《2019年全国版高考数学必刷题：第四单元 函数的图象与函数应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年全国版高考数学必刷题：第四单元 函数的图象与函数应用.docx（52页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四单元函数的图象与函数应用考点一图象推导型1.(2015年浙江卷)函数f(x)=x-1xcos x(-x且x0)的图象可能为().AB CD【解析】函数f(x)=x-1xcos x(-x且x0)为奇函数,排除选项A,B;当x=时,f()=-1cos =1-0,排除选项C,故选D.【答案】D2.(2016年全国卷)函数y=2x2-e|x|在-2,2上的图象大致为().【解析】f(x)=2x2-e|x|,x-2,2是偶函数,且f(2)=8-e2(0,1),排除A,B.设g(x)=2x2-ex,则g(x)=4x-ex.又g(0)0,g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点,f(x)=2x2-e|x
2、|在(0,2)内至少存在一个极值点,排除C.故选D.【答案】D3.(2017年全国卷)函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为().ABCD【解析】令f(x)=sin2x1-cosx,f(1)=sin21-cos10,f()=sin21-cos=0,排除选项A,D.由1-cos x0得x2k(kZ),故函数f(x)的定义域关于原点对称.又f(-x)=sin(-2x)1-cos(-x)=-sin2x1-cosx=-f(x),f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除选项B.故选C.【答案】C4.(2017年全国卷)函数y=1+x+sinxx2的部分图象大致为().【解析】当x+时,sinx
3、x20,1+x+,y=1+x+sinxx2+,故排除选项B.当0x0,故排除选项A,C.故选D.【答案】D5.(2015年全国卷)如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为().【解析】当x0,4时,f(x)=tan x+4+tanx,图象不会是直线段,从而排除A,C.当x4,34时,f4=f34=1+5,f2=22.221+5,f2f4=f34,从而排除D,故选B.【答案】B6.(2014年全国卷)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,
4、角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M.将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,的图象大致为(). 【解析】如图,当x0,2时,则P(cos x,sin x),M(cos x,0).作MMOP,M为垂足,则|MM|OM|=sin x,f(x)cosx=sin x,f(x)=sin xcos x=12sin 2x,则当x=4时,f(x)max=12;当x2,时,有f(x)|cosx|=sin(-x),f(x)=-sin xcos x=-12sin 2x,当x=34时,f(x)max=12.只有B选项的图象符合.【答案】B考点二图象应用型7
5、.(2015年北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)log2(x+1)的解集是().A.x|-1x0B.x|-1x1C.x|-1x1D.x|-1x2【解析】令g(x)=y=log2(x+1),作出函数g(x)的图象,如图所示.由x+y=2,y=log2(x+1),得x=1,y=1.结合图象知不等式f(x)log2(x+1)的解集为x|-1x1.【答案】C8.(2017年江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间0,1)上,f(x)=x2,xD,x,xD,其中集合D=x|x=n-1n,nN*,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.【解析】由于f(x)0,1
6、),则只需考虑1x10的情况.在此范围内,当xQ且xZ时,设x=qp,p,qN*,p2且p,q互质,若lg xQ,则由lg x(0,1),可设lg x=nm,m,nN*,m2且m,n互质,因此10nm=qp,则10n=qpm,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾,因此lg xQ.因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等,只需考虑lg x与每个周期xD部分的交点.画出函数草图(如图).图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期xD部分,且x=1处(lg x)=1xln10=1ln100且a1)y=.3.翻折变换(1)y=f(x)y=.(2)y=f(x)y=.4.伸缩变换(
7、1)y=f(x)y=.(2)y=f(x)y=. 左学右考1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“”.(1)当x(0,+)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a0且a1)的图象相同.()(3)将函数y=f(x)的图象向上平移c个单位长度,得到y-c=f(x)(c0)的图象.()(4)函数y=1x-1的图象关于点(1,0)对称.()2 函数f(x)=x+1x的图象关于().A.y轴对称 B.x轴对称C.原点对称D.直线y=x对称3 若将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex的图象关于y轴对称,
