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1、课题：二次函数图像中直角三角形的存在性问题 一、 教学目标 1、 掌握求二次函数表达式的方法。 2、掌握判断直角三角形可以从边和角两个角度入手。 3、掌握二次函数与直角三角形结合的动点问题的解决方法。 二、重、难点 重点：线段的表示与分类讨论 难点：分类讨论 三、教学过程 情境创设： 存在性问题是中考中的热点问题，所涉知识点多， 难度较大， 也是学生比较 荆手的问题， 但它也是有解题方法可循的。 比如我们本节课将复习的直角三角形 存在性问题， 就可利用坐标系中两点的距离公式，正确得到所求三角形三边长的 平方的代数式；根据勾股定理的逆定理得到方程，并解方程即可。 知识梳理： 1、二次函数的表达式
2、有哪些？ 一般式：对轴称为顶点坐标（，） 项点式：对轴称为顶点坐标（，） 交点 （两根） 式：对轴称为顶点坐标 （，） （设计意图 ：让学生能根据所给条件选用恰当的表达式求二次函数解析式） 2、直角三角形的判定方法有哪些？ （设计意图 ：让学生知道判断一个三角形是直角三角形可从边和角两个角度入 手，重点是对勾股定理逆定理的运用） 3、已知点 P(x,y) ，则点 P到 x 轴的距离为，到 y 轴的距离为。 （设计意图： 让学生知道点的坐标的实际意义） 4、两点间的距离公式：用A，B两点的坐标来表示线段AB的长。 （设计意图 ：让学生知道用两点坐标来表 示该两点的线段长） 习题展示： o y B
3、( x2,y2) A( x1,y1) x 如图，已知抛物线y=-x 2+bx+c与 x 轴交于点 A、B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），直线 l 经过点 B、C两点，抛物线的顶点为D。 （1）求此抛物线和直线l 的解析式； （2）判断 BCD 的形状并说明理由； （3）如图，在抛物线的对称轴上求点P，使PBC为直角三角形； 思考题： 如图，在对称轴右侧的抛物线上，是否存在点P，使PDC为等腰三角形。 若存在，请求出符合条件点P的坐标，若不存在，请说明理由； C B A O y x D C B D A y L O C B A O y x D 思路分析： 将 B（3，0），C（0，3）
4、代入 y=-x 2+bx+c 中，得关于 b，c 的二元一次方程组， 解出 b，c 的值，从而得到抛物线的解析式；设 y=kx+z, 将 B（3，0），C（0，3）代入 y=kx+z， 得关于 k，z 的二元一次方程组， 解出 k，z 的值， 从而得到直线 l 的解析式。 思路分析： 判断三角形形状可考虑从边和角 两个角度入手，但结合本题从边上着手较简单， 分别求出三角形的三边长，如果有两边相等，则 三等形是等腰三角形；如果三边相等，则三角形 是等边三角形；如果没有相等的边，则考虑使用 勾股定理验证三角形是否为直角三角形。 思路分析： 由 B（3，0），C（0，3）的坐 标， 求出 BC 的长
5、度；点 p 在抛物线的对称轴上， 设 P（1，t），根据两点间的距离公式，用t 表 示 PC，PB 的长，若 PBC 为直角三角形，分情 况讨论边的关系：PC 为斜边 PB 为斜边 BC 为斜边，根据勾股定理的逆定理列出方程求t， 从而得 p 的坐标。 思路分析：（一） 由 C、D 两点的坐标可求出CD 的 长，设点 P 的横坐标为 x，用 x 表示出 PD、PC，因题目 中未说明 PDC 哪个角是顶角，故分： 当 D 是顶角，根据抛物线的对称性，P 的纵坐标 应该等于 C 的纵坐标，即可求出P 点的坐标。 当 DCP 是顶角，因为点 D 在抛物线的对称轴上， 所以抛物线上对称轴右侧的点到点C
6、 的距离一定大于 CD，因此这种情况在对称轴的右侧不存在满足条件的P 点。 P 是顶角，根据 PC=PD 列出方程求解即可，结 果要舍去 P 在对称轴左侧的情况。 （二） 设点 P 的坐标为（ x，y），由 D（1，4），C （0，3）的坐标，求出DC 的长度；根据两点间的距离 公式，用 x，y 表示出 PC，PD 的长，根据勾股定理的逆 定理列出方程，从而得p 的坐标。 课堂小结： 1、对自己说，本节课你学到了什么？ 2、对同学说，你有哪些温馨的提示？ 3、对老师说，本节课你还有哪些困惑？ 作业： 如图，已知抛物线y=-x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（-1，0）和 B（3，0），与 y 轴交于点 C设抛物线的顶点为D ，连结 CD 、DB 、AC （1）求此抛物线的解析式； （2）求四边形 ABDC 的面积； （3）设 Q是抛物线上一点， 连结 BC 、QB 、QC ，把QBC 沿直线 BC翻折得到 Q BC ，若四边形 QBQ C为菱形，求此时点Q的坐标 .