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1、第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列1,3,6,10,15,的递推公式是().A.an+1=an+n,nN*B.an=an-1+n,nN*,n2C.an+1=an+(n+1),nN*,n2D.an=an-1+(n-1),nN*,n2解析:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4+5,所以an=an-1+n,nN*,n2.答案:B2若公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于().A.1B.2C.4D.8解析:a3a11=a72=1
2、6,且an0,a7=4.a5=a7q2=422=1.答案:A3已知数列an是等比数列,a2=2,a5=14,若令Tn=a1a2+a2a3+anan+1,则Tn等于()A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C.323(1-4-n)D.223(1-2-n)解析:由题意可知anan+1an-1an=q2,即数列anan+1是以q2为公比的等比数列.由a2=2,a5=14得q=12,所以a1=4,a1a2=8.所以Tn=81-14n1-14=323(1-4-n).答案:C4九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3 L,下面3节的容积共4 L,则
3、第五节的容积为()A.1 LB.6766 LC.4744 LD.3722 L解析:设竹子的容积自上而下成等差数列an:a1,a2,a9,其公差为d,则a1+a2+a3+a4=4a1+6d=3,a7+a8+a9=3a1+21d=4,解得a1=1322,d=766,所以a5=a1+4d=1322+4766=6766,故选B.答案:B5已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于().A.18B.20C.21D.32解析:因为an,bn都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即a5+b6
4、=2(a3+b8)-(a1+b10)=215-9=21.答案:C6已知等比数列an的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+a5+a2n-1),a1a2a3=27,则数列an的通项公式是 ().A.an=3n+1B.an=23n-1C.an=3n-1D.an=3n解析:由a1a2a3=27得a23=27,所以a2=3.因为S2n=4(a1+a3+a5+a2n-1),所以当n=1时,有S2=a1+a2=4a1,得a1=1,从而公比q=3,所以an=a1qn-1=3n-1.答案:C7已知数列an为等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+anan+1等于()A.16(1-4-n)B.
5、16(1-2n)C.323(1-4-n)D.323(1-2-n)解析:设an的公比为q,则q3=a5a2=18,q=12,a1=4.anan+1也是等比数列且首项a1a2=8,公比为q2=14,a1a2+a2a3+anan+1=81-14n1-14=323(1-4-n).答案:C8等比数列an的前n项和为Sn,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于().A.13B.-13C.19D.-19解析:设数列an的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q1.当q1时,S3=a1(1-q3)1-q=a1q+10a1,1-q31-q=q
6、+10,整理得q2=9.a5=a1q4=9,即81a1=9,a1=19.答案:C9设Sn为等差数列an的前n项和,(n+1)SnnSn+1(nN*).若a8a7-1,则().A.Sn的最大值是S8B.Sn的最小值是S8C.Sn的最大值是S7D.Sn的最小值是S7解析:由(n+1)SnnSn+1,得(n+1)n(a1+an)2n(n+1)(a1+an+1)2,整理得anan+1,所以等差数列an是递增数列.又a8a70,a7aq,aq+aqa,a+aqaq.又a0,q0,解得-1+52q1+52.答案:5-12,5+1214把自然数1,2,3,4,按下列方式排成一个数阵.123456789101
7、112131415根据以上排列规律,数阵中第n(n3)行从左至右的第3个数是.解析:该数阵的第1行有1个数,第2行有2个数,第n行有n个数,则第n-1(n3)行的最后一个数为(n-1)(1+n-1)2=n22-n2,则第n行从左至右的第3个数为n22-n2+3.答案:n22-n2+315如下表所示,若在33正方形的9个空格中填入正整数,使得每一行都成等差数列,每一列都成等比数列,则标有*号的空格应填的数是.13*12解析:设标有*号的空格应填a,由于每一行都成等差数列,则第一行第二个数是1+32=2,第三行第二个数是a+122,如表所示.又每一列都成等比数列,则第一列第二个数是1a=a.又空格
8、中的数都是正整数,则应为a.同理第三列第二个数是6.根据每一行成等差数列,则第二行第二个数是a+62.根据每一列成等比数列,且空格中的数都是正整数,则第二列第二个数是2a+122=a+12,则有a+62=a+12,解得a=4.123a6aa+12212答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列an中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求an的通项公式;(2)设bn=an,求数列bn的前10项和,其中x表示不超过x的最大整数,如0.9=0,2.6=2.解(1)设数列an的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解
9、得a1=1,d=25.所以an的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=2n+35.当n=1,2,3时,12n+352,bn=1;当n=4,5时,22n+353,bn=2;当n=6,7,8时,32n+354,bn=3;当n=9,10时,42n+355,bn=4.所以数列bn的前10项和为13+22+33+42=24.17(8分)已知数列an是等差数列,其前n项和为Sn,且a1=-1,S12=186.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=12an,记数列bn的前n项和为Tn,试证明Tn167对nN*恒成立.(1)解设等差数列an的公差为d,a1=-1,S12=-112
10、+12112d=186,解得d=3.an=-1+3(n-1)=3n-4,数列an的通项公式为an=3n-4.(2)证明bn=12an=123n-4.当n2时,bnbn-1=123=18,数列bn是等比数列,首项b1=12-1=2,公比q=18.Tn=21-18n1-18=1671-18n167对nN*恒成立.18(9分)在公差为d的等差数列an中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,an;(2)若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+|an|.解(1)由题意得5a3a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以an=-n+11,nN*或an
11、=4n+6,nN*.(2)设数列an的前n项和为Sn,因为d0,由(1)得d=-1,an=-n+11.则当n11时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=Sn=-12n2+212n.当n12时,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+|an|=-12n2+212n,n11,12n2-212n+110,n12.19(10分)已知数列an是首项为正数的等差数列,数列1anan+1的前n项和为n2n+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(an+1)2an,求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公
12、差为d.令n=1,得1a1a2=13,所以a1a2=3.令n=2,得1a1a2+1a2a3=25,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.(2)由(1)知bn=(an+1)2an=2n22n-1=n4n,所以Tn=141+242+n4n,所以4Tn=142+243+n4n+1,两式相减,得-3Tn=41+42+4n-n4n+1=4(1-4n)1-4-n4n+1=1-3n34n+1-43.所以Tn=3n-194n+1+49=4+(3n-1)4n+19.20(10分)正项数列an的前n项和Sn满足:Sn2-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=n+1(n+2)2an2,数列bn的前n项和为Tn,证明:对于任意的nN*,都有Tn0,Sn=n2+n.于是a1=S1=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列an的通项an=2n.(2)证明由于an=2n,bn=n+1(n+2)2an2,则bn=n+14n2(n+2)2=1161n2-1(n+2)2.Tn=1161-132+122-142+132-152+1(n-1)2-1(n+1)2+1n2-1(n+2)2=1161+122-1(n+1)2-1(n+2)21161+122=564.