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1、2.5直线与圆锥曲线课时过关能力提升1.若椭圆x236+y29=1的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为()A.2B.-2C.13D.-12解析:设弦两端点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,又x1236+y129=1,x2236+y229=1.-得(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0,即8(x1-x2)36+4(y1-y2)9=0,所以所求直线的斜率为y1-y2x1-x2=-12.答案:D2.已知椭圆x2+2y2=4,则以(1,1)为中点的弦的长度为()A.32B.23C.303D.326解析:依题设弦的端点为A(x1
2、,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,又x12+2y12=4,x22+2y22=4,所以x12-x22=-2(y12-y22),此弦的斜率k=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-12,所以此弦所在的直线方程为y-1=-12(x-1),即y=-12x+32.代入x2+2y2=4,整理得3x2-6x+1=0,所以x1x2=13,所以|AB|=(x1+x2)2-4x1x21+k2=4-4131+14=303.答案:C3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,5)B.(1,5)(5,+)C
3、.(5,+)D.5,+)解析:双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率k=ba,要使双曲线x2a2-y2b2=1和直线y=2x有交点,只要满足ba2即可,c2-a2a2,e2-12,e5.答案:C4.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F(7,0),直线y=x-1与双曲线交于M,N两点,且MN中点的横坐标为-23,则此双曲线的方程为()A.x23-y24=1B.x24-y23=1C.x25-y22=1D.x22-y25=1解析:由c=7,得a2+b2=7.焦点为F(7,0),可设双曲线方程为x2a2-y27-a2=1,并设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=x-1代入并整理得(7-2a2)x2
4、+2a2x-a2(8-a2)=0,x1+x2=-2a27-2a2,由已知得-2a27-2a2=-232,解得a2=2,故双曲线的方程为x22-y25=1.答案:D5.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是()A.-12,12B.-2,2C.-1,1D.-4,4解析:由已知,得直线l的方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立方程组,整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线与抛物线有一个交点.当k0时,由=64-64k20,解得-1k1.所以-1k1,k0.综上得-1k1.答案:C6.直线l过抛物线y2=ax的焦点,并且垂直于
5、x轴,若直线l被抛物线截得的线段长为4,则a=.解析:抛物线y2=ax的焦点为a4,0,所以直线l与抛物线的两个交点坐标是a4,a2和a4,-a2,所以a2-a2=4,解得a=4.答案:47.已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的右顶点为A(1,0),过椭圆C的焦点且垂直长轴的弦长为1,则椭圆C的方程为.解析:由题意得b=1,2b2a=1,a=2,b=1.故所求的椭圆方程为y24+x2=1.答案:y24+x2=18.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=.解析:直线AF的方程为:y=-3(x-2),当x=-2
6、时,y=43,A(-2,43).当y=43时,代入y2=8x中,得x=6,P(6,43).|PF|=|PA|=6-(-2)=8.答案:89.在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长.分析:题目中涉及弦的中点,既可以考虑中点坐标公式,又可以考虑平方差公式.解:当直线斜率不存在时,M不可能为弦的中点,所以可以设直线方程为y=k(x-2)+1,代入椭圆方程,消去y,得(1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0.显然1+4k20,=16(12k2+4k+3)0,由x1+x2=16k2-8k1+4k2=4,解得k=-12.故所求弦所在
7、的直线方程为x+2y-4=0.由x+2y-4=0,x2+4y2=16,消去x,得y2-2y=0,y1=0,y2=2.弦长=1+1k2|y1-y2|=1+4|0-2|=25.10.求k的取值范围,使直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1至多有一个公共点.分析:将y=kx+1代入双曲线方程得关于x的方程,讨论该方程解的个数即可.解:联立直线与双曲线方程y=kx+1,x2-y2=1,消去y得(1-k2)x2-2kx-2=0.当1-k2=0,即k=1时,解得x=1;当1-k20,即k1时,=4k2+8(1-k2)=8-4k2.由=0得k=2,由0得k2.所以当k=2或k=1时,直线与双曲线有1个公共点;当k(-,-2)(2,+)时,直线与双曲线无公共点.故当k=1或k=2或k(-,-2)(2,+)时,直线与双曲线至多有一个公共点.