 ()a ab xmy ab 代入椭圆得： 2244 22222 22222 ()4 ()20 () a aba b b maybmy abab 242224 222 4()4 () a babma ab ， 222422224 212222222222222 ()41()2 ( 2() ABP abmaa ababa b Sayy ababab mabab m 24 2

10、22 4 () a b ab ，当且仅当0m时等号成立取最大值。面积在 2 m0,)单调递减。 结论2：以 00 (,)xy为直角定点的抛物线 2 2ypx内接直角三角形的斜边必过定点 0 (2xp， 0) y 结论3：以 00 (,)xy为直角定点的双曲线 22 22 1 xy ab 内接直角三角形的斜边必过定点 2222 002222 (,) abab xy abba 重庆高 2018 级文科二诊20（本题满分12 分） 已知 1( 1,0) F， 2(1,0) F是椭圆 22 1 43 xy 的左右焦点，B为椭圆的上顶点。 （2）过点B作两条互相垂直的直线与椭圆交于S，T两点（异于点B）

11、，证明：直线ST 过定点，并求该定点的坐标。 （ 2 ） 解 ： 设 1122 (,),(,)S xyT xy， 直 线:3BS ykx， 联 立 椭 圆 方 程 得 ： 22 (43)8 30kxkx， 1 2 8 3 43 k x k ， 22 2 8 3 8 3 4 34 3 k k x k k ， 由题意，若直线BS关于y轴对称后得到直线B S， 则得到的直线ST与ST关于x轴对称， 所以若直线ST经过定点，则该定点一定是直线ST与ST的交点，该点必在y轴上。 6 设该定点坐标(0, ) t， 1212 1211212 1212121 1 (3)(3)kxxxx tyyyy xx y

12、k t xxxxxxx ， 代入 1 x， 2 x化简得 3 7 t，所以过定点 3 (0,) 7 。 重庆巴蜀中学高2018 级届月考卷九理科20（本小题满分12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab 的左右焦点分别是 1 F， 2 F， 上顶点M， 右顶点为(2,0)N， 12 MF F 的外接圆半径为2。 （1）求椭圆C的标准方程；(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的 圆经过点N，求ABN面积的最大值。 解：（）右顶点为 (20)，2a， 12 2MFMF， 12 1 sin 2 MObb MF F MFa ， 2 12 24 24 sin 2 MF R b

13、 MF Fb ，1b， 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 x y（4 分） （）设直线l 的方程为 myxb ， 1122()()A xyB xy， 与椭圆联立得 222 (4)240mymbyb， 2 1212 22 24 44 mbb yyy y mm ，（6 分） 以AB为直径的圆经过点N ，0NANB， 1122(2)(2)NAxyNBxy， 1212122()40x xxxy y，（7 分） 1212 2 8 ()2 4 b xxm yyb m ， 22 22 1 21212 2 44 () 4 bm x xm y ymb yyb m ， 代入式得 2 516120bb， 6 5 b

14、或2b（舍去）， 故直线 l 过定点 6 0 5 ，（9 分） 2 2 12 2222 1024 16 16282564 25 2| 255(4)25(4) ABN m m Syy mm ， （ 10 分） 7 令 2 2 2564 ( )0) (4) t h ttm t ， 则 228 ( )02512811204 25 h tttt， ( )h t 在0)t，上单调递减， max ( )(0)4h th， 0m时， max 16 25 ABNS （12 分） (一般化结论 )：直线AB与椭圆 22 22 :1 xy C ab 交于,A B两点，P为上顶点。 (1) 若 PAPB kkt，则

15、直线AB过定点；（ 2）若 PAPB kkt，则直线AB过定点； 证明：设直线AB方程为ykxm， 222222 0 ykxm b xa ya b ， 22222222 ()2()0bk axkma xamb， 222222 4()0a bk abm， 2 11222 2kma xx k ab ， 222 11222 ()amb xx k ab ， （1） 1212 1212 PAPA ybybkxmbkxmb kkttt xxxx 2222 2222 1212 222222 ()2 ()()()()0()()()0 amba km kt x xk mb xxmbktk mbmb a kba