8、则f(x)的解析式为().A.f(x)=ex+1B.f(x)=ex-1C.f(x)=e-x+1D.f(x)=e-x-14 函数y=x2,x0)3.(1)|f(x)|(2)f(|x|)4.(1)f(ax)(2)af(x)基础训练1.【解析】(1)错误,当x(0,+)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象不一定相同.(2)错误,函数y=af(x)与y=f(ax)(a0且a1)的图象也不一定相同.如y=22x与y=22x的图象就不相同.(3)正确,将函数y=f(x)的图象向上平移c(c0)个单位长度,得到y=f(x)+c的图象.(4)正确,函数y=1x-1的图象关于点(1,0)对称.【答案
9、】(1)(2)(3)(4)2.【解析】f(x)是奇函数,图象关于原点对称.【答案】C3.【解析】曲线y=ex的图象关于y轴对称得y=e-x的图象,将其图象向左平移1个单位长度得f(x)=e-x-1的图象.【答案】D4.【解析】由函数y=x2,x0,2x-1,x0可知图象过原点且是曲线,排除选项A,C;当x0时,由y=x2的图象可知选B.【答案】B5.【解析】由已知a=|x|+x=2x,x0,0,x0.题型一作函数图象【例1】作出下列函数的图象,并标明与x轴、y轴的交点.(1)y=x2-2|x|-1;(2)y=|log2(x+1)|.【解析】(1)y=x2-2|x|-1=x2-2x-1(x0),
10、x2+2x-1(x0),易知函数关于y轴对称,先作出x0时的图象,再作关于y轴对称部分的图象,如图.(2)将y=log2x的图象向左平移1个单位长度,然后保留x轴上方的图象,并把x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方,如图.画函数图象的一般方法:(1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数的特征直接画出;(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到,则可利用图象变换画出.【变式训练1】作函数y=x+2x-1的图象.【解析】由已知y=1+3x-1,先作出y=3x的图象,再将其图象向右平移1个单位长度,最后向上平移1个单位长度,即可得
11、到y=x+2x-1的图象,如图.题型二图象的识别【例2】(1)(宁夏银川一中2018届月考)函数y=e|ln x|-|x-1|的大致图象是().(2)如图,在一个盛满水的圆柱形容器的水面下,有一个用细线吊着的下端开了一个小孔的充满水的薄壁小球,当慢慢匀速地将小球从水面下向水面上拉动时,圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是().【解析】(1)由y=e|ln x|-|x-1|可知,函数的图象过点(1,1).当0x1时,y=e-ln x-1+x=1x+x-1,y=-1x2+11时,y=eln x-x+1=1,故选D.(2)球拉出水面开始时球上半部较小,因而水递减较缓慢.球中部拉出水面时水递增
12、的速度较快,最后球中的水全部放回圆柱形容器内,水面基本持平(因为球是薄壁的),故选B.【答案】(1)D(2)B对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.【变式训练2】函数y=a+sin bx(b0且b1)的图象如图所示,那么函数y=logb(x-a)的图象可能是().【解析】由题图可得a1,且最小正周期T=2b2,则y=logb(x-a)是增函数,排除A,B;当x=2时,y=logb(2-a)0,-ln(-x),x0有两个“伙伴点组”,则实数k的取值范围是().A.(-,0) B.(
13、0,1)C.0,12D.(0,+)【解析】由题意可知,“伙伴点组”的点满足:都在函数图象上,且关于坐标原点对称.可作出函数y=-ln(-x)(x0)的图象(如图),使它与直线y=kx-1(x0)的交点个数为2即可.当直线y=kx-1与y=ln x的图象相切时,设切点为(m,ln m),又y=ln x的导数为y=1x,即km-1=lnm,k=1m,解得m=1,k=1,可得函数y=ln x(x0)的图象过点(0,-1)的切线的斜率为1.结合图象可知当k(0,1)时两个函数图象有两个交点,故选B.【答案】B利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g
14、(x)图象交点的横坐标;不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合,体现了数形结合思想.【变式训练3】(1)已知函数y=|x2-1|x-1的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是.(2)已知函数f(x)是定义在-4,4上的偶函数,其在0,4上的图象如图所示,则不等式f(x)cosx1或x-1,-x-1,-1x0,在2,4上,y=cos x0,所以由函数f(x)的图象知在1,2上f(x)cosx0.又因为f(x)为偶函数,y=cos x也是偶函数,所以y=f(x)cosx也为偶函数,所以f(x)cosx1时,f(x)=eln x-x
15、-1x=1x;当0x1时,f(x)=e-ln x+x-1x=x.作出f(x)的草图(如图),将f(x)的图象向左平移1个单位长度得函数f(x+1)的图象,故选A.(2)设所求函数为g(x),则g(x)=f(x),x0,f(-x),x0=f(-|x|),C选项符合题意.【答案】(1)A(2)C方法二数形结合思想的应用数形结合作为一种常见的数学方法,沟通了代数与几何的内在联系.一方面,借助图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化;另一方面,将图形问题转化为代数问题,可以获得更精确的结论.【突破训练2】设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-x
16、)x0的解集为().A.(-1,0)(1,+)B.(-,-1)(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-1,0)(0,1)【解析】因为f(x)为奇函数,所以不等式f(x)-f(-x)x0化为f(x)x0,即xf(x)0.又f(x)的大致图象如图所示,所以xf(x)0的解集为(-1,0)(0,1),故选D.【答案】D1.(2017安徽合肥调研)某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是().【解析】前3年年产量的增长速度越来越快,说明呈高速增长,只有A、C选项的图象符合要求,而后3年
