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1、专题：解三角形解答题 1.【A】在 b、c，向量2sin,3mB， 2 cos2 ,2cos1 2 B nB，且 /mn。 （I）求锐角 B 的大小；（II）如果2b，求ABC的面积 ABC S的最大值。 (1)解：mn 2sinB(2cos2 B 21) 3cos2B 2sinBcosB3cos2B tan2B3 02B,2B 2 3 ,锐角 B 3 (2)由 tan2B3 B 3或 5 6 当 B 3时，已知 b2，由余弦定理，得： 4a2c2ac2ac acac(当且仅当 ac2 时等号成立 ) ABC 的面积 SABC1 2 acsinB 3 4 ac3 ABC 的面积最大值为3 当
2、B5 6 时，已知 b2，由余弦定理，得： 4a2c23ac2ac3ac(23)ac(当且仅当 ac62时等号成立 ) ac4(2 3) ABC 的面积 SABC1 2 acsinB1 4ac2 3 ABC 的面积最大值为 23 1. 【B】在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a，b，c，且. 2 1 222 acbca （1）求B CA 2cos 2 sin 2 的值；（2）若 b=2，求ABC 面积的最大值 解：(1) 由余弦定理： conB=1 4 sin 2 2 AB +cos2B= - 1 4 （2）由 . 4 15 sin, 4 1 cosBB得 b=2， a 2 +c
3、2 =1 2ac+42ac, 得 ac 3 8 ,SABC= 1 2acsinB 3 15 (a=c时取等号 ) 故 SABC 的最大值为 3 15 2.【A】已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角 A，B，C 的对边， a2，且(2 b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC 面积的最大值为 _ 【解析】由正弦定理得 (2b)(ab)(cb)c，即 (ab)(ab)(cb)c，即 b2 c 2a2bc，所以 cos Ab 2c2a2 2bc 1 2，又 A(0，) ，所以 A 3，又 b 2c2 a 2bc2 bc4，即 bc4 ，故 S ABC1 2bcsin A 1 2
4、 4 3 2 3，当且仅当 bc 2 时，等号成立，则 ABC 面积的最大值为3. 2. 【B】 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为abc， ， 已知cossin.abCcB (1)求 B； (2)若 b2，求ABC 面积的最大值 【解析】 (1)由已知及正弦定理得 sin Asin Bcos Csin Csin B 又 A (BC)，故 sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C 由和 C(0，)得 sin Bcos B. 又 B(0，)，所以 B. 4 (2)ABC 的面积 S 1 sin 2 acB 2 4 ac. 由已知及余弦定理得 22 42cos. 4
5、acac . 又 22 2acac，故 4 2 2 ac，当且仅当 ac 时，等号成立 因此ABC 面积的最大值为2+1. 3. 【AB】 在ABC 中， 角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 且.c o sc o s3c o sBcBaCb （I）求 cosB 的值；（II）若2BCBA，且22b，求ca和b 的值. 解： （I）由正弦定理得 CRcBRbARasin2,sin2,sin2 ， ,0sin.cossin3sin ,cossin3)sin( ,cossin3cossincossin ,cossincossin3cossin ,cossin2cossin6cossi
6、n2 ABAA BACB BABCCB BCBACB BCRBARCBR 又可得 即 可得 故 则 因此 . 3 1 cosB 6 分 （II）解：由 2cos,2BaBCBA可得 ， ,0)( ,12 ,cos2 ,6, 3 1 cos 2 22 222 caca ca Baccab acB 即所以 可得 由 故又 所以 ac6 4.【AB】在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5，c =7 ， 且. 2 7 2cos 2 sin4 2 C BA (1) 求角 C 的大小；（2）求ABC 的面积 . 解：(1) A+B+C=180 由 2 7 2cos 2 c
7、os4 2 7 2cos 2 sin4 22 C C C BA 得 2 7 )1cos2( 2 cos1 4 2 C C 整理，得 01cos4cos4 2 CC 解 得： 2 1 cosC 5 分 1800C C=60 （2）解：由余弦定理得： c2=a2+b22abcosC ，即 7=a2+b2ab abba3)(7 2 由条件 a+b=5得 7=253ab ab=6 2 33 2 3 6 2 1 sin 2 1 CabSABC 5.【AB】在ABC 中，已知 AB2，AC3，A60 . (1)求 BC 的长； (2)求 sin 2C 的值 【解析】 (1)由余弦定理知， BC 2AB2A
