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1、1 运用“分拆”法证明一类轮换对称不等式 徐彦辉 （浙江省温州大学数信学院325035） 纵观国内外数学奥林匹克中的不等式试题, 有不少试题是关于轮换对称的不 等式, 轮换对称不等式形式优美, 证明技巧很多 , 但规律难寻 . 笔者最近发现运用 “分拆法”可统一证明一类轮换对称不等式, 特写出来供大家参考 . 1. 凑配型构造 例 1. 已知, ,a b cR + ?,且 222 3abc,求证: 333 3abc. 证明: 由均值不等式得 332332332 13,13,13aaabbb ccc , 以上三式相加并整理得 222 3333()3 3 2 abc abc. 例 2. 已知,a
2、b c为正数 , 求证: 222222 3()aab bbbc ccca aa b c. 证明: 由 22 2abab得 22222 4()3(2)3()aabbaabbab , 即 22 23()aab ba b , 同理可得 2222 23(),23()bbc cb ccca ac a , 所以, 222222 2() 2 3()aab bbbc ccca aa b c , 故原不等式成立 . 例 3. 设, ,a b cR?,求证: 444 444444444 1 4442 abc abcabcabc +? + . 证明: 由均值不等式得 44444444422222222 42()()
3、2222(),abcaabacaa ba caabc+=+?+=+ 则 442 4442222222 , 42()2() aaa abcaabcabc ? + 同理, 42 444222 , 42() bb abcabc + 42 444222 , 42() cc abcabc + 以上三式相加即得 444 444444444 1 4442 abc abcabcabc +? + . 例 4(1997 年美国奥赛题 )已知,a b c为正数 , 求证: 333333 1111 ababcbcabccaabcabc . 证明: 由 3322 ()aba babab ab 得 33 () abcab
4、cc ababcab ababcabc , 同理可得 3333 , abcaabcb bcabcabc caabcabc , 所以, 333333 1 abcabcabc ababcbcabccaabc , 故原不等式成立 . 2 2. 巧设配偶因子 例 5（第 19 届北欧竞赛题）设, ,a b c是正实数 , 求证: 222 222abc abc bccaab . 证明: 令0, 由均值不等式得 2 2 ()22 a bca bc , 等号成立当且仅当 2 2 () a bc bc 即 2 2 2 () a bc . 又易知所证不等式等号成立的条件是abc, 此 时 1 2 . 则有 2
5、2 2 2 abc a bc , 同理有 2 2 2 2 bca b ca , 2 2 2 2 cab c ab , 将这 三个不等式相加化简即得所证不等式 222 222abc abc bccaab . 例 6. 设, ,a b c是正实数 , 且 222 3abc, 求证: 111 1 1 2121 2abbcca . 证明: 令0, 由均值不等式得 1 (12)2 12 ab ab , 此不等式等号成 立条件是 1 (12) 12 ab ab 即 2 1 (12)ab . 又易知所证不等式等号成立的条 件是1abc, 此时 1 9 . 则有 112 (1 2) 1 293 ab ab ,
6、 同理有 112 (1 2) 1293 bc bc , 112 (1 2) 1 293 ca ca , 将这三个不等式相加得 , 1111 2(3 222 ) 1 21 21 29 abbcca abbcca . 又由均值不等式可得 , 222 62()222abcabbcca , 代入上式得所证 不等式 111 1 1 21 212abbcca . 例 7. 若 12 , n x xx 为小于 1 的正数且 12 1 n xxx,m nN且 2,2mn , 则 1 1122 111 1 m mmmm nn n xxxxxxn . 证明: 因(0,1),(1,2, ) i xin , 则(0,
7、1) m ii xx. 令0, 3 由均值不等式得 1 ()2 m iim ii xx xx , 此不等式等号成立的条件是 1 () m iim ii xx xx , 即 2 1 () m ii xx . 又易知所证不等式等号成立的条件是 1 ,(1,2, ) i xin n , 此时 2 12 (1) m m n n , 则 2 121 12 () (1)1 mm m iimmm ii nn xx xxnn , 即 2 112 12 () 1(1) mm m iimmm ii nn xx xxnn , 其中1,2,in, 将这n个不等式相加得 , 12 112 111 12 () 1(1)
