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1、专题六解析几何第一讲直线与圆考点一直线的方程1两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在2两个距离公式(1)两平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d.(2)点(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离公式d.对点训练1(2018东北三校联考)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0解析当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x5y0；当直线不经过原
2、点时，可设出其截距式为1，再由过点(5,2)即可解出2xy120，故选B.答案B2直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为，则直线l的方程是()A3xy40 B3xy40C3xy40 Dx3y40解析由已知，设直线l的方程为y2k(x2)，即kxy22k0，所以，解得k3，所以直线l的方程为3xy40，故选C.答案C3(2018湖北孝感五校联考)已知直线y2x是ABC中C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2,4) D(2，4)解析设A(4,2)关于直线y2x的对称点为A(x，y)，则解得即A(4，2)，
3、直线AC即BC所在直线的方程为y1(x3)，即3xy100.又知点C在直线y2x上，联立解得则C(2,4)，故选C.答案C4(2018湖南东部十校联考)经过两条直线2x3y10和x3y40的交点，并且垂直于直线3x4y70的直线方程为_解析解法一：由方程组解得即交点为，所求直线与直线3x4y70垂直，所求直线的斜率为k.由点斜式得所求直线方程为y，即4x3y90.解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x3ym0，由方程组可解得交点为，代入4x3ym0得m9，故所求直线方程为4x3y90.解法三：由题意可设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140，又因为所求直线与
4、直线3x4y70垂直，所以3(2)4(33)0所以2，代入式得所求直线方程为4x3y90.答案4x3y90快速审题看到直线方程的求解，想到直线方程的五种形式，想到每种形式的适用条件求直线方程的两种方法(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数考点二圆的方程1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r2.2圆的一般方程x2y2DxEyF0，其中D2E24F0，表示以为圆心，
5、为半径的圆对点训练1(2018福建漳州模拟)圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21解析点P(x，y)关于直线yx对称的点为P(y，x)，(1,2)关于直线yx对称的点为(2,1)，圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为(x2)2(y1)21，故选A.答案A2(2018广东珠海四校联考)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的标准方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析由
6、题意设圆心坐标为(a，a)，则有，即|a|a2|，解得a1.故圆心坐标为(1，1)，半径r，所以圆C的标准方程为(x1)2(y1)22，故选B.答案B3(2018重庆一模)若P(2,1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程为()Axy10 B2xy30Cxy30 D2xy50解析圆心C的坐标为(1,0)，所以直线PC的斜率为kPC1，所以直线AB的斜率为1，故直线AB的方程为y1(x2)，即xy30，故选C.答案C4原创题在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_解析解法一：由题意得：半径等于 ，当且
7、仅当m1时取等号，所以半径最大为r，所求圆为(x1)2y22.解法二：直线mxy2m10过定点(2，1)，当切点为(2，1)时圆的半径最大，此时半径r，故所求圆的方程为(x1)2y22.答案(x1)2y22快速审题看到圆的方程，想到圆心与半径，看到含参数的直线方程，想到直线是否过定点求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法考点三直线与圆、圆与圆的位置关系1判断直线与圆的位置关系的方法(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程
8、组，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离(2)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离2与圆的切线有关的结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为x0xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0xy0yr2.解析(1)由题意知：圆心坐标为(0,0)，半径为2，则AOB的边长为2，所以AOB的高为，即圆心到直线xya0的距离为，所以，解得a，故选B.(2)当直线斜率
9、不存在时，明显满足题意，此时直线l的方程为x1.当直线斜率存在时，可设直线l的方程为y5k(x1)，再由圆心到直线的距离等于半径，得2，解得k，所以直线l的方程为4x3y190.综上所述，直线l的方程为x1或4x3y190.(3)直线l的方程为ykx1，圆心C(2,3)到直线l的距离d，由R2d22得1，解得k2或，所以直线l的方程为y2x1或yx1.答案(1)B(2)x1或4x3y190(3)y2x1或yx1探究追问1在本例(3)中若把条件“|MN|”，改为12，其中O为坐标原点，则|MN|_.解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意得直线l的方程为ykx1，代入方程(x2)2(y3
10、)21，整理得(1k2)x24(1k)x70，所以x1x2，x1x2，x1x2y1y2(1k2)x1x2k(x1x2)18，由题设可知812，解得k1，所以直线l的方程为yx1，故圆心C在直线l上，所以|MN|2.答案2探究追问2在本例(3)中若圆C的方程不变，且过点A(0,1)且斜率为k的直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的取值范围是_解析由题意知直线l的方程为ykx1，要使直线l上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需直线l与圆C：(x2)2(y3)24有公共点，所以2，即2，解得k0.答案0，)直线(圆)与圆的位置关系的解题
11、思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式(3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)对点训练1(2018福建福州一模)已知圆O：x2y24上到直线l：xya的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为()A(3，3)B(，3)(3，)C(2，2)D3，3解析由圆的方程可知圆心为O(0,0)，半径为2，因为圆上的点到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到
12、直线l的距离dr121，则d3，解得a(3，3)，故选A.答案A2已知圆C1：x2y22x10y240和圆C2：x2y22x2y80，则两圆的公共弦长为_解析联立两圆的方程得两式相减整理得x2y40，即为两圆公共弦所在直线的方程解法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点的坐标满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.解法二：由x2y22x10y240，得圆心坐标为(1，5)，半径r5.圆心到直线x2y40的距离d3，设两圆的公共弦长为l，由r2d22，得l222，即两圆的公共弦长为2.答案21(2016全国卷)圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a()A B C.