8、C22AB AC cos A 492 2 3 1 27， 所以 BC7. (2)由正弦定理知， AB sin C BC sin A， 所以 sin CAB BC sin A 2sin 60 7 21 7 . 因为 ABBC，所以 C 为锐角， 则 cos C1sin 2C3 1 7 2 7 7 . 所以 sin 2C2sin C cos C2 21 7 2 7 7 4 3 7 . 6.【A】在ABC中，已知 2222 () sin()() sin()abABabAB ,判断该三角形 的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 22 sin()sin() sin()sin()a
9、ABABbABAB 22 2cossin2cossinaABbBA 由正弦定理，即知 22 sincossinsincossinAABBBA sinsin(sincossincos)0ABAABB sin 2sin 2AB 由02 ,22AB，得22AB或22AB 即ABC为等腰三角形或直角三角形 6.【B】在中，分别为内角的对边， 且 （）求的大小； （）若，试判断的形状 . 解： （）由已知，根据正弦定理得 即 由余弦定理得 故 （）由（）得 又，得 因为， 故所以是等腰的钝角三角形。 7.【A】在ABC 中，已知 ab a sin B sin Bsin A，且 cos(AB)cos C1
10、cos 2 C. (1)试确定 ABC 的形状； (2)求 ac b 的取值范围 解：(1)在ABC 中，设其外接圆半径为R， 根据正弦定理得， sin A a 2R，sin B b 2R， 代入 ab a sin B sin Bsin A，得 ab a b ba， 所以 b 2a2ab. 因为 cos(AB)cos C1cos 2C， 所以 cos(AB)cos(AB)2sin 2C， ABCabc、 、 ABC、 、 2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC A sinsin1BCABC cbcbcba)2()2(2 2 bccba 222 Abccbacos2 222 120,
11、 2 1 cosAA .sinsinsinsinsin 222 CBCBA 1sinsinCB 2 1 sinsinCB 900,900CB BC ABC 所以 sin Asin Bsin2C. 由正弦定理，得 a 2R b 2R c 2R 2 ， 所以 abc 2. 把代入得， b2a2c2，即 a2c2b2.所以ABC 是直角三角形 (2)由(1)知 B 2，所以 AC 2， 所以 C 2A. 所以 sin Csin 2A cos A.根据正弦定理，得 ac b sin Asin C sin B sin Acos A2sin A 4 . 因为 0A 2，所以 4A 4 3 4 . 所以 2
12、 2 sin A 4 1 ，所以 12sin A 4 2， 即ac b 的取值范围是 (1，2 7. 【B】 .已知ABC的三个内角A B C,所对的边分别为 a， b， c， 向量(,)mac ba， (, )nac b,且mn. ()求角C的大小； ()若 22 2sin2sin1 22 AB ，判断 ABC的形状 8.【AB】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin(AC)8sin 2B 2. (1)求 cos B； (2)若 ac6，ABC 的面积为 2，求 b. 解：(1)由题设及 ABC得 sin B8sin2 B 2， 即 sin B4(1cos B)，
13、 故 17cos 2B32cos B150， 解得 cos B 15 17或 cos B1(舍去) (2)由 cos B 15 17，得 sin B 8 17， 故 S ABC1 2acsin B 4 17ac. 又 SABC2，则 ac17 2 . 由余弦定理及 ac6 得 b 2a2c22accos B (ac) 22ac(1cos B) 362 17 2 1 15 17 4. 所以 b2. 9. 【AB】ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin A3cos A0， a2 7，b2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 ADAC，求ABD 的面积