8、mmnnn m ii mmm iiiii nn xx xxnn . 因为 12 1 n xxx, 所以 11 1 nn m ii m ii xx nnn , 即 1 1 1 n m i m i x n , 代入上述 不等式化简即证得 : 1 1122 111 1 m mmmm nn n xxxxxxn . 3. 线性构造 例 8. 设 , ,a b cR , 且1abc, 求证: 222 333 9 111 abc abc . 证明: 注意到, ,a b cR , 且在 1 3 a b c时取得 . 不放设 2 3 3(1 3 ) 1 a ka a 恒成立 , 化简可得 2 2 (13 )()
9、 0 1 aakka a . 欲满足构造条件 , 分子 2 (1 3 )()a akka必含 有 2 (1 3 )a, 2 ()akka中必还含有(13 )a, 则我们有 11 0 39 kk, 解得 3 10 k. 此时, 2 33 3(13 ) 110 a a a 2 2 (1 3 ) (3) 0 10(1) aa a . 同理, 2 33 3(13 ) 110 b b b , 2 33 3(13 ) 110 c c c , 三式累加得 : 222 3333 9(13 )(13 )(13 )0 11110 abc abc abc , 即 222 333 9 111 abc abc (当且仅
10、当 1 3 abc时取等号 ). 例 9. 设 , ,a b cR , 且1abc, 求证: 3 1114 abc bca . 4 证明: 联系已知及不等号成立条件, 不妨假设 3 (13 ) 14 a akab b 恒成立 , 化简得 (13 )14 (1) 0 4(1) bk b a b . 同上例的分析 , 解得 3 16 k. 此时, 33 (13 ) 1416 aa ab b 159 11616 a aab b . 同理, 159 11616 b bbc c , 159 11616 c cca a . 三式累加得 159 ()() 1111616 abc abcabbcca bca
11、. 由1abc, 故 2 ()1abc, 则 2 ()1 33 abc abbcca, 所以, 3 1114 abc bca ( 当且仅当 1 3 abc时取等号 ). 例 10. 设 3 , , 4 a b c, 且1abc, 求证 : 222 9 11110 abc abc . 证明: 设待定系数, 使 2 31 () 1103 a a a 恒成立 , 即 2 (31)(3) (31) 10(1)3 aa a a . 考虑此式等号成立 , 应有 2 (31)(3) (31) 10(1)3 aa a a , 解得 18 25 . 此时, 2 3181 () 1 10253 a a a 2 (
12、31) (43)0aa. 则当时显然成立 . 所以, 2 3181 () 1 10253 a a a , 同理, 2 3181 () 1 10253 b b b , 2 3181 () 110253 c c c . 三式累加得 222 918 (1)0 1111025 abc ab c abc . 证毕. 4. 齐次构造 例 11( 数学通报1435号问题 )已知,a b为正数 , 求证:1 33 ab abba . 证明: 由均值不等式知 333331 244442 3ba ba ba b, 则 3333311 2244222 23(3 )aba baa b a ab , 即 3311 44
13、42 (3 )abaab , 即 3 4 33 44 3 aa ab ab , 同理可得 3 4 33 44 3 bb ba ab , 所以,1 33 ab abba . 如果将 ,a b分别换成 22 ,ab, 即可得到一个新的不等式 , 即例 11. 3 4 a 5 例 12(数学通报1454号问题 )已知,a b为正数 , 求证: 2222 1 33 ab abba . 例 13. 已知,a b c为正数 , 且1abc, 求证: 111 1 121212abc . 证明: 由均值不等式知 2211 3333 2()2bcbca , 则 2 3 222 333 1 12 a a abc