16、kb 等式两边同时除以()mb，化简得： 2222222 ()()2()()0kt amba k mmb a kb 22222222222223 20a k ma k ba mta bta k ma k mb ma k bb 22 22 ba t mb ba t ，所以直线AB过定点 22 22 (0,) ba t b ba t 。 121212 12121 2 ()() (2)2 PAPA ybybkxmbkxmbmb xx kktttkt xxxxx x 2 ()() 2(2 ) 22 b x t mbt mb kyxmbytbxtxb m t bb yb 8 2018 年全国卷1 理科（

17、 12 分） 已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 0ab，四点 1 11P， 2 01P， 3 3 1 2 P ， ， 4 3 1 2 P ， 中 恰有三点在椭圆C上。（ 1）求C的方程； （ 2）设直线l不经过 2 P点且与C相交于 A、B两 点，若直线 2 P A与直线 2 P B的斜率的和为 1，证明： l过定点。 解析： （1）根据椭圆对称性， 必过 3 P、 4 P，又 4 P横坐标为 1，椭圆必不过 1 P，所以过 234 PPP， 三点，将 23 3 011 2 PP，代入椭圆方程得，解得 2 4a， 2 1b椭圆 C 的方程为： 2 2 1 4 x y。 （2）当斜率不存

18、在时，设 : AA lxmA myB my， 22 112 1 AA P AP B yy kk mmm 得2m，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足。 当斜率存在时，设1lykxb b 1122 A xyB xy， 联立 22 440 ykxb xy ，整理得 222 148440kxkbxb 12 2 8 14 kb xx k ， 2 12 2 44 14 b xx k 则 22 12 12 11 P AP B yy kk xx 212121 12 xkxbxxkxbx x x 22 2 2 2 8888 14 44 14 kbkkbkb k b k 81 1 411 k b b

19、b ，又 1b21bk， 此时64k ， 存在 k 使得0成立直线 l的方程为21ykxk ， 当 2x 时，1y， 所以 l 过定点 21， 。 （一般化直角弦过定点） 过 22 22 1 xy ab 上一点 00 (,)P xy作两条互相垂直的弦PA、PB， 试研究弦AB是否过定点？ 解： 设 1122 ( , ) , ( , )Ax y Bx y， 由P AP B得到 01020102 ()()()()0xxxxyyyy 设直线:AB的方程为ykxm（斜率不存在时容易证明） 222 2 22 22222 22 ()12 1()10 1 ykxm xkxmkkxm x xy abaab a

20、b 9 22 00 22 01022 22 () 1 ()() 1 xkxm ab xxxx k ab 又P在椭圆上 22 00 22 01022 22 () ()() 1 kxmy bb xxxx k ab 同理可得： 22222 0000 22222 01022 222 22 ()() ()() 11 1 ymxymk x k aaaa yyyy k k ab ab 将两式代入到得 00000000 22 ()()()() 0 kxymkxymymkxymkx ba 点P不在直线:ABykxm上， 00 0ymkx 0000 22 kxymymkx ba 整理得： 2222 00 2222

21、 () abab ykxm abab 直线AB过定点 2222 00 2222 (,) abab xy abab 注：引理：若 1 x、 2 x是方程 2 ( )0(0)f xaxbxca的两个实数根，则 0 0102 () ()() f x xxxx a 。 证 法 思 路 二 ： 设 00 (,)P xy在 椭 圆 上 ， 即 22 00 22 1 xy ab ， 设 00 ()yyk xx， 00 1 ()yyxx k 00 222222 () 0 yyk xx b xa ya b ， 22222222 0000 ()2()()0bk axa k ykx xaykxb， 222 0000

22、0 011222222 2()(2)a k ykxaxkyb x xxx k abk ab ， 222 000 2222 (2)axkyb k x x k ba 2 120 21 2121 11 AB k kxxx yy kk k xxxx 21 11 21 yy yyxx xx 2222 00 2222 () AB baab yxkxx abab ， 10 所以过定点 2222 002222 (,) abba xy abba 。 已知椭圆 22 22 1 xy ab 过点(0,1)P，离心率为 6 3 ，A、B是椭圆上两个动点，且直线PA、 PB的斜率之积为 2 3 。（ 1）求椭圆标准方程； 2 2 1 3 x y（2）求PAB面积的最大值。