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1、03第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点课时过关能力提升基础巩固1.下列图象表示的函数没有零点的是()解析:若函数的图象与x轴有交点,则函数有零点;反之,函数无零点.答案:A2.函数f(x)=2x2-3x+1的零点是()A.-12,-1 B.12,1 C.12,-1 D.-12,1解析:方程2x2-3x+1=0的两根分别为x1=1,x2=12,所以函数f(x)=2x2-3x+1的零点是12,1.答案:B3.方程13x-x=0的解有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:设g(x)=13x,h(x)=x,在同一坐标系中,画出函数g(x)和h(x)的图象,如图所示,g(
2、x)和h(x)的图象仅有一个交点,则方程13x-x=0仅有一个解.答案:B4.已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+)解析:由题意知f(1)=61-log21=60,f(2)=62-log22=3-1=20,f(4)=64-log24=32-2=-120.故f(2)f(4)0.由零点存在性定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4).答案:C5.函数f(x)=|x-2|-ln x在定义域内零点的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:在同一坐标系内,作出p(x)=|x-2|,q(x)=ln x的图象,
3、如图所示.由图象可知p(x),q(x)的图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点.答案:C6.设x0是方程ln x+x=4的解,则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:设f(x)=ln x+x-4,则f(1)=-30,f(2)=ln 2-20,f(4)=ln 40,则x0(2,3).答案:C7.若函数f(x)=x-1x,则函数g(x)=f(4x)-x的零点是_.解析:g(x)=f(4x)-x=4x-14x-x.令4x-14x-x=0,解得x=12,则函数g(x)的零点是x=12.答案:x=128.函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0
4、的零点个数为_.解析:当x0时,令x2+2x-3=0,解得x=-3;当x0时,令-2+ln x=0,解得x=e2,所以原函数有2个零点.答案:29.若函数f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,则实数k的取值范围是.解析:f(x)=kx-2x在(0,1)内有零点,y1=kx与y2=2x的图象在(0,1)内有交点.画出y2=2x在(0,1)内的图象,如图,又知y1=kx过原点,故可知k2时,y1与y2在(0,1)内有交点.答案:(2,+)10.求下列函数的零点:(1)f(x)=5x-3;(2)f(x)=(x-1)(x2-4x+3)x-3;(3)f(x)=x7-2.解:(1)令5x-3=0,则5
5、x=3,解得x=log53,即函数f(x)的零点是x=log53.(2)令(x-1)(x2-4x+3)x-3=0,解得x=1,即函数f(x)的零点是x=1.(3)令x7-2=0,解得x=72,即函数f(x)的零点是x=72. 能力提升1.设函数y=x3与y=12x-2的图象交点为(x0,y0),则x0所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)解析:令f(x)=x3-12x-2,则f(0)=0-12-2=-40,f(1)=1-12-1=-10,f(3)=27-121=26120,f(4)=43-122=63340,故f(1)f(2)0,即x0所在的区间是(1,2).
6、答案:B2.已知x0是函数f(x)=2x+11-x的一个零点,若x1(1,x0),x2(x0,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析:易知函数f(x)=2x+11-x在(1,+)上是增函数,且f(x0)=0,故当x1(1,x0),x2(x0,+)时,f(x1)0.答案:B3.设二次函数f(x)=x2-x+a(a0),若f(m)0,且f(m)0,即a14.设f(x)的两个零点为x1,x2,且x10,x1mx2,所以x2-x1=(x2+x1)2-4x2x1=1-4a.由于0a14,则1-4a1,则m-10.答案:A4.已知f(x)
7、=(x-a)(x-b)-2,并且,是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,的大小关系可能是()A.abB.abC.abD.ab解析:,是函数f(x)的两个零点,f()=f()=0.又f(x)=(x-a)(x-b)-2,f(a)=f(b)=-21,即aa.若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是_.解析:要使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,应使f(x)图象与直线y=b有两个不同的交点.当0a1时,由f(x)的图象知f(x)在定义域R上单调递增,它与直线y=b不可能有两个交点.当a0时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,0)上递减,在
8、0,+)上递增,且a30,所以,当0b1时,由f(x)的图象(如图)知,f(x)在(-,a上递增,在(a,+)上递增,但a3a2,所以当a2ba3时,f(x)图象与y=b有两个不同的交点.综上,实数a的取值范围是a1.答案:(-,0)(1,+)7.定义在R上的奇函数y=f(x)在区间(-,0)上单调递增,函数f(x)的一个零点为-12,求满足f(log14x)0的x的取值范围.解:因为函数y=f(x)在区间(-,0)上单调递增,函数f(x)的一个零点为-12,且f(x)是奇函数,所以作出f(x)的大致图象,如图所示.由flog14x0,得-12log14x0或log14x12,解得1x2或00,114+m0,解得-3m-114,即实数m的取值范围是-3,-114.