14、 解：(1)由已知可得 tan A3，所以 A2 3 . 在ABC中，由余弦定理得284c 24ccos 2 3 ， 即 c 22c240. 解得 c4(负值舍去 ) (2)由题设可得 CAD 2， 所以 BADBACCAD2 3 2 6. 故ABD 的面积与 ACD 的面积的比值为 1 2AB AD sin 6 1 2AC AD 1. 又ABC的面积为 1 2 4 2 sin 2 3 2 3， 所以ABD 的面积为3. 10. 【AB】 已知ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c， 且 3 c o ss i n 3 a bCcB. （1）求B； （2）若点D为边AC的中点， 1
15、BD ，求 ABC面积的最大值 . 即 3 sinsincossinsin 3 BCBCCB， 3 sincoscossinsincossinsin 3 BCBCBCCB， 3 cossinsinsin 3 BCCB.又由C为ABC的内角，故而sin0C， 所以 tan3B，又由B为 ABC的内角，故而 2 3 B. （2）因为点 D为AC边的中点，故而 2BDBABC ， 两边平方得 222 42cosBDBABA BCABCBC ， 又由（ 1）知 2 3 ABC，设,BAc BCa，即 22 4acac， 所以 22 42acacac，即4ac，当且仅当2ac时取等号 . 又 13 si
16、n 24 ABC SACABCac， 故而当且仅当2ac时， ABC S取到最大值3 . 11. 【 A 】 在中 ， 角所 对 的 边 为, 且 满 足 （I）求角的值； （II）若且，求的取值范围 解： （1）由已知 得，化 简 得故 （2）因为，所以， 由正弦定理，得 a=2sinA,c=2sinC， 因为，所以，所以 11.【B】在ABC中，(sin,cos),(cos ,sin)mACnBA ，且sinsinm nBC （1）求证：ABC为直角三角形 （2）若ABC外接圆的半径为1，求ABC的周长的取值范围 （1）由(sin,cos),(cos ,sin)mACnBA ，且sinsi
17、nm nBC 得sincossincossinsinABACBC， ABCCBA、cba、 cos2cos22coscos 66 ABAA B 3babca 2 1 cos2cos22coscos 66 ABAA 222231 2sin2sin2cossin 44 BAAA 3 sin 2 B 2 33 B或 ba 3 B 3 2 sinsinsin3 2 acb ACB 12 2sinsin2sinsin 23 33 sincos3sin 226 acACAA AAA ba 2 , 33662 AA 13 3sin, 3) 262 acA 由正弦定理得coscosaBaCbc， 由余弦定理得
18、 222222 22 acbabc aabc acab 整理得 222 ()()0bc abc 又由于0bc，故 222 abc，即ABC是直角三角形 （或者：由sincossincossinsinABACBC得， sincossincossin()sin()ABACACAB 化简得cos(sinsin)0ABC，由于sinsin0BC，故cos0A， 即ABC是直角三角形） （2）设ABC内角,A B C所对的边分别为, ,a b c 由于ABC外接圆的半径为1， 2 A，所以2sin2aRA， 所以2 (sincos)2(sincos)2 2 sin() 4 bcRBBBBB 又0 2 B
19、，故 3 444 B，因而22sin()(2, 2 2 4 B 故 422 2abc 即ABC的周长的取值范围为(4,22 2 12.【AB】在ABC中,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知2sin3cosAA （1）若 222 acbmbc，求实数 m的值 （2）若3a，求ABC面积的最大值。 （1）由2sin3cosAA两边平方得 2 2sin3cosAA 即(2cos1)(cos2)0AA，解得 1 cos 2 A 由 222 acbmbc得 222 22 bcam bc 即 1 cos 22 m A，所以1m （2）由（ 1）知 1 cos 2 A，则 3 sin 2 A，
20、又 222 1 22 bca bc ，所以 2222 2bcbcabca，即 2 bca， 故 21133 3 sin 2224 ABC SbcAa 13.【A】如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC，AB2，BD5，BCD 2ABD，ABD 的面积为 2. (1)求 AD 的长； (2)求CBD 的面积 解 ： (1) 由 已 知SABD 1 2 AB BD sinABD 1 2 2 5 sinABD2，可得 sinABD2 5 5 ， 又BCD2ABD，所以 ABD 0， 2 ， 所以 cosABD 5 5 . 在ABD 中，由余弦定理AD 2AB2BD22 AB BD cosABD，可得 AD2 5， 所以 AD5. (2)由 ABBC，得 ABDCBD 2， 所以 sinCBDcosABD 5 5 . 又BCD2ABD，所以 sinBCD2sinABD cosABD4 5， BDC CBDBCD 2ABD 2ABD 2 ABD CBD， 所以CBD 为等腰三角形，即CBCD. 在CBD 中，由正弦定理 BD sinBCD CD sinCBD，