《2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3训练：第一章 计数原理 检测（A） Word版含解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年高二数学人教A版选修2-3训练：第一章 计数原理 检测（A） Word版含解析.doc（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第一章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1 C109+C108等于()A.45B.55C.65D.以上都不对解析:C109+C108=C101+C102=55,故选B.答案:B2(x3+x2+x+1)(y2+y+1)(z+1)展开后的不同项数有 ()A.9项B.12项C.18项D.24项解析:分三步:第一步,从(x3+x2+x+1)中任取一项,有4种方法;第二步,从(y2+y+1)中任取一项,有3种方法;第三步,从(z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理得共有432=24
2、项.答案:D35名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有()A.10种B.20种C.25种D.32种解析:5名同学报名参加两个课外活动小组,每名同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种,故选D.答案:D4将7名学生分配到甲、乙两间宿舍中,每间宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的分配方案共有()A.252种B.112种C.70种D.56种解析:分两类:甲、乙两间宿舍中一间住4人、另一间住3人或一间住5人、另一间住2人,所以不同的分配方案共有C73A22+C72A22=352+212=112种.答案:B5满足a,b-1,0,1,2,且关于x的
3、方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为()A.14B.13C.12D.10解析:当a=0时,方程变为2x+b=0,则b为-1,0,1,2都有解;当a0时,若方程ax2+2x+b=0有实数解,则=22-4ab0,即ab1.当a=-1时,b可取-1,0,1,2.当a=1时,b可取-1,0,1.当a=2时,b可取-1,0,故满足条件的有序数对(a,b)的个数为4+4+3+2=13.答案:B6若Cn1x+Cn2x2+Cnnxn能被7整除,则x,n的值可能为()A.x=4,n=3B.x=4,n=4C.x=5,n=4D.x=6,n=5解析:由于Cn1x+Cn2x2+Cnnxn=(1+
4、x)n-1,分别将选项A,B,C,D中的值代入检验知,仅有选项C适合.答案:C7用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279解析:构成所有的三位数的个数为C91C101C101=900,而无重复数字的三位数的个数为C91C91C81=648,故所求个数为900-648=252,应选B.答案:B8在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为()A.30B.20C.15D.10解析:含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为C62=15,故含x3项的系数是15.答案:C9若x-1xn展开
5、式的第4项为含x3的项,则n等于 ()A.8B.9C.10D.11解析: Tk+1=Cnkxn-k-1xk=Cnk(-1)kxn-2k,k0,1,2,n,因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.答案:B10从正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数为()A.C84-12B.C84-8C.C84-6D.C84-4解析:在正方体的6个面和6个对角面中,每个面上的四个点不能构成四面体.答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11如图所示为一电路图,若只闭合一条线路,则从A处到B处共有条不同的线路可通
6、电.解析:按上、中、下三条线路可分为三类,上线路中有3条,中线路中有一条,下线路中有22=4条.根据分类加法计数原理,共有3+1+4=8条不同的线路.答案:812甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是.(用数字作答)解析:可分类讨论:第一类,7级台阶上每一级只站一人,则有A73种;第二类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则共有C31A72种.因此共有不同的站法种数是A73+C31A72=336.答案:33613若x+a3x8的展开式中x4的系数为7,则实数a=_.解析:x+a3x8的通项为C8rx8-rar(x-13)r=
7、C8rarx8-rx-r3=C8rarx8-r-r3,令8-r-r3=4,解得r=3.C83a3=7,得a=12.答案:1214C170-2C171+4C172-8C173+(-217C1717)=_.解析:原式=(1-2)17=(-1)17=-1.答案:-115学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座,每科一节课,每节至少有一科,且数学、理综不安排在同一节,则不同的安排方法共有种.(用数字作答)解析:由于每科一节课,每节至少有一科,则必有两科在同一节,先从4科中任选2科看作整体,再做3个元素的全排列,共C42A33种方法,从中排除数学、理综安排在同一节的情
