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1、第 1 页 共 7 页 1 第 1 讲 万有引力定律与天体运动规律第 1 讲 万有引力定律与天体运动规律 A 组 基础巩固A 组 基础巩固 1.(2017 西城期末)如图所示,地球绕着太阳公转,而月球又绕着地球转动,它们的运动均可近似看成匀速 圆周运动。如果要通过观测求得地球的质量,需要测量下列哪些量( ) A.地球绕太阳公转的轨道半径和周期 B.月球绕地球转动的轨道半径和周期 C.地球的半径和地球绕太阳公转的周期 D.地球的半径和月球绕地球转动的周期 答案 B 根据万有引力公式与圆周运动相关公式有 G =m()2r,可得中心天体质量 M=,在太阳-地 Mm r2 2 T 42r3 GT2 球
2、系统中,地球为绕行天体,不能求出地球的质量,所以 A、C 选项错误;同理,地球-月球系统中,地球为中 心天体,若知月球绕地球转动的半径和周期,可由G =mr求出地球质量M=,其中r为月球轨道半径, Mm r2 42 T2 42r3 GT2 不是地球半径,所以 D 选项错误,B 选项正确。 2.(2018 丰台二模)天体演变的过程中,红巨星发生“超新星爆炸”后,可以形成中子星,中子星具有极高 的密度。若已知某中子星的半径为 R,密度为 ,引力常量为 G。则( ) A.该中子星的卫星绕它做匀速圆周运动的最小周期为 3R G B.该中子星的卫星绕它做匀速圆周运动的最大加速度为 4GR 3 C.该中子
3、星的卫星绕它做匀速圆周运动的最大角速度为 4R 3 D.该中子星的卫星绕它做匀速圆周运动的最大线速度为 4R 3 第 2 页 共 7 页 2 答案 B 中子星的卫星绕中子星运动时,由 “高轨低速大周期” 可知,当卫星轨道半径等于中子星半径 R 时有最小周期、 最大加速度、 最大线速度和最大角速度。 由 G =ma 得最大加速度 a= =, B Mm R2 GM R2 G 4 3R 3 R2 4GR 3 项正确。由 a=2R=R,得最小周期 T=2=,最大角速度 =,A、C 错误。最大线速 42 T2 R a 3 G a R 4G 3 度 v=R=,D 错误。 4GR2 3 3.(2018 东城
4、一模)已知月球到地球的距离约为地球半径的 60 倍,地球表面重力加速度为 g,月球环绕地 球做圆周运动的向心加速度为 a,则 a 约为 g 的( ) A.B. 1 3600 1 60 C.3 600 倍D.60 倍 答案 A 在地球表面,重力近似等于万有引力 G =mg,月球环绕地球做圆周运动,万有引力提供向心力 G Mm R2 =m月a,所 a=g。 Mm月 (60R)2 1 3600 4.已知引力常量为 G,根据下列数据可以计算出地球质量的是( ) A.地球表面的重力加速度和地球半径 B.月球自转的周期和月球的半径 C.卫星距离地面的高度和其运行的周期 D.地球公转的周期和日地之间的距离
5、答案 A 在地球表面,可认为重力等于万有引力,mg=,所以 M=,A 选项正确。 由 B 选项中条件无法计 GMm R2地 gR2地 G 算出地球质量,B 选项错误。=,已知卫星距离地面的高度和其运行的周期,而地球半 GMm (R地+ h)2 m42(R地+ h) T2 径 R地未知,无法计算出地球质量,C 选项错误。利用=和 D 选项中的条件可以计算出太阳的质量, GMm r2 m42r T2 但无法计算出地球的质量,D 选项错误。 5.(2017 丰台一模)某质量为 M、半径为 R 的行星表面附近有一颗质量为 m 的卫星,卫星绕行星的运动可 视为匀速圆周运动,其角速度大小为 ,线速度大小为
6、 v;若在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 第 3 页 共 7 页 3 m0的物体重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为 F。引力常量为 G,忽略该行星自转。根据已知条件,下 列表达式中不正确的是( ) A.v=R B.=F GMm R2 C.=m2RD. = GMm R2 GM R2 F m0 答案 B 由圆周运动中线速度和角速度关系可知 v=R,故 A 项正确;由万有引力定律和平衡条件可知, 对质量为 m0的物体有 F=,故 B 项错误;对质量为 m 的卫星而言,由牛顿运动定律和万有引力定律有 GMm0 R2 GMm R2 =m2R,故 C 项正确;通过对 B 项的分析,可知 D 项正确
7、。 6.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水 平方向运动的距离之比为 2。已知该行星质量约为地球的 7 倍,地球的半径为 R。由此可知,该行星7 的半径约为( ) A. RB. RC.2RD.R 1 2 7 2 7 2 答案 C 在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们经 历的时间之比即在水平方向运动的距离之比,所以 =。 物体竖直方向上做自由落体运动,重力加速度分 t1 t2 2 7 别为 g1和 g2,因此 = = 。 g1 g2 2h/t21 2h/t22 t22 t21 7 4 设行星和地球的质
8、量分别为 7M 和 M,行星的半径为 r,则有 G=mg1 7Mm r2 G =mg2 Mm R2 解得 r=2R 因此 A、B、D 错,C 对。 7.(2018 石景山一模)双星是两颗相距较近的天体,在相互间万有引力的作用下,绕连线上某点做匀速圆 周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星,下列说法中正确的是( ) 第 4 页 共 7 页 4 A.质量较大的天体做匀速圆周运动的向心力较大 B.质量较大的天体做匀速圆周运动的角速度较大 C.两颗天体做匀速圆周运动的周期相等 D.两颗天体做匀速圆周运动的线速度大小相等 答案 C 双星系统中,两天体做匀速圆周运动的向心力都是由两者之间的万有引力充当的