17、年产量保持不变,故选A.【答案】A2.(2017福建三明调研)函数y=ax2+bx与函数y=xa+b(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能为().【解析】y=ax2+bx=ax+b2a2-b24a,对于A,由二次函数图象可知,a0,-b2a0,所以b0,函数y=xa+b不符合要求,同理B不符合要求;对于C,D,由二次函数图象可知,a0,所以b0,比较选项C,D可知C符合要求.【答案】C3.(2018届河北省保定市涞水中学第一次检测)函数y=e-|x-1|的图象大致形状是().【解析】y=e-|x-1|=e1-x,x1,ex-1,x0时,f(x)0,当2x32时,(4x2-2)(4x2-92)
18、x50,故可排除C;当2x0,而当x=时,|sin2x|x=0,故可排除D;当x=56时,|cos3x|x=0,故可排除A,故选B.【答案】B6.(2017山西太原五中模拟卷)函数f(x)=xln|x|的图象大致是().【解析】函数f(x)=xln|x|,f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除C,D.当x0时,f(x)=xln x,f(x)=ln x+1,令f(x)0得x1e,得出函数f(x)在1e,+上是增函数,故选A.【答案】A7.(2017北京东城区二模)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为1的平面图形运动一周,A,P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关
19、系如图所示,那么动点P所走的图形可能是().【解析】由题意可知,当点P位于A,B图形时,函数变化有部分为直线关系,不可能全部是曲线,由此可排除A、B.对于D,其图象变化不会是对称的,由此排除D.故选C.【答案】C8.(2017彭泽县模拟)如图,在DEF中,已知DE=DF,点M在直线EF上从左到右运动(点M不与E,F重合),对于点M的每一个位置(x,0),记DEM的外接圆面积与DMF的外接圆面积的比值为f(x),则函数y=f(x)的大致图象为().【解析】设DEM的外接圆半径为R1,DMF的外接圆半径为R2,由题意,R12R22=f(x),点M在直线EF上从左到右运动(点M不与点E,F重合).对
20、于点M的每一个位置,由正弦定理可得,R1=12DEsinDME,R2=12DFsinDMF,又DE=DF,sinDME=sinDMF,所以R1=R2,可得f(x)=1,故选C.【答案】C9.(2017南昌八校联考)如图,定义在-1,+)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为.【解析】当-1x0时,设解析式为y=kx+b,则-k+b=0,b=1,得k=1,b=1,y=x+1.当x0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,图象过点(4,0),0=a(4-2)2-1,得a=14.y=14(x-2)2-1.【答案】f(x)=x+1,-1x0,14(x-2)2-1,x0
21、10.(2017广东珠海模拟)若直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点,则a的取值范围是.【解析】曲线f(x)=x2-|x|,f-12=f12=-14,根据图象可得,直线y=a与曲线y=x2-|x|有四个交点,则a的取值范围为-14a0.【答案】-14a0且a1)始终满足f(x)1,则函数y=loga|x|x3的图象大致是().【解析】当xR时,函数f(x)=a|x|(a0且a0)始终满足f(x)1,可得a1,由函数y=loga|x|x3是奇函数,排除B;当0x1时,函数y=loga|x|x30,排除A;当x+时,函数y=loga|x|x30,排除D.【答案】C12.(2017广西玉林市陆
22、川中学模拟)函数f(x)=ln|x|+|sin x|(-x且x0)的图象大致是().【解析】由函数f(x)=ln |x|+|sin x|(-x且x0)是偶函数,排除A.当01,排除C.【答案】D13.(2017山东模拟)已知函数f(x)的图象如图,则f(x)的解析式为().A.f(x)=eln |x+1|B.f(x)=eln |x-1|C.f(x)=e|ln(x+1)|D.f(x)=e|ln(x-1)|【解析】由图象可知函数的定义域为(-1,+),值域为1,+).选项A的定义域为x|x-1,选项B的定义域为x|x1,选项C的定义域为(-1,+),选项D的定义域为(1,+),故排除选项A,B,D
23、.当-1x0时,f(x)=e|ln(x+1)|=e-ln(x+1)=1x+1;当x0时,f(x)=e|ln(x+1)|=eln(x+1)=x+1,故选C.【答案】C14.(2017上海市青浦区一模)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若点P处有一棵树与两边墙的距离分别是4 m和a m(0a12),树的粗细忽略不计.现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数S=f(a)(单位:m2)的图象大致是().【解析】设AD长为x m,则CD长为(16-x)m.要将点P围在矩形ABCD内,ax12.则矩形ABCD的面积为x(16-
24、x),当0a8时,当且仅当x=8时,S=64;当8a12时,S=a(16-a),故S=64,0a8,a(16-a),8a1)的图象上,则实数a的值为.【解析】设B(x,2logax),BC平行于x轴,C(x,2logax),即logax=2logax,x=x2,正方形ABCD的边长为|BC|=x2-x=2,解得x=2.AB垂直于x轴,A(x,3logax),且正方形ABCD的边长为|AB|=3logax-2logax=logax=2,即loga2=2,a=2. 【答案】216.(2017江苏淮安市一模)若函数f(x)=Asin(x+)A0,0,|0,0,|0)的图象与零点的关系=b2-4ac0