8、形,共A33种方法,故总的方法种数为C42A33-A33=36-6=30.答案:30三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)现有5名男司机,4名女司机,需选派5人运货到A地.(1)如果派3名男司机、2名女司机,那么共有多少种不同的选派方法?(2)至少有两名男司机,共多少种不同的选派方法?解: (1)利用分步乘法计数原理得,共有C53C42=60(种)不同的选派方法.(2)至少有两名男司机包括4种情况:2名男司机、3名女司机;3名男司机、2名女司机;4名男司机、1名女司机;5名男司机,根据分类加法计数原理与分步乘法计数原理,共有C52C43+C
9、53C42+C54C41+C55C40=121(种)不同的选派方法.17(8分)求证:(1)46n+5n+1-9是20的倍数(nN*);(2)3n-2nn2n-1(nN*).证明:(1)46n+5n+1-9=4(5+1)n+5(4+1)n-9=4(Cn05n+Cn15n-1+Cnn-15+1)+5(Cn04n+Cn14n-1+Cnn-14+1)-9=20(Cn05n-1+Cn15n-2+Cnn-1)+(Cn04n-1+Cn14n-2+Cnn-1),故结论成立.(2)3n-2nn2n-13nn2n-1+2n=2n-1(n+2),当n=1时,式左边=31=3,右边=21-1(1+2)=3,3n=2
10、n-1(n+2).当n2时,3n=(2+1)n=2n+Cn12n-1+Cn22n-2+Cnn2n+n2n-1=2n-1(2+n).综上,对一切nN*,不等式3n2n-1(2+n)成立,即3n-2nn2n-1(nN*)恒成立.18(9分)三名女生和五名男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,那么有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,那么有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,那么有多少种不同的排法?解: (1)(捆绑法)因为三名女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五名男生合在一起共有六个元素,排成一排有A66种不同排法.对于其中的每一种排法,三名女生之间又都
11、有A33种不同的排法,因此共有A66A33=4 320种不同的排法.(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五名男生排好,每两名相邻的男生之间留出一个空,这样共有4个空,加上两边两名男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三名女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一名女生,就能保证任意两名女生都不相邻.由于五名男生排成一排有A55种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三名女生插入都有A63种方法,因此共有A55A63=14 400种不同的排法.(3)方法一:(位置分析法)因为两端不能排女生,所以两端只能排5名男生中的2名,有A52种不同排法,对于其中的任意一种排法
12、,其余六个位置都有A66种排法,所以共有A52A66=14 400种不同的排法.方法二:(间接法)3名女生和5名男生排成一排共有A88种不同的排法,从中扣除女生排在首位的A31A77种排法和女生排在末位的A31A77种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次,所以还需加回来一次,由于两端都是女生有A32A66种不同的排法,所以共有A88-2A31A77+A32A66=14 400种不同的排法.19(10分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2
13、分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?解: (1)将取出的4个球分成三类情况:取4个红球,没有白球,有C44种;取3个红球,1个白球,有C43C61种;取2个红球,2个白球,有C42C62种,故有C44+C43C61+C42C62=115种.(2)设取x个红球,y个白球,则x+y=5,0x4,0y6,2x+y7,故x=2,y=3或x=3,y=2或x=4,y=1.因此,符合题意的取法种数有C42C63+C43C62+C44C61=186(种).20(10分)已知x+12xn的展开式中前三项的系数成等差数列.(1)求n的值;(2)求展开式中系数最大的项.分析:可用通项公式写出前三项的系数,利用等差中项的性质即可求出n的值;所谓系数最大的项,即只要某一项的系数不小于与它相邻的两项的系数即可,这是由二项式系数的增减性决定的.解: (1)由题意,得Cn0+14Cn2=212Cn1,即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).(2)设第r+1项的系数最大,则12rC8r12r+1C8r+1,12rC8r12r-1C8r-1,即18-r12(r+1),12r19-r,解得r=2或r=3.所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7x72.