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1、万有引力理论的成就万有引力理论的成就 一、计算天体的质量 1地球质量的计算 (1)若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力等于地球对物体的万 有引力，即mgG。 Mm R2 (2)地球质量M，式中只要知道G、R、g的值就能计算地球的质量。 gR2 G 2其他天体质量的计算 (1)将行星(或卫星)的运动近似看做匀速圆周运动，行星(或卫星)的向心力由万有引力 提供。 (2)公式：Gm2rmmr。 Mm r2 v2 r 42 T2 (3)被环绕的太阳或行星的质量：M。 42r3 GT2 说明 若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，利用Gm 2r，求出的质量M Mm r2( 2 T) 4
2、2r3 GT2 是地球的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，要想求月球的质量，要考虑绕 月球做圆周运动的卫星的运动规律。 选一选 若已知某行星绕太阳公转的半径为r， 公转周期为T， 引力常量为G， 则由此可求出( ) A该行星的质量 B太阳的质量 C该行星的密度 D太阳的密度 解析：选 B 设行星的质量为m，太阳的质量为M，由mr 2，得M ，可 GMm r2( 2 T) 42r3 GT2 求出太阳的质量，不能求出行星的质量m和密度，因为不知太阳的半径，故不能求出太 阳的密度，B 正确，A、C、D 错误。 二、发现未知天体 1已发现天体的轨道推算 18 世纪，人们观测到太阳系第七个行
3、星天王星的轨道和用万有引力定律计算出来 的轨道有一些偏差。 2未知天体的发现 根据已发现的天体的运行轨道结合万有引力定律推算出还没发现的未知天体的轨道， 如 海王星、冥王星就是这样发现的。 说明 海王星的发现和哈雷彗星“按时回归”的意义并不仅仅在于发现了新天体，更重要的是 确立了万有引力定律的地位。 判一判 1牛顿发现万有引力定律，同时测出地球的质量() 2“笔尖下发现的行星”是冥王星() 1.天体质量的计算 (1)基本思路 绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动， 做圆周运动的天体(或卫星)的向心 力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量。 (2)计算方法 已知
4、卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，则由Gmr，得 Mm r2 42 T2 M； 42r3 GT2 已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和运行的线速度v，则由Gm，得 Mm r2 v2 r M； v2r G 已知卫星的线速度v和运行周期T，则由Gmv和Gm，得M； Mm r2 2 T Mm r2 v2 r v3T 2G 若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物 体的引力得mgG，解得地球质量为M。 Mm R2 gR2 G 2天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度。 M 4 3R 3 方法一：利用天体的重力加速度 由mgG和，得(其中g为天体表
5、面的重力加速度)。 Mm R2 M 4 3R 3 3g 4GR 方法二：利用天体的卫星 设卫星绕天体运动的半径为r，周期为T，则对卫星而言，万有引力提供向心力， Gmr Mm r2 42 T2 又由，代入上式得 M 4 3R 3 3r3 GT2R3 当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则。 3 GT2 典型例题 例 1.月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，地球半径为R，引力常量为G，请写 出地球质量和地球密度的表达式。 解析 对月球由万有引力定律及牛顿第二定律得：m 2r GMm r2( 2 T) 则地球的质量：M4 2r3 GT2 地球的密度： M 4 3R 3 3r3
6、 GT2R3 答案 见解析 即时巩固 1“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。如图所示，若测得“嫦娥二号” 在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半 径为R的球体体积公式V R3，则可估算月球的( ) 4 3 A密度 B质量 C半径 D自转周期 解析 ： 选 A 由万有引力提供向心力有Gmr，由于在月球表面附近轨道有rR， Mm r2 42 T2 由球体体积公式V R3，联立解得月球的密度，A 正确。 4 3 3 GT2 1.应用万有引力定律解题的两条思路 (1)万有引力提供天体运动的向心力 Gmmrm2r。 Mm r2 v2 r 42 T2
7、(2)黄金代换 在天体表面上， 天体对物体的万有引力近似等于物体的重力， 即Gmg， 从而得出GM Mm R2 R2g。 2几个常用公式 (1)由Gm可得v ，r越大，v越小。 Mm r2 v2 r GM r (2)由Gm2r可得 ，r越大，越小。 Mm r2 GM r3 (3)由Gm 2r可得T2 ，r越大，T越大。 Mm r2( 2 T) r3 GM (4)由Gma可得a，r越大，a越小。 Mm r2 GM r2 (5)辅助公式： ，V R3。 M V 4 3 典型例题 例 2.(2016巴中高一检测)据报道， 天文学家发现了一颗距地球 40 光年的 “超级地球” ， 名为 “55 Can
8、cri e” 。 该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运动周期的， 1 480 母星的体积约为太阳的 60 倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球均做匀速 圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的( ) A轨道半径之比约为 3 60 480 B轨道半径之比约为 3 60 4802 C向心加速度之比约为 3 60 4802 D向心加速度之比约为 3 60 480 解析 由公式Gm 2r， 可得通式r ， 则， 从而判断 A Mm r2( 2 T) 3 GMT2 42 r1 r2 3 M1 M2 T2 1 T2 2 3 60 4802 错误， B 正确 ；