9、,故 A 错误;由 于双星在运动过程中,始终与轨道圆心三者共线,故它们的角速度、 周期均相等,即 B 错误,C 正确;双星中 质量不等的两天体的轨道半径不同,由v=r可知双星中质量不等的两天体的线速度大小不相等,D错误。 8.(2017 西城二模)在银河系中,双星的数量非常多,冥王星和它的卫星卡戎就是一对双星。 所谓双星就是 两颗相距较近的星球,在相互间万有引力的作用下,绕连线上某点做匀速圆周运动。如图所示,两颗质量 不等的星球 a、b 构成一个双星系统,它们分别环绕着 O 点做匀速圆周运动。关于 a、b 两颗星球的运动 和受力,下列判断正确的是( ) A.向心力大小相等B.线速度大小相等 C
10、.周期大小不相等D.角速度大小不相等 答案 A 题中的双星系统中的两颗星球绕同一圆心,不同半径做圆周运动,二者的周期相同,由 = 2 T 知 相同,由 v=R 知 v 不同,由 F向=G 知向心力等大。 Mm L2 9.(2018 西城期末)我国发射的 “嫦娥三号” 登月探测器靠近月球后,经过一系列过程,在离月球表面高为 h 处悬停,即相对于月球静止。关闭发动机后,探测器自由下落,落到月球表面时的速度大小为 v,已知引力 常量为 G,月球半径为 R,hR,忽略月球自转。求: 第 5 页 共 7 页 5 (1)月球表面的重力加速度 g0; (2)月球的质量 M; (3)假如你站在月球表面,将某小
11、球水平抛出,你会发现,抛出时的速度越大,小球落回月球表面的落 点就越远。所以,可以设想,如果速度足够大,小球就不再落回月球表面,它将绕月球做半径为 R 的匀速圆 周运动,成为月球的卫星。则这个抛出速度 v1至少为多大。 答案 见解析 解析 (1)根据自由落体运动规律 v2=2g0h 解得重力加速度 g0= v2 2h (2)在月球表面,设探测器的质量为 m 其所受万有引力等于重力,即 G =mg0 Mm R2 解得月球质量 M= v2R2 2hG (3)设小球质量为 m,抛出时的速度 v1即小球做圆周运动的环绕速度 由万有引力提供向心力有 G=m Mm R2 v21 R 解得小球速度至少为 v
12、1= v2R 2h B 组 综合提能B 组 综合提能 1.万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一,利用它我们可以进行许多分析和预测。2018 年 5 月 9 日 出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时,天文学家称之为“木星 第 6 页 共 7 页 6 冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大约 是地球到太阳距离的 5 倍。下列说法正确的是( ) A.木星运行的加速度比地球的大 B.木星运行的周期比地球的小 C.下一次的“木星冲日”时间肯定在 2019 年 D.下一次的“木星冲日”时间肯定在 2020 年 答案 C 设
13、太阳质量为 M,行星质量为 m,轨道半径为 r ,周期为 T ,加速度为 a 。对行星由牛顿第二定律 可得 G =ma=m,解得 a= ,T=2。因 r木日5r地日,则木星运行的加速度比地球的小,木星运行的 Mm r2 42r T2 GM r2 r3 GM 周期比地球的大,A、B 错误。地球公转周期 T1 =1 年,由开普勒第三定律可知木星公转周期 T2=125 T111.18 年,设经时间 t,再次出现木星冲日,则 1t-2t=2,其中 1=,2=,解得 t1.1 年,因 2 T1 2 T2 此下一次“木星冲日”发生在 2019 年,C 正确,D 错误。 2.(2017朝阳期中)牛顿思考月球
14、绕地球运行的原因时,苹果偶然落地引起了他的遐想:拉住月球使它围绕 地球运动的力与拉着苹果下落的力,是否都与太阳吸引行星的力性质相同,遵循着统一的规律平方 反比规律?因此,牛顿开始了著名的“月地检验”。 (1)已知月球与地球的距离约为地球半径的 60 倍,如果牛顿的猜想正确,请你据此计算月球公转的向 心加速度 a 和苹果下落的加速度 g 的比值 ; a g (2)在牛顿的时代,月球与地球间的距离 r、 月球绕地球公转的周期 T 等都能比较精确地测定,请你据 此写出计算月球公转的向心加速度a的表达式;已知r3.84108 m,T2.36106 s,地面附近的重力加 速度 g=9.80 m/s2,请
15、你根据这些数据估算比值 ;与(1)中的结果相比较,你能得出什么结论? a g (3)物理学不断诠释着自然界的大统与简约。换一个角度再来看,苹果下落过程中重力做功,重力势 能减少。试列举另外两种不同类型的势能,并说出这些势能统一具有的特点(至少说出两点)。 答案 见解析 第 7 页 共 7 页 7 解析 (1)设月球的质量为 m月,地球质量为 M,根据牛顿第二定律有 G=m月a Mm月 r2 设苹果的质量为 m,地球半径为 R,根据牛顿第二定律有 G =mg Mm R2 由题意知 r=60R 可得 = a g 1 3600 (2)由向心加速度的表达式得 a= v2 r 其中 v= 2r T 可得 a=r 42 T2 代入相关数据可得 a g 1 3604 与(1)中的结果比较,二者近似相等,由此可以得出结论:牛顿的猜想是正确的,即地球对月球的引力, 地面上物体的重力,都与太阳吸引行星的力性质相同,遵循着统一的规律平方反比规律。 (3)弹性势能、电势能这些势能都不是物体单独所有,而是相互作用的系统所共有;这些势能的大小 都与相互作用的物体间的相对位置有关;这些势能的变化量均由对应的力所做的功来量度。