14、, 同理可得 22 33 222222 333333 11 , 1212 bc bc abcabc , 所以, 111 1 121212abc . 例 14(1963 年莫斯科奥赛题 )已知, ,a b c为正数 , 求证: 3 2 abc bccaab . 证明: 由均值不等式知 33313331 22222222 3,3abba bacca c, 则 3331 2222 2() 3 ()abca b c , 即 3 2 333 222 3 2() aa bc abc , 同理可得 33 22 333333 222222 33 , 2()2() bbcc caab abcabc , 所以,
15、3 2 abc bccaab . 例 15. 已知, ,a b c为正数 , 求证:(1) 2 abc bcacab ;(Macedonia 1995) (2) 333 2 abc bcacab .（2010年南昌大学附中青年数学教师解题比赛题） 证明:（1）从局部入手 , 先证 2aa bcabc , 即只要证 2 2 4 () aa bcabc , 即只要证 2 ()4 ()abca bc , 即只要证 2 ()0abc, 显然成立 . 同理 , 2bb acabc , 2cc ababc . 显然, 这三个等号不能同时成 立, 故原不等式成立 . （2）从局部入手 , 先证 3 2aa
16、bcabc . 即只要证 3 3 8 () aa bcabc , 即只要证 23 ()() 2 abc abc, 即只要证 23 2()2() 2 abc bc a, 即只要证 23333 222 2()()( ) ()2() 332 bcaaabc bc aabc？ 同理, 3 2bb caabc , 3 2cc ababc . 显然 , 这三个等号不能同时成立, 故原不等式成立； 6 从局部入手 , 如果可证 12 33 1222 3333 2 () aa bcabc , 则三式相加即得原不等式. 下面来证明 : 22211 33333 2()abcabc. 易知 2211 3333 ()
17、2()abcabc, 即只需证 222 333 ()bcbc, 即只需证 22 32 33 ()()bcbc, 而这是显然的 . 当然 , 本题结论推广到 n次根号下依然成立 . 先从局部入手, 只需证明 12 1222 2 () nn nnnn aa bcabc . 即只需证 22211 2() nnnnn abcabc. 易知 2211 ()2() nnnn abcabc, 即只需证明 222 () nnn bcbc. 设 1 n xb, 1 n yc , 即只需证 222 ()() nnn xyxy, 这个式子由二项式展开易知. 证毕. 例 16.(IMO42-2) 已知, ,a b c
18、为正数 , 求证: 222 1 888 abc abcbaccab . 证明: 设 2 8 x xxx aa abc abc , 即只要证 2222 ()(8) xxxx aabcaabc , 即只要证 2222 ()(8 ) xxxx abcaabc, 即只要证 22222 2 () ()8 xxxxxxxx aa bcbcaabc, 即只要证 222 2()()8 xxxxxx a bcbcabc. 由于 2 2 2 xx xx bcbc, 则只要证 222 2 22 2 22(2)8 xxx x xx abcbcabc , 即只要证 2 2 2 2 2 x x xx xx abcbcab
19、c. 由于 3333 2222244 22 xxx xxxx xxxx a b cb ca bca bc, 所以只需 33 22 244 x xx x a b cabc. 显然 , 取 4 3 x满足要求 . 即 4 3 444 2 3338 aa abc abc , 同理可得 44 33 444444 22 333333 , 88 bbcc baccab abcabc , 所以 222 1 888 abc abcbaccab . 5. 变形后再凑配 例 17( 数学通报 2332 号问题 ) 已知, , ,0,1a b c dabcd, 求证: 1111 1 1111bcdcdadababc
20、 . 证明: 设正数, , ,x y z w, 使得 4444 ,xa yb zc wd , 则1xyzw. 7 于是, 应用切比雪夫不等式和三元均值不等式得 4443331 1()()() 3 bcdyzwxyzwyzwyzwxyzwyzw yzwxyzw () xyzw yzw xyzw x , 即 1 1 x bcdxyzw , 同理, 111 , 111 yzw c daxyz w da bxyzw a b cxyz w , 所以, 1111 1 1111 xyzw b c dc d ad a ba b cx y z w x y z w x y z w x y z w . 例 18.