13、 D2解析由已知可得圆的标准方程为(x1)2(y4)24，故该圆的圆心为(1,4)，由点到直线的距离公式得d1，解得a，故选A.答案A2(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6 B4,8C，3 D2，3解析由圆(x2)2y22可得圆心坐标为(2,0)，半径r，ABP的面积记为S，点P到直线AB的距离记为d，则有S|AB|d，易知|AB|2，dmax3，dmin，所以2S6，故选A.答案A3(2018北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos，sin)到直线xmy20的距离当，m变化时，d的最大值为()A1
14、 B2 C3 D4解析解法一：由点到直线的距离公式得d，cosmsin，令sin，cos，cosmsinsin()，d1，当m0时，dmax3，故选C.解法二：cos2sin21，P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又xmy20表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(1,0)到直线x2的距离即为d的最大值，故选C.答案C4(2018江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若0，则点A的横坐标为_解析由题意易得BAD45.设直线DB的倾斜角为，则tan，tanABOtan(45)3，kABtanABO
15、3.AB的方程为y3(x5)，由得xA3.答案35(2016全国卷)已知直线l：mxy3m0与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点若|AB|2，则|CD|_.解析由题意可知直线l过定点(3，)，该定点在圆x2y212上，不妨设点A(3，)，由于|AB|2，r2，所以圆心到直线AB的距离为d3，又由点到直线的距离公式可得d，3，解得m，所以直线l的斜率km，即直线l的倾斜角为30.如图，过点C作CHBD，垂足为H，所以|CH|2，在RtCHD中，HCD30，所以|CD|4.答案41.近两年圆的方程成为高考全国课标卷命题的热点，需重点关注此类试题难度中等偏下，多
16、以选择题或填空题形式考查2直线与圆的方程偶尔单独命题，单独命题时有一定的深度，有时也会出现在压轴题的位置，难度较大，对直线与圆的方程(特别是直线)的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上热点课题14与圆有关的最值问题 感悟体验1(2018厦门模拟)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1 C62 D.解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1(2，3)，则(|PC1|PC2|)min|C1C2|5，所以(|PM|PN|)min5(
17、13)54，故选A.答案A2(2018宁夏银川一中检测)过点M(1,2)的直线l与圆C：(x3)2(y4)225交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是_解析验证得M(1,2)在圆内，当ACB最小时，直线l与CM垂直，又圆心为(3,4)，则kCM1，则kl1，故直线l的方程为y2(x1)，整理得xy30.答案xy30专题跟踪训练(二十四)一、选择题1(2018合肥检测)直线x(a21)y10的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.解析由直线方程可得该直线的斜率为，又10，所以倾斜角的取值范围是，故选B.答案B2(2018沈阳质量监测)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且
18、与直线xy10垂直，则直线l的方程为()Axy20 Bxy20Cxy30 Dxy30解析由已知得，圆心为(0,3)，所求直线的斜率为1，由直线方程的斜截式得，yx3，即xy30，故选D.答案D3(2018河北五个一联盟联考)已知直线l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是l1平行于l2的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析当m2时，直线l1：2x2y10，直线l2：xy10，此时直线l1与l2平行，所以充分性成立；当l1l2时，m(m1)20，即m2m20，m2或m1，经检验m1时，直线l1与直线l2重合，故l1l2时，m2，故必要性成立
19、综上，“m2”是l1平行于l2的充分必要条件，故选C.答案C4(2018陕西西安高三质检)圆：x2y22x2y10上的点到直线xy2距离的最大值是()A1 B2C1 D22解析将圆的方程化为(x1)2(y1)21，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线xy2的距离d，故圆上的点到直线xy2距离的最大值为1d1，故选A.答案A5(2018宁夏银川质检)已知圆C1：x2y24，圆C2：x2y26x8y160，则圆C1与圆C2的位置关系是()A相离 B外切 C相交 D内切解析易知圆C2的标准方程为(x3)2(y4)29，则圆C1与C2的圆心的距离为5，又两圆半径之和为235，所以圆C1与圆C
