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1、工科数学 一一. .矩阵概念矩阵概念 二二. .矩阵的基本运算矩阵的基本运算 三三. .逆矩阵逆矩阵 四四. .矩阵的分块矩阵的分块 五五. .初等变换与初等矩阵初等变换与初等矩阵 第五讲 矩阵 (一)矩阵的定义 由 个数 排成的m行n列的数表称为m行n列矩阵. 简称矩阵 记作 简记为 实矩阵复矩阵 例 记号 一、矩阵的概念 (二)一些特殊的矩阵 零矩阵: 记作: 行矩阵: 对型矩阵而言 个元素都为零的矩阵. 列矩阵： 方阵:称为n阶方阵. 单位矩阵： 主对角元全为1,其余元 素全为零的n阶矩阵. 数量矩阵: 主对角元全为非零常数 的n阶矩阵. 其余元素全为零 记作:或 对角阵: 非主对角元皆
2、为零的n阶矩阵. 行列式与矩阵的区别: 一个是算式,一个是数表 一个行列数相同,一个可不同. 对 n阶方阵可求它的行列式.记为: (一)矩阵相等,加减法,数乘 (二)矩阵的乘法 (三)矩阵的转置 (四)方阵的行列式 二、矩阵的基本运算 相等: 设 则且 时, 称矩阵与矩阵相等. 记作: 加法: (一)矩阵相等,加减法,数乘 满足运算规律: 减法: 数乘:数 规定: 注意:矩阵的数乘与行列式的线性 性质的区别. 满足运算规律: 数 (二)矩阵的乘法 定义: 规定: 与的乘积是一个阵 记作: 注: (1)两矩阵可做乘积的必要条件 (2)矩阵相乘对初学者来说是较为陌生的运算法则, 需通过大量,反复练
3、习来掌握. 例如 (三)矩阵的转置 满足运算规律: 对称矩阵: 反对称矩阵: 定义: 记作: 运算规律: (四)方阵的行列式 定义,唯一性,充要条件 及推论,可逆矩阵的性质 定义: 三、逆矩阵 奇异矩阵 非奇异矩阵 例1 解: 例2 例3 可逆矩阵的性质: 注: 针对: 行数,列数较高的矩阵(大 型矩阵),采用分块法. 目的: 大矩阵运算转化为若干小 矩阵运算,使运算更为简明. 四、分块矩阵 常用的分块矩阵 按行分块 按列分块 对角块矩阵(准对角矩阵) 条件: 对角块矩阵 分块矩阵的运算 加法 数量乘法 分块矩阵的乘法 分块矩阵的转置 可逆分块矩阵的逆矩阵 对角块矩阵 可逆的充要条件是 ： 例5 ( (一一) ) 矩阵的初等变换和初等矩阵 ( (二二) ) 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 五、初等变换与初 等矩阵 三种初等变换三种初等矩阵 倍乘变换倍加变换对换变换 初等变换 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的矩阵. 初等倍乘矩阵 第 列 初等倍加矩阵 第 列 第 列 初等对换矩阵 第 列 第 列 一般结论: 初等矩阵是可逆的 (二) 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 定理:可逆矩阵可以经过若干次 初等行变换化为单位矩阵. 推论1 可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积. 例6 (1) (3) (2) (4)