21、设x、y、z是非负数 , 且3 222 zyx,求证: 3 222 yxz z xzy y zyx x . 证明: 222222 )( 3)(zyxzyxzyxzyx, 由柯西不等式可得 :zyxzyzyx)1)( 2 . 则 zyx zyx zyx x1 2 ,同理, zyx yxz yxz z zyx xzy xzy y11 22 ，, 故 zyx yxzxzyzyx yxz z xzy y zyx x111 222 , 再用柯西不等式得 : 2 2 222 3 (111)( ) () 2()()(222) () xyzyzxzxyxxxyxzyyyzxy zzzxzy xyzxyyzzx
22、xyzxyzxyyzzxxyz xyz 即:zyx zyx zyx zyx yxzxzyzyx 2 3 )( 111 3 222 zyx. 故3 222 yxz z xzy y zyx x ,当且仅当1zyx时,不 等式等号成立 . Example 19.Let,a b cbe positive real numbers, Prove that 8 3 3 323 aababcababc a . Solution.We have that 33 3 2 ab aababcaababc Now we will prove that 3 3 3 223 abababc aababca By the
23、 AM-GM Inequality we have 3 23 1 23 1 3 aa aa ababc ababc 3 3 11 3 1 1 3 b b abc abc 3 23 1 23 1 3 bc bc ababc ababc Now, just add them up and we have the desired inequality. The equality occurs when abc. 强化练习 : 1. 设 , ,a b cR , 且 222 1abc, 求证: 222 3 3 1112 abc abc . (提示: 先证明不等式 222 222 333333 , 121
24、212 abc abc abc ) 2. 已知,a b c为正数 , 且1abc, 求证: 1111 1818183abc . ( 提示: 先证明不等式 888 999 888888888 999999999 333 , 181818 abc abc abcabcabc ) 3. 已知,1, 2,3 i aRi, 且 123 1aaa, 求证: 222 123 11127 11110aaa . ( 提示: 先证明对任意01a, 有 2 127 (2) 150 a a ) 4. 求证: 22 sinsinsinsinsinsin1 . (提示: 构造不等式 2222 sinsinsin1sin1
25、 sin sin ,sin ,sin 222222 ) 5. 设,0a b c, 求证: 222 222222 (2)(2)(2) 8 2()2()2() abcbcacab abcbcacab . ( 提示: 由齐次性不妨设3abc, 则原不等式等价于 222 222222 (3)(3)(3) 8 2(3)2(3)2(3) abc aabbcc , 9 再证明不等式 222 222222 (3)84(3)84(3)84 (1),(1),(1) 2(3)332(3)332(3)33 abc abc aabbcc ) 6. 设 , ,a b cR , 且 444 1abc, 求证: 111 1
26、444abbcca . ( 提示: 先证明不等式 222222 111111111111 (),(),() 42 4442 4442 44ababbcbccaca , 再证明不等式 444 222 111111111 (1),(1),(1) 431843184318 abc abc ) 7. Prove that for any ,(1, 2)a b cthe following inequality holds 1 444 bacbac bccacaababbc . ( 提示: 先证明不等式 , 444 b aac bba cc abcabcabc b cc ac aaba bb c ) 8
27、. Let,a b cbe positive real numbers, Prove that 4() bccaababc abcbccaab . ( 提示: 先证明不等式 444 , aaabbbccc bcbcacacabab ) 9. Consider positive real numbers 12 , n x xxsuch that 12 1 n x xx, Prove that 12 111 1 111 nnxnxnx . (提示: 先证明不等式 11 11 11 111111 111111 1 1212 , 11 nn nn n nnnnnn nn xxxx nxnx xxxxxx )