20、2外切，故选B.答案B6(2018辽宁第一次质量监测)已知直线l：yk(x)和圆C：x2(y1)21，若直线l与圆C相切，则k()A0 B. C.或0 D.或0解析因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d1，即|1k|，解得k0或k，故选D.答案D7(2018长春二检)圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24解析解法一：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可设所求圆的圆心坐标为(a，b)，则解得所以圆(x2)2y24的圆心关于直线yx对称的点的坐标为(1，)，从而所求圆的方
21、程为(x1)2(y)24，故选D.解法二：由于两圆关于直线对称，因此两圆心的连线必与该直线垂直，则两圆心连线的斜率为，备选项中只有选项D中的圆心与已知圆的圆心连线的斜率为，故选D.答案D8已知直线2x(y3)m40(mR)恒过定点P，若点P平分圆x2y22x4y40的弦MN，则弦MN所在直线的方程是()Axy50 Bxy30Cxy10 Dxy10解析对于直线方程2x(y3)m40(mR)，取y3，则必有x2，所以该直线恒过定点P(2,3)设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP1，由垂径定理知CPMN，所以kMN1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y3(x2)即xy50，故
22、选A.答案A9(2018福州质检)过点P(1，2)作圆C：(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为()Ay ByCy Dy解析圆(x1)2y21的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|2为直径的圆的方程为(x1)2(y1)21，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y10，即y，故选B.答案B10(2018河南名校第二次联考)已知m，n，a，bR，且满足3m4n6,3a4b1，则的最小值为()A. B. C1 D.解析此题可理解为点A(m，n)和点B(a，b)分别在直线l1：3x4y6与l2：3x4y1上，求A、B两点距离的最小值，|AB|，因为l1l2，所以|
23、AB|min1，故选C.答案C11(2018四川成都二模)已知直线l的方程是yk(x1)2，若点P(3,0)在直线l上的射影为H，O为坐标原点，则|OH|的最大值是()A5 B32C. D.3解析因为直线l的方程是yk(x1)2，所以直线l过定点M(1，2)则点P(3,0)在直线l上的射影H在以PM为直径的圆上|PM|2，线段PM的中点即圆心C(1，1)，则|OC|.因此，当O，C，H三点共线时，|OH|取得最大值，故选C.答案C12(2018安徽芜湖六校联考)在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上若圆C上存在点M，使MA2MO，则圆心C的横坐
24、标a的取值范围是()A. B0,1C. D.解析因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为MA2MO，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|21|CD21，即13.由1得5a212a80，解得aR；由3得5a212a0，解得0a.所以点C的横坐标a的取值范围为，故选A.答案A二、填空题13若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为_解析由题意，得kOP2，则该圆在点P处的切线方程的斜率为，所以所求切线
25、方程为y2(x1)，即x2y50.答案x2y5014若圆C1：x2y21与圆C2：x2y26x8ym0外切，则实数m的值为_解析因为圆C2：(x3)2(y4)225m，又因为圆C1与圆C2外切，所以15，解得m9.答案915(2018衡水中学模拟)已知直线axy10与圆C：(x1)2(ya)21相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为_解析因为ABC是等腰直角三角形，所以圆心C(1，a)到直线axy10的距离drsin45，即d，所以a1.答案116(2018南宁测试)过动点M作圆：(x2)2(y2)21的切线MN，其中N为切点，若|MN|MO|(O为坐标原点)，则|MN|的最小值是_解析解法一：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M(x，y)，则|MO|，|MN|.由|MN|MO|，得4x4y70，即yx，所以|MN|MO| ，当x时，|MN|取得最小值.解法二：由题意知圆的圆心为(2,2)，半径为1.设M(x，y)，则|MO|，|MN|.由|MN|MO|，得4x4y70，即点M的轨迹为4x4y70，则由题意知，要使|MN|取得最小值，即|MO|取得最小值，此时|MO|的最小值就是原点到直线4x4y70的距离，即，故|MN|的最小值为.答案