9、再由Gma得通式aG， 则， 所以 C、 D Mm r2 M r2 a1 a2 M1 M2 r2 2 r2 1 3 M1 M2 T4 2 T4 1 3 60 4804 错误。 答案 B 点评 应用万有引力定律应注意的问题 (1)卫星的an、v、T与卫星的质量无关，仅由被环绕的天体的质量M和轨道半径r 决定。 (2)应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球的公转周期是 365 天，自转一周是 24 小时，其表面的重力加速度约为 9.8 m/s2。 即时巩固 2质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。 已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加
10、速度为g，引力常量为G，不考虑月球自 转的影响，则航天器的( ) A线速度v GM R B角速度gR C运行周期T R g D向心加速度aGm R2 解析 ： 选 A 由万有引力提供向心力可得Gmamm2RmR，忽略月球自转 Mm R2 v2 R 42 T2 时，有Gmg，联立各式解得相关物理量后可判断 A 正确。 Mm R2 1.双星模型 宇宙中往往会有相距较近、质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其 他星球对它们的万有引力可以忽略不计。 在这种情况下， 它们将围绕它们连线上的某一固定 点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星系统。 2双星模型的特点 典型例题 例 3.宇宙中
11、两颗相距较近的天体称为“双星” ，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀 速圆周运动，而不至于因万有引力的作用吸引到一起。设二者的质量分别为m1和m2，二者 相距为L，求： (1)双星的轨道半径之比； (2)双星的线速度之比。 解析 这两颗天体必须各以一定速率绕某一中心转动才不至于因万有引力作用而吸 引到一起，所以两天体间距离L应保持不变，二者做圆周运动的角速度必须相同。如图 所示，设二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为R1和R2。 由万有引力提供向心力有 Gm12R1 m1m2 L2 Gm22R2 m1m2 L2 (1)两式相除，得 R1 R2 m2 m1 (2)因为vR，所以 v1 v2 R1
12、R2 m2 m1 答案 (1)m2m1 (2)m2m1 点评 双星模型的解题思路 (1)要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源。 (2)要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动时的运动参量的关系。 (3)要明确两子星圆周运动的动力学关系。 设双星的两子星的质量分别为M1和M2，相距为L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角 速度分别为1和2，由万有引力定律和牛顿第二定律得，对M1 有GM1 M1 M1 M2 L2 v2 1 r1 2 1 r1 ， 对M2 有GM2 M2 r2。 (在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成 M1 M2 L2 v2 2 r2 2 2 两子星做圆周运动的轨
13、道半径)。 即时巩固 3(2016大连高一检测)银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的 星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周 运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引 力常量为G。由此可求出S2的质量为( ) A. B. C. D. 4r2 GT2 4r2 1 GT2 42r2 GT2 42r2r1 GT2 解析 ： 选 D 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动， 由牛顿第二定律得Gm1 2r1， m1m2 r2( 2 T) 得m2，D 正确。 42r2r1 GT2 1(2016湖州高一
14、检测)若已知月球绕地球运动可近似看作匀速圆周运动，并且已知月球 的轨道半径为r，它绕地球运动的周期为T，引力常量是G，由此可以知道( ) A月球的质量m 2r3 GT2 B地球的质量M4 2r3 GT2 C月球的平均密度3 GT2 D地球的平均密度3 GT2 解析：选 B 对月球有r，可得地球质量M，月球质量无法求出， GMm r2 m42 T2 42r3 GT2 其密度也无法计算，故 B 正确，A、C 错误 ； 因不知道地球自身半径，故无法计算密度，故 D 错误。 2小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在 绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的
15、时间后，小行星运动的( ) A半径变大 B速率变大 C角速度变大 D加速度变大 解析 ： 选 A 恒星均匀地向四周辐射能量，恒星质量缓慢减小，二者之间万有引力减小， 小行星运动的半径增大，速率减小，角速度减小，加速度减小，选项 A 正确，B、C、D 错误。 3 一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行， 要测定该行星的密度， 仅仅需要( ) A测定飞船的运行周期 B测定飞船的环绕半径 C测定行星的体积 D测定飞船的运动速度 解析 ： 选 A 取飞船为研究对象， 由GmR及M R3， 解得， A 正确。 Mm R2 42 T2 4 3 3 GT2 4(2016江西高一检测)一卫星在某一行星表面附近
16、做匀速圆周运动，其线速度大小 为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时， 弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( ) A. B. C. D. mv2 GN mv4 GN Nv2 Gm Nv4 Gm 解析：选 B 由Nmg得g 。在行星表面Gmg，卫星绕行星做匀速圆周运动，万 N m Mm R2 有引力提供向心力，则Gm，联立以上各式得M，故 B 正确。 Mm R2 v2 R mv4 GN 5某行星绕太阳运动可近似看做匀速圆周运动，已知行星运动的轨道半径为R，周期 为T，引力常量为G，则该行星的线速度大小为多大？太阳的质量为多少？ 解析：该行星的线速度v2R T 由万有引力定律G Mm R2 mv2 R 解得太阳的质量M4 2R3 GT2 答案： 2R T 42R3 GT2