25、=00)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点个数三二分法定义:对于在区间a,b上连续不断且的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫作二分法. 左学右考1 判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“”,错误的画“”.(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象连续不断),则f(a)f(b)0.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)在b2-4ac0时没有零点.()(4)若函数f(x)在(a,b)上单调且f(a)f(b)0,则函数f
26、(x)在a,b上有且只有一个零点.()2 函数f(x)=ex+3x的零点个数是().A.0B.1 C.2 D.33 函数f(x)=12ln x+x-1x-2的零点所在的区间是().A.1e,1 B.(1,2)C.(2,e) D.(e,3)4 函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,求实数a的取值范围.知识清单一、1.f(x)=02.x轴零点3.f(a)f(b)0(a,b)f(c)=0c二、210三、1.f(a)f(b)0一分为二零点 基础训练1.【解析】(1)错误,函数的零点就是函数的图象与x轴交点的横坐标.(2)错误,f(a)f(b)也可能大于零.(3)正确,当b2-4
27、ac0时,二次函数图象与x轴无交点,即没有零点.(4)正确.【答案】(1)(2)(3)(4)2.【解析】画出y=ex与y=-3x的图象(图略)可知,零点只有1个.【答案】B3.【解析】由零点存在性定理可知f(2)=12ln 2+2-12-20,故选C.【答案】C4.【解析】由已知得f(-1)f(1)0,即(-a+1-2a)(a+1-2a)0,解得13a0的零点个数是.(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是(). A.5B.4C.3 D.2【解析】(1)当x0时,令x2-2=0,解得x=-2(x=2
28、舍去),所以在(-,0上有一个零点;当x0时,f(x)=2+1x0恒成立,所以f(x)在(0,+)上是增函数.又因为f(2)=-2+ln 20,所以f(x)在(0,+)上只有一个零点.综上可得,函数f(x)的零点个数为2.(2)由题意知,f(x)是周期为2的偶函数.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及y=log3|x|的图象(如图),观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log3|x|有4个零点.【答案】(1)2(2)B判断函数零点个数的方法:解方程法;零点存在性定理,结合函数的性质;数形结合法,转化为两个函数图象的交点个数.【变式训练1】(1)函数f(x)=xcos x
29、2在区间0,4上的零点个数为().A.4B.5C.6 D.7(2)已知函数f(x)=2-|x|,x2,(x-2)2,x2,函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为().A.2B.3C.4D.5【解析】(1)当x=0时,f(x)=0.因为x0,4,所以0x216.又因为516112,所以函数y=cos x2在x2取2,32,52,72,92时为0,此时f(x)=0.所以f(x)=xcos x2在区间0,4上的零点个数为6.(2)由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=|x-2|+1,x0,3-x2,x0,函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与
30、y=g(x)图象的交点个数,在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2.故选A.【答案】(1)C(2)A题型二函数零点所在区间的判断【例2】已知函数f(x)=ln x-12x-2的零点为x0,则x0所在的区间是().A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】f(x)=ln x-12x-2在(0,+)上为增函数,又f(1)=ln 1-12-1=-20,f(2)=ln 2-1200,x0(2,3),故选C.【答案】C确定函数零点所在区间,可利用零点
31、存在性定理或数形结合法,若用数形结合法画图必须要准确.【变式训练2】函数f(x)=3x-7+ln x的零点位于区间(n,n+1)(nN)内,则n=.【解析】因为f(2)=-1+ln 2,ln 2ln e=1,所以f(2)0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.【答案】2题型三函数零点的应用【例3】(2017昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x-4)=f(x),且在区间0,2上f(x)=x,若关于x的方程f(x)=logax有三个不同的实根,求a的取值范围.【解析】由f(x-4)=f(x)知,函数的周期为4.因为函数为偶函数,所以f(x-4)=f(x)=f(4-x
32、),所以函数图象关于直线x=2对称,且f(2)=f(6)=f(10)=2.要使方程f(x)=logax有三个不同的根,如图,则满足a1,f(6)2,即a1,loga62,解得6a0,-x2-2x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.【解析】画出f(x)=2x-1,x0,-x2-2x,x0的图象如图.由于函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得0m0,且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是.(2)若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实根,则实数a的取值范围为.【解析】(1)函数f(x)=ax-x-a(a0,且a1)有两个零点,即方程ax-x-a=0有两个根,故函数y=ax与函数