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1、2.2.2等差数列的前n项和课时过关能力提升1在等差数列an中,已知a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于()A.160B.180C.200D.220解析(a1+a2+a3)+(a18+a19+a20)=(-24)+78=54,又a1+a20=a2+a19=a3+a18,则3(a1+a20)=54,a1+a20=18.则S20=20(a1+a20)2=1018=180.答案B2在等差数列an中,若S12=8S4,则a1d=()A.910B.109C.2D.23解析由S12=8S4,得12a1+1211d2=84a1+432d,即12a1+66d=32a1
2、+48d.a1d=910.答案A3已知等差数列an的公差d0,且a12=a112,则数列的前n项和Sn取得最大值时的项数n是()A.5B.6C.5或6D.6或7解析由a12=a112,得(a1+a11)(a1-a11)=0.又d0,a1+a11=0,a6=0.S5=S6,且最大.答案C4设Sn是等差数列an的前n项和,若S3S6=13,则S6S12等于()A.310B.13C.18D.19解析设该数列的首项为a1,公差为d,由等差数列的前n项和公式可得S3S6=3a1+3d6a1+15d=13,可得a1=2d,且d0,所以S6S12=6a1+15d12a1+66d=27d90d=310,故选A
3、.答案A5已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=10,S5=55,则过点P(n,an)和Q(n+2,an+2)(nN+)的直线的斜率是()A.4B.3C.2D.1解析设该数列的首项为a1,公差为d.由题意得2a1+d=10,5a1+10d=55,解得a1=3,d=4.则所求斜率为an+2-an(n+2)-n=d=4.答案A6设Sn为等差数列an的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=.解析设等差数列an的首项为a1,公差为d,由题意,得4a1+4(4-1)2d=14,10a1+10(10-1)2d-7a1+7(7-1)2d=30,由联立,解得a1=2,d=1,所以S9=92+9
4、(9-1)21=54.答案547若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)(4n+27),则它们的第11项之比为.解析设等差数列an的前n项和为Sn,等差数列bn的前n项和为Tn,则a11=a1+a212,b11=b1+b212,a11b11=12(a1+a21)12(b1+b21)=12(a1+a21)2112(b1+b21)21=S21T21=721+1421+27=43.答案438已知在等差数列an中,数列an的前n项和为Sn,且S6S8,有下列命题:此数列的公差d0;a90;a7是各项中最大的项;S7一定是Sn中的最大值.其中正确命题的序号是.解析S6S7,即S60,同理可得a80,d
5、=a8-a70,a90,S130,S130得到不等式组即可解决;(2)由da2a12a13,可知数列前面的项为正,后面的项为负,加上正数,和变大;加上负数,和变小.因此在1n12中,若存在自然数n,使an0,an+10,13a1+13122d0,a1+6d0,a1+2d=12.解得d的取值范围是-247d-3.(2)因为da2a3a4a12a13.而S13=13(a1+a13)2=13a70,所以a70,所以a60.所以数列an的前6项的和S6最大.12在数列an中,a1=8,a4=2,且满足an+2-2an+1+an=0(nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)设Sn=|a1|+|a2|
6、+|an|,求Sn;(3)设bn=1n(12-an)(nN+),Tn=b1+b2+bn,是否存在最大整数m,使对任意nN+,均有Tnm32总成立?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.分析第(1)问由条件an+2-2an+1+an=0可知数列an是等差数列,可由已知条件求得公差,再代入通项公式得解.第(2)问先求得前几项是正数,从第几项开始是负数,再求绝对值的和即可.第(3)问先求得Tn的值,再判断Tn的单调性,从此不等式中解得m的值.解(1)由an+2-2an+1+an=0,得an+2-an+1=an+1-an,则数列an是等差数列.由a1=8,a4=2,得d=-2,则an=10-2n.(2)由an0,且an+15时,Sn=|a1|+|a2|+|an|=(a1+a2+a5)-(a6+a7+an)=2(a1+a2+a5)-(a1+a2+an)=220-(-n2+9n)=n2-9n+40.故Sn=-n2+9n,n5,n2-9n+40,n5.(3)因为bn=121n-1n+1,所以Tn=121-12+12-13+1n-1n+1=n2(n+1).所以Tn+1-Tn=12(n+2)(n+1)0,所以Tn单调递增.所以T1=14为Tn的最小值,要使Tnm32总成立,只需m32T1=14恒成立,所以m8.因为mZ,所以适合条件的m的最大值为7.