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1、数学是科学的大门和钥匙-培根相交线与平行线全章复习与巩固（提高）知识讲解 责编：常春芳 【学习目标】1 熟练掌握对顶角，余角，补角，邻补角及垂线的概念及性质，了解点到直线的距离与两平行线间的距离的概念；2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；3. 了解尺规作图的概念，熟练掌握用尺规作角或线段的方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、两条直线的位置关系1.同一平面内两条直线的位置关系：相交与平行.要点诠释：（1）只有一个公共点的两条直线叫做相交直线，这个公共点叫做交点.（2）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.平行用符号“”表示.2.对顶角、补角、余角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角
2、中，有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角.如果两个角的和是180，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角类似地，如果两个角的和是90，那么这两个角互为余角简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角（2）性质：同角或等角的余角相等同角或等角的补角相等对顶角相等3.垂线 （1）垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足垂直用符号“”表示，如下图（2）垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直垂线段最短（3）点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，
3、叫做点到直线的距离要点二、平行线的判定与性质1平行线的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行判定方法2：内错角相等，两直线平行判定方法3：同旁内角互补，两直线平行要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.2平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同
4、旁内角互补.要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直3两条平行线间的距离如图，直线ABCD，EFAB于E，EFCD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.要点诠释：（1）两条平行线之间的距离处处相等.（2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距
5、离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.（3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同.要点三、用尺规作线段和角1.用尺规作线段（1）用尺规作一条线段等于已知线段.（2）用尺规作一条线段等于已知线段的倍数.（3）用尺规作一条线段等于已知线段的和.（4）用尺规作一条线段等于已知线段的差.2.用尺规作角（1）用尺规作一个角等于已知角.（2）用尺规作一个角等于已知角的倍数.（3）用尺规作一个角等于已知角的和.（4）用尺规作一个角等于已知角的差.【典型例题】类型一、两条直线的位置关系1. (1)如图（1）已知直线AB，CD相交于点0
6、(2)如图（2）已知直线AE，BD相交于点C分别指出两图中哪些角是邻补角? 哪些角是对顶角? 【答案与解析】解： (1)邻补角是DOA与AOC，AOE与EOB，BOC与COA，COE与DOE，DOA与DOB，DOB与BOC；对顶角是AOD与COB，AOC与DOB.(2)邻补角是ACB与ACD，ECD与DCA，DCE与ECB，ECB与ACB；对顶角是ACB与DCE，BCE与ACD【总结升华】当需要写出的角较多时，写完后再计算一下个数，可以检验是否写全.2.（2015春桃园县校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作两条射线OM、ON，且AOM=CON=90若OC平分AOM，求AOD的度数
7、若1=BOC，求AOC和MOD【答案与解析】解：AOM=CON=90，OC平分AOM，1=AOC=45，AOD=180AOC=18045=135；AOM=90，BOM=18090=90，1=BOC，1=BOM=30，AOC=9030=60，MOD=18030=150【总计升华】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，解此题的关键是能根据角平分线定义和已知求出各个角的度数举一反三：【变式】（2015秋辛集市期末）如图，已知直线AB和CD相交于O点，COE=90，OF平分AOE，COF=28，求BOD的度数【答案】 解：由角的和差，得EOF=COECOF=9028=62由角平分线的性质，得AO
8、F=EOF=62由角的和差，得AOC=AOFCOF=6228=34由对顶角相等，得BOD=AOC=34类型二、平行线的性质与判定3.如图所示，ABCD，1B，2D，试说明BEDE【思路点拨】这是初学几何时较为复杂的题目，通常是过“拐点”(拐角处的顶点)作平行线为辅助线，把一个大角分成两个角，分别与两个已知角建立起了联系【答案与解析】 解：过E点作EFAB， 因为ABCD(已知)， 所以EFCD 所以4D(两直线平行，内错角相等) 又因为D2(已知)， 所以42(等量代换) 同理，由EFAB，1B，可得31 因为1+2+3+4180(平角定义)， 所以1+23+490， 即BED90故BEDE【
9、总结升华】解此题的关键是如何构造平行关系，即过哪一点作哪条直线的平行线，只有通过适当的练习才能逐步达到熟练解题的目的举一反三：【变式1】已知直线ABCD，当点E在直线AB与CD之间时，有BEDABE+CDE成立；而当点E在直线AB与CD之外时，下列关系式成立的是( ).ABEDABE+CDE或BEDABE-CDE BBEDABE-CDE CBEDCDE-ABE或BEDABE-CDE DBEDCDE-ABE【答案】C （提示：过点E作EFAB）【变式2】如图，两直线AB、CD平行，则123456 .【答案】9004.如图，已知CDEF，12ABC，求证：ABGF.【答案与解析】证明：如图，过点C
10、做CKFG，并延长GF、CD交于点H， CDEF （已知）， CHG1(两直线平行，同位角相等）.又 CKFG， CHG2BCK180（(两直线平行，同旁内角互补）. 12BCK180（等量代换）. 12ABC（已知）， ABCBCK180（等量代换）. CKAB（同旁内角互补，两直线平行）. ABGF（平行的传递性）.【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应联想到角相等或互补.类型三、用尺规作线段和角5. ABEDC已知：如图，AB/CD，BC/DE，B70，（1）求D的度数.（2）用尺规在图上作一个，使=DB（不写作法，保留痕迹
11、）.【思路点拨】（1）根据作一个角等于已知角的方法即可作出；（2）根据平行线的性质即可求解【答案与解析】解：（1）AB/CD，BC/DE， CB70，D180C18070110. （2）作法如图：【总结升华】本题考查了基本作图：作一个角等于已知角的差，以及平行线的性质定理，正确掌握基本作图是关键类型四、实际应用6.手工制作课上，老师先将一张长方形纸片折叠成如图所示的那样，若折痕与一条边BC的夹角EFB30，你能说出EGF的度数吗？【思路点拨】长方形的对边是平行的，所以ADBC，可得DEFEFG30，又因为折后重合部分相等，所以GEFDEF30，所以DEG2DEF60，又因为两直线平行，同旁内角互补，所以EGC180DEG，问题可解.【答案与解析】解：因为ADBC（已知），所以DEFEFG30（两直线平行，内错角相等）.因为GEFDEF30（对折后重合部分相等），所以DEG2DEF60.所以EGC180DEG18060120（两直线平行，同旁内角互补）.【总结升华】本题利用了：（1）折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；（2）平行线的性质举一反三：【变式】（山东滨州）如图，把个长方形纸片对折两次，然后剪下个角为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为（ ）A60 B30 C45 D90【答案】C数学是最宝贵的研究精神之一-华罗庚